[PDF] CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions dune variable réelle

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CHAPITRE19

Dérivation des fonctions d"une variable réelle

Sommaire

19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2

19.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2

19.1.2 Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4

19.2 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 5

19.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5

19.2.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

19.3 FonctionsCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

19.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9

19.3.2 Opérations et dérivéesnièmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

19.3.3 Dérivées d"un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

19.3.4 Composée de fonctionsCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

19.4 Variation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 11

19.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

19.4.2 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 12

19.5 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

19.5.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

19.5.2 Egalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 14

19.5.3 Application : prolongement d"une application de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . 15

19.6 Fonctions de classeC1par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Objectifs :

- Connaître la définition du nombre dérivé, de la dérivabilité en un point et sur un intervalle.

- Connaître la définition de la tangente en un point au graphe d"une fonction, savoir déterminer une

équation cartésienne d"une tangente.

- Connaître la définition de dérivée à droite et à gauche et la caractérisation de la dérivabilité en un

point à partir de la dérivabilité à gauche et à droite.

- Connaître la définition de fonction dérivée et les dérivéesdes fonctions usuelles.

- Connaître les opérations sur les fonctions dérivables. - Connaître la dérivée d"une application réciproque. - Connaître le lien entre nullité du nombre dérivé et extremum local. - Connaître le théorème et l"inégalité des accroissements finis. - Connaître le lien entre sens de variation d"une fonction etsigne de la fonction dérivée.

- Connaître la définition de dérivéekièmed"une fonction, la définition de fonction de classeCk.

- Connaître les opérations sur les fonctionskfois dérivables en particulier la formule de Leibniz.

Dans tout ce chapitreKdésigne le corpsRouC,Iest un intervalle deR, non vide et non réduit à un

point. On désignera parfune fonction deIdansKetaun point deI. ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 2/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle

19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée

19.1.1 Définitions

Nombre dérivé et fonction dérivée

Définition 1

On appellenombre dérivédefena, la limite, si celle-ci existe dutaux d"accroissement f(a+h)-f(a) h quandhtend vers 0,h?= 0.

On note alors ce nombre

f?(a)et on dit quefestdérivable au pointa?I.

Définition 2

Sifest dérivable en tout point d"un intervalleIdeR, alors on définit la fonctionf?surIpar f?:x?→f?(x) qu"on appellefonction dérivéedefsurI.

Définition 3

Sifest dérivable ena, on appelle tangente au pointAde coordonnées (a,f?(a)) la droitepassant parAet de pentef?(a)

Notation 1

On note égalementdf

dxla fonctionf?.

Interprétations graphique et cinématique

On peut donner l"équation cartésienne de la tangente à la courbe d"équationy=f(x) au pointa, sifest

dérivable au pointa. En effet, cette tangente a pour équation y=f(a) +f?(a)(x-a)

0af(a)

Considérons un mobileMqui parcourt une certaine trajectoire, à chaque instantt, il se trouve à un endroit

précis de la trajectoire. La distancedparcourue par le mobileMdepuis l"instant de initial (notét0) est

fonction du tempst, on a doncd=f(t) oùfest une fonction.

La vitesse moyenne donne juste une indication globale sur l"allure du mobile entret0ett1mais on ne peut

S. RénierLycée François Arago ATS 2014-15 Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réellePage 3/17

pas affirmer que la vitesse a toujours été la même entret0ett1. On ne connait pas la vitesse instantanée

à l"instantt0, cette vitesse peut très bien être inférieure, supérieure ou égale à la vitesse moyenne. Pour

approcher cette vitesse instantanée, on va choisir un instanttle plus proche possible det0. Ainsi v instantanée(t0) = limt→t0f(t)-f(t0) t-t0=f?(t0).

Exemples

Exemple 1

La dérivée def:x?→x2est 2x.

En effet,?x?R,

f(x+h)-f(x) h=(x+h)2-x2h=2xh+h2h= 2x+h-→h→0h?=02x

Exemple 2

En utilisant la définition, retrouver les dérivées des fonctions suivantes :

1.f(x) =ex.

2.f(x) = lnx.

3.f(x) = sinx.

Dérivées à gauche et à droite

Définition 4

On dit quefestdérivable à droite enxsilimh→0h>0f(x+h)-f(x)hexiste et est finie. On note alors

f?d(x)ce nombre dérivé. Analoguement, on dit quefest dérivable à gauche enxsi limh→0h<0f(x+h)-f(x)hexiste et est finie. On note alors f?g(x)ce nombre dérivé.

Proposition 1

Une fonctionfest dérivable enxsi et seulement si elle est dérivableà droite et à gauche enxet

que ces dérivées sont

égales.

Exemple 3

Calculer le nombre dérivé à droite et à gauche, en 0 de la fonction valeur absolue. Cette fonction est-elle

dérivable en 0? ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 4/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle

19.1.2 Continuité et dérivabilité

Proposition 2

Si la fonctionfest dérivable enaalors elle estcontinue ena. Preuve :Si la fonction est dérivable enaalors la limite def(a+h)-f(a) hexiste et est finie. Ceci

implique que le numérateur tend vers 0 car sinon cette fonction prendrait des valeurs infiniment grandes.

D"où limh→0f(a+h)-f(a) = 0 et doncfest continue ena.

Remarque 1

La réciproque de cette proposition est fausse.

Exemple 4

Montrer que les fonctions suivantes sont continues mais pasdérivables en 0.

1.f:?R→R

x?→ |x|

2.f:?R

+→R x?→⎷ x 3.f:? ?R→R x?→xsin1xsix?= 0

0?→0

Nous avons vu que l"existence de la dérivée en un point permettait de trouver une tangente. Cette

condition est suffisante mais pas nécessaire.

Proposition 3

Soit une fonctionf:I→Ret soita?I. Si

lim h→0h?=0f(a+h)-f(a) h=±∞ alors la fonctionfn"est pas dérivable enamais la courbe représentative defadmet une tangente verticale ena S. RénierLycée François Arago ATS 2014-15 Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réellePage 5/17

Exemple 5

Les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent-elles une tangente en 0?

1.f:?R→R

x?→ |x|

2.f:?R

+→R x?→⎷ x 3.f:? ?R→R x?→xsin1xsix?= 0

0?→0

19.2 Calcul des dérivées

19.2.1 Opérations élémentaires

Proposition 4

Soientfetgdeux fonctions définies surIet dérivables en un pointa?I,α?Retβ?R. On a -αf+βgest dérivable enaet (αf+βg)?(a) =αf?(a) +βg?(a). -fgest dérivable enaet (fg)?(a) =f?(a)g(a) +f(a)g?(a). - Sig(a)?= 0, le quotientf gest dérivable enaet ?f g? (a) =g(a)f?(a)-f(a)g?(a)(g(a))2. - En particulier sig(a)?= 0, le quotient1 gest dérivable enaet ?1 g? (a) =-g?(a)(g(a))2.

Preuve :On évalue la limite quandh→0 de :

αf(a+h) +βg(a+h)-αf(a)-βg(a)

h=αf(a+h)-f(a)h+βg(a+h)-g(a)h. f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a) h=f(a+h)g(a+h)-f(a+h)g(a) +f(a+h)g(a)-f(a)g(a)h =f(a+h)g(a+h)-g(a) h+g(a)f(a+h)-f(a)h dont la limite estf(a)g?(a) +g(a)f?(a). f(a+h) g(a+h)-f(a)g(a) h=1g(a+h)g(a)f(a+h)g(a)-g(a+h)f(a)h 1 g(a+h)g(a)f(a+h)g(a)-f(a)g(a) +f(a)g(a)-g(a+h)f(a)h 1 g(a+h)g(a)? g(a)f(a+h)-f(a)h-f(a)g(a+h)-g(a)h? et la limite est 1 (g(a))2?f?(a)g(a)-g(a)f?(a)?. ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 6/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle

Proposition 5

Sifdéfinie surIest à valeurs complexes et dérivable ena?Ialors fest dérivable enaet f? ?(a) =f?(a). - Re(f) et Im(f) sont dérivables enaet on a (Re(f))?(a) = Re(f?)(a)et(Im(f))?(a) = Im(f?)(a).

Proposition 6

Soientfetgdeux fonctions définies respectivement sur des intervallesdeRIetJtelles quef(I)?J.

Sifest dérivable ena?Ietgest dérivable en

f(a)alorsg◦fest dérivable enaet (g◦f)?(a) =f?(a)g?(f(a)).

Exemple 6

Exprimer les dérivées des fonctions suivantes.

1.?x?R?,?

sin?1 x??

2.?x?]1;+∞[,?⎷

lnx?

3.?x?R,?

ex2??.

Dérivée d"une fonction réciproque

Rappel 1

Soitf:I-→June bijection. L"application réciproque def(notéef-1) est l"application deJdans

Iqui à tout élémentydeJassocie son unique antécédentxdeIpar la fonctionf. C"est à dire :

?x?I,?y?J, x=f-1(y)??y=f(x).

Rappel 2

Graphiquement, sifadmet une fonction réciproquef-1alors le graphe de la fonctionf-1est symé- trique à celui defpar rapport à la première bissectrice (droite d"équationy=x). S. RénierLycée François Arago ATS 2014-15 Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réellePage 7/17 O Cf (x,y) (y,x) x y y x Cf-1 Figure19.1 - Une courbe d"une fonction et la courbe de la fonction réciproque

Théorème 1

Soitfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalleIet dérivable ena?I. On poseb=f(a). (i) Sif?(a) = 0 alors f-1n"est pas dérivable enb. (ii) Sif?(a)?= 0 alors f-1est dérivable enbet (f-1)?(f(a)) =1f?(a)soit (f-1)?(b) =1 f?(f-1(b)). Preuve :f◦f-1(b) =b, donc en dérivant (f-1)?(b)f?? f-1(b)? = 1, ainsi (f-1)?(b) =1f?(f-1(b)).

Exemple 7

On considère la fonctionf:?

2;π2?

→R x?→tanx fest continue et strictement monotone sur?

2;π2?

. De plus,?x?? -π2;π2? ,f?(x) = 1 + tan2x >0. Doncfest bijective et sa fonction réciproque (arctan) a pour dérivée : ?y?R(arctany)?=1 f?(arctany)=11 + tan2arctany=11 +y2.

Exemple 8

Soitn?N?. Calculer la dérivée def:?R?+→R?+ x?→x1 nen utilisant la dérivée dex?→xn. ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 8/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle O Cf Cf-1 Figure19.2 - Les tangentes à une courbe et à la courbe de la fonction réciproque

19.2.2 Dérivées des fonctions usuelles

FonctionDomaine de dérivabilitéDérivée xαavecα?Rà discuter selon les valeurs deααxα-1 xnavecn?NRnxn-1 x-n=1xnavecn?N?R?-nx-n-1=-nxn+1 xpqavecp?N?,q?N?Rsiqest impair, premiers entre eux etpq?1R+siqest pairp qxp q-1 xpqavecp?N?,q?Z?R?siqest impair, premiers entre eux etpq<1R?+siqest pairp qxp q-1 lnxR?+1 xexRex sinxRcosx cosxR-sinx tanxR\ {π2+kπ, k?Z} 1 cos2x= 1 + tan2x arcsinx]-1;1[1⎷1-x2 arccosx]-1;1[-1⎷1-x2 arctanxR1

1 +x2sinhxRcoshx

coshxRsinhx tanhxR1 cosh2x= 1-tanh2x S. RénierLycée François Arago ATS 2014-15 Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réellePage 9/17

19.3 FonctionsCk

19.3.1 Définition

Définition 5

Soitn?N, on définit ladérivéenièmedefpar récurrence. C"est la dérivée dela dérivéen-1ième.

On dit alors qu"une fonctionfest

nfois dérivablesi sa dérivéenièmeexiste. On dit quefest indéfiniment dérivable (ou infiniment dérivable) si pourtoutn sa dérivéenième existe

Notation 2

f??est la dérivée seconde. On notef(n)la dérivéenièmedef.

La notationdnf

dxnest aussi possible pour la dérivéenième.

Remarque 2

On convient quef(0)est la fonctionfelle-même.

Remarque 3

Il est tout à fait possible que les domaines de définition des dérivées successives soient distincts.

Définition 6

On dit quef:I→Kest de classeCksi et seulement sifestkfois dérivable surIet sif(k)est continue surI.

On note alors

Ck(I,K)l"ensemble des fonctions de classeCksurIà valeurs dansK.

Définition 7

Sifest indéfiniment dérivable, on dit qu"elle est de classeC∞et on noteC∞(I,K)l"ensemble des

fonctions de classe

C∞surIà valeurs dansK.

Remarque 4

L"ensembleC0(I,K) est l"ensemble des fonctionscontinuessurIà valeurs dansK.

Remarque 5

Une fonctionnfois dérivable surIn"est pas forcément de classeCn.

Exemple 9

Prolonger par continuité en 0 la fonctionf:?

?R ?→R x?→x2sin1 xOn note cette fonction égalementf.

Montrer quef?existe surRmais quef?? C1(R,R).

ATS 2014-15 Lycée François AragoS. Rénier Page 10/17Chapitre 19: Dérivation des fonctions d"une variable réelle

19.3.2 Opérations et dérivéesnièmes

Proposition 7

Soientn?N,λ?K,fetgdeux fonctionsnfois dérivables surI. Alors -f+gestnfois dérivable surIet (f+g)(n)=f(n)+g(n). -λfestnfois dérivable surIet (λf)(n)=λf(n).

Preuve :Par récurrence surn.

Proposition 8

Muni de l"addition et de la multiplication externe,Ck(I,K) (pourk?N? {∞}) est unK-espace vectoriel

Preuve :C"est un sous espace deKI, non vide (car la fonction nulle est indéfiniment dérivable)et

stable par combinaison linéaire, puisque (λf+g)(n)=λf(n)+g(n).

19.3.3 Dérivées d"un produit

La formule suivante est appelée Formule de Leibniz, elle està connaître.

Théorème 2

Soitn?N. Soientfetgdeux fonctionsnfois dérivables surI. Le produitfgestnfois dérivable sur

Iet on a :

(fg)(n)=n? k=0? n k? f (k)g(n-k) Preuve :En exercice! (Utiliser une récurrence surn).

Exemple 10

Déterminer la dérivéenièmedes fonctions f

1:?R→R

x?→(x3+x2+ 1)e-xetf2:? ?]-1,1[→Rquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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