[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Trigonométrie

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1*ITRésoudre dansRpuis dans[0;2p]les équations suivantes : 1. sin x=0, 2. sin x=1, 3. sin x=1, 4. cos x=1, 5. cos x=1, 6. cos x=0, 7. tan x=0, 8. tan x=1. 1. sin x=12 2. sin x=1p2 3. tan x=1, 4. tan x=1p3 5. cos x=p3 2 6. cos x=1p2 1. sin (2x) =12 ;I= [0;2p], 2. sin x2 =1p2 ;I= [0;4p], 3. tan (5x) =1;I= [0;p], 1

4.cos (2x) =cos2x;I= [0;2p],

5. 2 cos

2x3cosx+1=0;I= [0;2p],

6. cos (nx) =0(n2N),

7.jcos(nx)j=1,

8. sin (nx) =0,

9.jsin(nx)j=1,

10. sin x=tanx;I= [0;2p], 11. sin (2x)+sinx=0;I= [0;2p], 12.

12 cos

2x8sin2x=2;I= [p;p].

1. cos x612 ;I= [p;p], 2. sin x>1p2 ;I=R, 3. cos x>cosx2 ;I= [0;2p], 4. cos

2x>cos(2x);I= [p;p],

5. cos 2x612 ;I= [0;2p], 6. cos x3

6sinx3

;I= [0;2p]. p8 et sinp8 p12 et sinp12 åcos(a1a2:::an) =2ncosa1cosa2:::cosan(la somme comporte 2ntermes).

Õnk=1cosa2

kpouraélément donné de]0;p[(penser à sin(2x) =2sinxcosx). 2.

Déterminer lim

n!+¥ånk=1lncos(a2 k). 2 et1p3 1.

Calculer tan (3q)en fonction de tanq.

2.

Résoudre dans Rl"équation :

3xx313x2=3aa313a2:

On trouvera deux méthodes, l"une algébrique et l"autre utilisant la formule de trigonométrie établie en

1). 1.

Calculer tan (5x)en fonction de tanx.

2. En déduire un polynôme de de gré4 dont les racines sont tan 9 ,tan27,tan63et tan81puis la valeur deS. tanx+tan(2x)+tan(3x)+tan(4x) =0; possède-t-elle de solutions dans[0;p]? 2p5 et sin2p5 . Pour cela, on posea=2cos2p5 ,b=2cos4p5 etz=e2ip=5. 1.

Vérifier que a=z+z4etb=z2+z3.

2.

Vérifier que 1 +z+z2+z3+z4=0.

3.

En déduire un polynôme de de gré2 dont les racines sont aetbpuis les valeurs exactes de cos2p5

et sin2p5

1.x7!cos2x,

2.x7!cos4x,

3

3.x7!sin4x,

4.x7!cos2xsin2x,

5.x7!sin6x,

6.x7!cosxsin6x,

7.x7!cos5xsin2x,

8.x7!cos3x.

p=6cos4xsin6x dxetJ=Rp=3 p=6cos4xsin7x dx. 1.

1cosxsinx=tanx2

2. sin x2p3 +sinx+sinx+2p3 =0, 3. tan p4 +x+tanp4 x=2cos(2x), 4.

1tanxtanx=2tan(2x).

1.

Etudier les v ariationsde fk:x7!sinxp12kcosx+k2.

2.

Calculer

Rp

0fk(x)dx.

1. ånk=0cos(kx)etånk=0sin(kx), (x2Retn2Ndonnés). 2. ånk=0cos2(kx)etånk=0sin2(kx), (x2Retn2Ndonnés). 3.

ånk=0n

k cos(kx)etånk=0n k sin(kx), (x2Retn2Ndonnés). cosa+cosb+cosc=0 sina+sinb+sinc=0oùa,betcsont trois réels. 4

Montrer que cos

4p8 +cos43p8 +cos45p8 +cos47p8 =32 2. En déduire les v aleursde sin xet cosxpourxélément dep10 ;p5 ;3p10 Correction del"exer cice1 N1.sin x=0,x2pZ. De plus,S[0;2p]=f0;p;2pg. 2. sin x=1,x2p2 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p2 3. sin x=1,x2 p2 +2pZ. De plus,S[0;2p]=3p2 4. cos x=1,x22pZ. De plus,S[0;2p]=f0;2pg. 5. cos x=1,x2p+2pZ. De plus,S[0;2p]=fpg. 6. cos x=0,x2p2 +pZ. De plus,S[0;2p]=p2 ;3p2 7. tan x=0,x2pZ. De plus,S[0;2p]=f0;p;2pg. 8. tan x=1,x2p4 +pZ. De plus,S[0;2p]=p4 ;5p4 .Correction del"exer cice2 N1.sin x=12 ,x2p6 +2pZ[5p6 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p6 ;5p6 2. sin x=1p2 ,x2p4 +2pZ[3p4 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p4 ;3p4 3. tan x=1,x2 p4 +pZ. De plus,S[0;p]=3p4 4. tan x=1p3 ,x2p6 +pZ. De plus,S[0;p]=p6 5. cos x=p3 2 ,x2p6 +pZ[p6 +pZ. De plus,S[0;2p]=p6 ;11p6 6. cos x=1p2 ,x23p4 +pZ[3p4 +pZ. De plus,S[0;2p]=3p4 ;5p4 .Correction del"exer cice3 N1.sin (2x)=12 ,2x2p6 +2pZ[5p6 +2pZ,x2p12 +pZ[5p12 +pZ. Deplus,S[0;2p]=p12 ;5p12 ;13p12 ;17p12 2. sin x2 =1p2 ,x2 25p4
+2pZ[7p4 +2pZ,x25p2 +4pZ)[(7p2 +4pZ. De plus,S[0;4p]=5p2 ;7p2 3. tan (5x) =1,5x2p4 +pZ,x2p20 +p5

Z. De plus,S[0;p]=p20

;p4 ;9p20 ;13p20 ;17p20 4. cos (2x) =cos2x,cos(2x) =12 (1+cos(2x)),cos(2x) =1,2x22pZ,x2pZ. De plus,S[0;2p]= f0;p;2pg. 5. 2 cos

2x3cosx+1=0,(2cosx1)(cosx1) =0,cosx=12

ou cosx=1,x2p3 +2pZ[p3 +2pZ[2pZ. De plus,S[0;2p]=0;p3 ;5p3 ;2p. 6. cos (nx) =0,nx2p2 +pZ,x2p2n+pn Z.

7.jcos(nx)j=1,nx2pZ,x2pn

Z. 8. sin (nx) =0,nx2pZ,x2pn Z.

9.jsin(nx)j=1,nx2p2

+pZ,x2p2n+pn Z. 10. sin x=tanx,sinxsinxcosx=0,sinxcosx1cosx=0,sinx=0 ou cosx=1,x2pZ. De plus,S[0;2p]= f0;p;2pg. 6 11. sin(2x)+sinx=0,sin(2x) =sin(x+p),(9k2Z=2x=x+p+2kp)ou(9k2Z=2x=x+2kp) ,(9k2Z=x=p+2kp)ou(9k2Z=x=2kp3

De plus,S[0;2p]=f0;2p3

;p;4p3 ;2pg. 12. 12cos

2x8sin2x=2,6cos2x4(1cos2x) =1,cos2x=12

,cosx=1p2 ou cos=1p2 ,x2 p4 +pZ [p4 +pZ ,x2p4 +p2 Z:Correction del"exer cice4 N1.Pour x2[p;p], cosx612 ,x2p;p3 [p3 ;p. 2.

Pour x2R, sinx>1p2

,x2[ k2Z p4 +2kp;5p4 +2kp 3.

Pour x2[0;2p],

cosx>cosx2 ,2cos2x2 cosx2

1>0,(2cosx2

+1)(cosx2

1)>0,2cosx2

+1<0 et cosx2 6=1 ,cosx2 <12 etx2 =22pZ,x2 2[ k2Z 2p3 +2kp;4p3 +2kp etx=24pZ ,x2[ k2Z 4p3 +4kp;8p3 +4kp etx=24pZ,x2]4p3 ;2p] 4.

Pour x2[p;p], cos2x>cos(2x),12

(1+cos(2x))>cos(2x),cos(2x)61,x2[p;p]. 5.

Pour x2[0;2p], cos2x612

, 1p2

6cosx61p2

,x2p4 ;3p4 [5p4 ;7p4 6.

Pour x2[0;2p],

cos x3

6sinx3

,1p2 sinx3 1p2 cosx3 >0,sinx3 p4 >0, 9k2Z=2kp6x3 p4

6p+2kp

, 9k2Z=3p4 +6kp6x63p+3p4 +6kp,3p4

6x62pCorrection del"exer cice5 Ncos

2p8 =12

1+cos(2p8

)=12 1+p2 2 =2+p2 4 , et puisque cosp8 >0, cos p8 =12 p2+p2.

De même, puisque sin

p8 >0, sinp8 =q1 2

1cos(2p8

)et 7 sin p8 =12 p2p2.

Correction de

l"exer cice

6 Ncos

p12 =cosp3 p4 =cosp3 cosp4 +sinp3 sinp4 =p6+p2 4

De même,

sin p12 =sinp3 p4 =sinp3 cosp4 sinp3 sinp4 =p6p2 4 cos p12 =p6+p2 4 et sinp12 =p6p2 4

:Correction del"exer cice7 NPournnaturel non nul, on poseSn=åei(a1:::an). •S1=eia1+eia1=2cosa1• Soitn>1. Supposons que

S n=2ncosa1:::cosanalors S =2cos(an+1)Sn=2n+1cosa1:::cosan+1: On a montré par récurrence que :8n>1;Sn=2ncosa1:::cosan. Ensuite, pourn>1,åcos(a1:::an) = Re(Sn) =2ncosa1:::cosan(et on obtient aussiåsin(a1:::an) =Im(Sn) =0).

8n2N,åcos(a1:::an) =2ncosa1:::cosan.Correction del"exer cice8 N1.Soit n2N. Puisqueaest dans]0;p[alors, pour tout entier naturel non nulk,a2

kest dans]0;p[et donc sin a2 k6=0. De plus, puisque sina2 k1=sin2a2 k=2sina2 kcosa2 k, on a : nÕ k=1cosa2 k =nÕ k=1sin a2 k12sinquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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