Vecteurs et barycentres PDF Remarque : (( Règle du parallé

Somme de deux vecteurs – Relation de Chasles

2 juil. 2018 Un vecteur u dont un représentant est le vecteur ... Règle du parallélogramme ... concourantes au centre de gravité G.

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : relation de Chasles propriétés en rapport avec la colinéarité

Géométrie Vectorielle

1.3.3 Point milieu et centre de gravité . Test de colinéarité I: Pour déterminer si deux vecteurs du plan ou de l'espace sont coli-.

Barycentre

3 janv. 2011 1.4 Colinéarité de deux vecteurs . ... Remarque : Le mot barycentre renvoie à la notion de centre d'inertie ou de gravité en physique.

Exercices sur les vecteurs

(3) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. En utilisant une caractérisation vectorielle de G démontrer que : . Que peut- on en déduire pour les points O

TRANSLATION ET VECTEURS

TRANSLATION ET VECTEURS. Activités de groupe : La Translation (Partie1) : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf. La Translation (Partie2) :.

Vecteurs et repères

La somme de 2 "vecteurs côtés" est égale à 2 fois le "vecteur médiane" de même origine. Propriété. Centre de. Gravité d'un triangle. Les 3 médianes de (ABC) se

Géométrie Vectorielle

1.3.3 Point milieu et centre de gravité . Test de colinéarité I: Pour déterminer si deux vecteurs du plan ou de l'espace sont coli-.

Seconde générale - Les vecteurs du plan - Fiche de cours

Ce déplacement peut être caractérisé par un vecteur : Soit le triangle ABC et G le centre de gravité. G centre de gravité de ... Critère de colinéarité.

Vecteurs et barycentres

Remarque : (( Règle du parallélogramme )) : 2) Colinéarité ... Remarque : Par définition le centre de gravité G d'un triangle ABC est l'isobarycentre ...

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Chap II :Vecteurs et barycentres

I. Vecteurs

1) Définitions

Définition 1 :Un vecteur-→uest défini par unedirection, unsenset une longueur (appeléenorme).

La norme du vecteur--→ABest la longueurAB.

Elle est notée???--→AB???

. Ainsi???--→AB??? =AB.

Propriété 1 :Lorsque les pointsA,B,CetD, ne sont pas alignés, on a--→AB=--→DC??ABCDest un parallèlogramme.×D×C×

A×B

Définition 2 :Relation de Chasles: On a--→AB+--→BC=--→AC.

×A×B×

C --→AB+--→BC Remarque :??Règle du parallélogramme??:--→AB+--→AC=--→AD.

×A×B×

D×C

--→AB+--→AC Définition 3 :Dire que(x;y)sont lescoordonnées(uniques) du point

Mdans le repère?

O;-→i,-→j?

signifie que--→OM=x-→i+y-→j. On note :M(x;y). Les coordonnées d"un vecteur-→usont celles du pointMtel que--→OM=-→u. On note :-→u(x;y).×Oy xM -→i -→j -→u Remarque :Ainsi, dire que les coordonnées de-→udans le repère?

O;-→i,-→j?

sont(x;y)signifie que

-→u=x-→i+y-→j. (On dit aussi que(x;y)sont les coordonnées de-→udans la base?-→i,-→j?

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2) Colinéarité

Définition 4 :Lorsque le vecteur-→uet le nombreksont non nuls, le vecteurk-→ua :

même direction que-→u,

même sens que-→usik>0et sens contraire sik<0.

pour norme le réel :|k|×??-→u??.

Remarque :Les vecteurs--→ABet--→BAsont

opposés:--→BA=---→AB. ATTENTION, la??multiplication??et la??division??entre vecteurs n"est pas définie. Définition 5 :Dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→ACsontcolinéaires signifie qu"ils ont la même direction, c"est-à-dire que les droites(AB)et(CD)sont parallèles.×

A×B

C×D

-→u -→v

On peut également dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→CDsont colinéaires s"il existe un réelk

tel que--→AB=k--→CD. Remarque :Parconvention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Propriété 2 :Dire que trois points distinctsA,BetCsontalignéséquivaut à dire qu"il existe

un nombrektel que--→AB=k--→AC.

Dire que deux droites(AB)et(CD)sont

parallèleséquivaut à dire qu"il existe un nombrektel que--→AB=k--→CD. On peut caractériser la colinéarité avec les coordonnées.

Propriété 3 :Dire que-→u(x;y)et-→v(x?;y?)sontcolinéaireséquivaut à dire quexy?-yx?=0.

(Forme vectorielle du théorème de Thalès) Théorème 1 :SoitABCun triangle.Msur(AB)etNsur(AC).

Si(MN)est parallèle à(BC)soitkle nombre tel que--→AM=k--→AB. alors--→AN=k--→AC

et---→MN=k--→BC.

A×B×M

C ×N k>0

×A×B

M×C×N

k<0

(Réciproque)S"il existe un réelktel que--→AM=k--→ABet--→AN=k--→AC, alors(MN)

et(BC)sont parallèles.

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3) Vecteurs directeurs et équations de droites

Définition 6 :Unvecteur directeurd"une droite(D)est un vecteur dont la direction est celle de (D).

En particulier,

--→ABest un vecteur directeur de la droite (AB)et tous les vecteurs directeurs de cette droite sont les vecteursk--→AB, oùkest un réel non nul. E× F

×A×

B (D) -→u

Propriété 4 :Toute droite(D)estcaractériséepar uneéquation cartésiennede la formeax+

by+c=0, aveca?=0oub?=0, Le vecteur-→u(-b;a)est alors un vecteur directeur de(D).

Propriété 5 :Toute droitenon parallèle à l"axe des ordonnéesa uneéquation réduitede la

forme :y=mx+p.

Propriété 6 :Dire que les droites d"équationsy=mx+pety=m?x+p?sont parallèles équivaut

à dire quem=m?.

Dire que les droites d"équationsax+by+c=0eta?x+b?y+c?=0sont parallèles

équivaut à dire queab?-a?b=0.

II. Barycentre

1) Barycentre de deux points

La notion mathématique de barycentre est intuitivement très proche de la notion physique de centre

de gravité. Théorème 2 :SoientAetBdeux points du planP,αetβdeux réels. Lorsqueα+β?=0, il existe un unique pointGtel que : --→GA+β--→GB=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredes deux points pondérés(A;α)et(B;β).

On noteG=bar?(A,α);?B,β??.

Siα=β?=0

(et notammentα=β=1), on dit queGest l"isobarycentredeAetB. -→démonstration

Remarque :L"isobarycentre deAetBest le milieu de[AB], c"est le pointItel que-→I A+-→IB=-→0.

Théorème 3 :Soientαetβtels queα+β?=0et soientAetBdeux points du planP, -→démonstration

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Propriété 7 :Le barycentre de?(A;α); (B;β)?est situé sur la droite(AB). Remarque :Siαetβsont de même signe,G?[AB].

Siαetβsont de signes contraires,G?[AB].

Si |α|>??β??alorsGest plus près deAque deB. -→Penser à l"équilibre d"une barre avec une masse à chaque bout. Remarque :?k?R?:G=bar?(A,α);?B,β??=bar?(A,kα);?B,kβ??. Théorème 4 :SoitGle barycentre du système?(A;α); (B;β)?dans un repère?

O;-→i,-→j?

SiA(xA;yA)et siB(xB;yB)alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?αxA+βxB

α+β;αyA+βyBα+β?

-→démonstration

2) Barycentre de trois points

Théorème 5 :SoientA,BetCtrois points du planP,α,βetγtrois réels tels queα+β+γ?=0.

Il existe un unique pointGtel que :

--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredes trois points pondérés(A;α),(B;β)et(C;γ).

On noteG=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ??.

Siα=β=γ?=0, on dit queGest l"

isobarycentredeA;BetC.

Théorème 6 :Soientα,βetγtels queα+β+γ?=0et soientA,BetCtrois points du planP,

Remarque :?k?R?:G=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ??=bar?(A,kα);?B,kβ?;?C,kγ??.

Remarque :Par définition

lecentre de gravitéGd"un triangleABCest l"isobarycentre des points A,BetC. On a donc :--→GA+--→GB+--→GC=-→0.

Théorème 7 :(barycentre partiel)

?G=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ?? -→Penser à l"équilibre d"une barre en T avec une masse à chaque bout. -→démonstration

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Théorème 8 :SoitGle barycentre du système?(A;α); (B;β); (C;γ)?dans un repère?

O;-→i,-→j?

SiA(xA;yA),B(xB;yB)etC(xC;yC)alors les coordonnées deGdans ce repère sont :

G?αxA+βxB+γxC

-→démonstration

3) Barycentre denpoints(HP)

On peut généraliser à un nombre plus grand de points la notionde barycentre. Les propriétés

resteront alors similaires. Dans toute la suitenest un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Théorème 9 :SoientA1,A2, ...,Annpoints du planP,α1,α2, ...,αnnréels tels queα1+α2+

···+αn?=0. Il existe un unique pointGtel que :

1---→GA1+α2---→GA2+···+αn---→GAn=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredesnpoints pondérés(A1;α1),(A2;α2), ...,(An;αn). On noteG=Bar?(A1;α1),(A2;α2),...,(An;αn)?.

Théorème 10 :Soientα1,α2, ...,αntels queα1+α2+···+αn?=0et soientA1,A2, ...,Annpoints

du planP,il y a équivalence entre et

Théorème 11 :SoitGle barycentre du système?(A1;α1),(A2;α2),...,(An;αn)?dans un repère?

O;-→i,-→j?

SiA1(xA1;yA1),A2(xA2;yA2), ...,An(xAn;yAn)alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?α1xA1+α2xA2+···+αnxAn

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Chap II :Vecteurs et barycentres

I. Vecteurs

1) Définitions

La norme du vecteur--→ABest la longueurAB.

Elle est notée???--→AB???

A×B

×A×B×

×A×B×

D×C

Mdans le repère?

O;-→i,-→j?

O;-→i,-→j?

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2) Colinéarité

même direction que-→u,

pour norme le réel :|k|×??-→u??.

Remarque :Les vecteurs--→ABet--→BAsont

A×B

C×D

Dire que deux droites(AB)et(CD)sont

A×B×M

×A×B

M×C×N

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3) Vecteurs directeurs et équations de droites

En particulier,

×A×

à dire quem=m?.

équivaut à dire queab?-a?b=0.

II. Barycentre

1) Barycentre de deux points

Ce point est appelé

On noteG=bar?(A,α);?B,β??.

Siα=β?=0

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Siαetβsont de signes contraires,G?[AB].

O;-→i,-→j?

α+β;αyA+βyBα+β?

2) Barycentre de trois points

Il existe un unique pointGtel que :

Ce point est appelé

On noteG=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ??.

Siα=β=γ?=0, on dit queGest l"

Remarque :Par définition

Théorème 7 :(barycentre partiel)

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O;-→i,-→j?

G?αxA+βxB+γxC

3) Barycentre denpoints(HP)

1---→GA1+α2---→GA2+···+αn---→GAn=-→0 .

Ce point est appelé

O;-→i,-→j?

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même direction que-→u,

pour norme le réel :|k|×??-→u??.

Dire que deux droites(AB)et(CD)sont