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Barycentre

Table des matières

1 Rappels sue les vecteurs

2

1.1 Définition

2

1.2 Opérations sur les vecteurs

2

1.2.1 Somme de deux vecteurs

2

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

2

1.3 Vecteurs et configuration

3

1.3.1 Le milieu d"un segment

3

1.3.2 La médiane d"un triangle

3

1.4 Colinéarité de deux vecteurs

4

1.5 Géométrie analytique

5

2 Barycentre de deux points

6

2.1 Définition

6

2.2 Propriétés

7

2.3 Réduction

8

3 Barycentre de trois points

10

3.1 Définition

10

3.2 Associativité

11

3.3 Réduction

13

4 Barycentre de n points

15

4.1 Définition

15

4.2 Associativité

15

4.3 Réduction

16

5 Centre d"inertie d"une plaque homogène

17

5.1 Principes utilisés par les physiciens

17

5.2 Application

18

5.2.1 Exercice 1

18

5.2.2 Exercice 2

19 PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

21 RAPPELS SUE LES VECTEURS1Rappelssuelesvecteurs

1.1Définition

Définition 1 :Un vecteur~uou!ABest défini par :

êune direction (la droite(AB)).

êun sens (deAversB)

êUne longueur : la norme du vecteurk~ukouAB!

AB=!CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme.

1.2Opérationssurlesvecteurs

1.2.1Sommededeuxvecteurs

La somme : la relation de chasles :

AC=!AB+!BC

Cette relation permet de décompo-

ser un vecteur.

On a l"inégalité triangulaire :

k ~u+~vk6k~uk+k~vkConstruction de la somme de deux vecteurs de même origine. On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d"appli- quer la relation de Chasles.Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

êEst commutative :~u+~v=~v+~u

êEst associative :(~u+~v) +~w=~u+ (~v+~w) =~u+~v+~w êPossède un élélment neutre~0 :~u+~0=~u êtout vecteur possède un opposé~u:!AB=!BA1.2.2Multiplicationd"unvecteurparunscalaire Lorsqu"on multiplie un vecteur par un réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék~uest tel que : êSa longueur est multiplié parjkjPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.3 VECTEURS ET CONFIGURATION3êSik>0 son sens est inchangé et sik<0 son sens est inversé.Propriété 2 :La multiplication par un scalaire est distributive par rapport

à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.

êk(~u+~v) =k~u+k~v

1.3.1Lemilieud"unsegment

SiIest le milieu d"un segment[AB]

alors : AI=12 !AB

AI=!IB

!IA+!IB=!0Théorème 1 :SoitABCun triangle. SiIetJsont les milieux respectifs de [AB]et[AC]alors :!IJ=12 !BC1.3.2Lamédianed"untriangle Dans un triangleABC,(AA0)la médiane issue deA, vérifie :

AA0=12

(!AB+!AC)PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

41 RAPPELS SUE LES VECTEURS1.4Colinéaritédedeuxvecteurs

Définition 2 :On dit que deux vecteurs~uet~vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que : v=k~uPropriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"aligne- ment. êLes droites(AB)et(CD)sont parallèles si et seulement si les vecteurs!AB et!CDsont colinéaires. êLes pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs!ABet!AC sont colinéaires.Application :SoitABCun triangle,Eest tel que!AE=13 !BC,Iest tel que !CI=23 !CBetFest tel que!AF=13 !AC. Démontrer queI,EetFsont alignés

Faisons d"abord une figure :Exprimons

!EIet!EFen fonction de!AB.

Nous savons que!CI=23

!CBdonc!BI=13 !BC. On en déduit que!AE=!BI donc queAEIBest un parallélogramme. On a alors : !EI=!AB

De plus :

!EF=!EA+!AF 13 !CB+13 !AC 13 (!AC+!CB) 13 !ABPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.5 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE5On en déduit alors :

!EF=13 !EI. Les vecteurs!EFet!EFsont colinéaires et donc les pointsE,FetIsont alignés.

1.5Géométrieanalytique

Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère ortho- normal, les formules suivantes sont valable dans tout repère. êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du vecteur!AB vérifient :!AB=xBxA y ByA êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du milieuIdu segment[AB]vérifient : I=0 B B@x B+xA2 y B+yA2 1 C CA êOn appelle déterminant de deux vecteurs~u(x;y)et~v(x0;y0), le nombre : det(~u,~v) =x x0 y y 0 =xy0x0y êDeux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est

égale à 0

uet~vcolinéaires,det(~u,~v) =0 êDans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur~uet la distance entre les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB)verifient : jj ~ujj=qx 2+y2 AB=q(xBxA)2+ (yByA)2Application :ABCDest un parallèlogramme.M,N,Qsont tels que : DM=45 !DA,!AN=34 !AB,!CQ=23 !CD La parallèle à(MQ)menée parNcoupeBCenP. Déterminer le coefficientk de colinéarité tel que!BP=k!AD. Faisons une figure, en prenant comme repère(A;!AB,!AD):PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

62 BARYCENTRE DE DEUX POINTSD"après l"énoncé les coordonnées deM,NetQsont :

M 0;15 ,N34 ;0 ,Q13 ;1 CommePest sur(BC), son abscisse est 1. De plus commekest tel que :!BP= k!AD, son ordonné vautk. Les coordonnées dePsont :

P(1;k)

Comme(NP)//(MQ), le déterminant de!MQet!NPest nul, on a : det(!MQ,!NP) =013 0 134 115
k0 =0 13 14 45
k =0 k3 15 =0 k3 =15 k=35

2Barycentrededeuxpoints

2.1Définition

Remarque :Le mot barycentre renvoie à la notion de centre d"inertie ou de gravité en physique.PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

2.2 PROPRIÉTÉS7Définition 3 :On appelle barycentre de deux pointsAetBassociés aux

coefficients respectifsaetb, le pointGtel que : a !GA+b!GB=~0 aveca+b6=0

On note alorsGbarycentre des points pondérés(A,a)et(B,b)Démonstration :montrons qu"un tel point existe et est unique. Il s"agit

alors de pouvoir placer ce point. Exprimons le pointGa l"aide du vecteur!AB avec la relation de Chasles : a !GA+b!GB=~0 a !GA+b(!GA+!AB) =~0 a !GA+b!GA+b!AB=~0 (a+b)!GA=b!AB (a+b)!AG=b!AB

Commea+b6=0, on a :

AG=ba+b!AB

On peut alors placer le pointG.

2.2Propriétés

Propriété 5 :SiGest le barycentre des points pondérés(A,a)et(B,b), alors :!AG=ba+b!ABApplication :AetBétant donnés, placer les barycentresG1etG2des points pondédérés respectifs(A,3),(B,1)et(A,1),(B,3).

CommeG1est le barycentre de(A,2),(B,1), on a :

AG=12+1!AB=13

!AB

CommeG2est le barycentre de(A,1),(B,3), on a :

AG=31+3!AB=32

!AB On peut alors placer les deux pointG1etG2:PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

82 BARYCENTRE DE DEUX POINTSRemarque :

êLorsquea=b, on dit queGest l"isobarycentre des pointsAetB.Gest alors le milieu du segment[AB].

êLe barycentreGest situé sur la droite(AB)Propriété 6 :Homogénéité du barycentre. SiGest le barycentre de(A,a)

et(B,b)alorsGest aussi le barycentre de(A,ka)et(B,kb)lorsquekest un réel non nul.Cela découle de la définition : a !GA+b!GB=~0,ka!GA+kb!GB=~0 aveck6=0

Application :Le barycentre de

A,110 et B,15 est aussi le barycentre de (A,1)et(B,2).Propriété 7 :Le barycentre de deux pointAetB, se situe sur la droite (AB). Réciproquement si trois points sont alignés, alors l"un est le barycentre des deux autres.Application :Soit les trois alignésA,BetCalignés comme sur la figure ci-dessous. Montrer queCest le barycentre de(A,a)et(B,b).D"après la figure on a : !CA=2!CB

On a donc :!CA+2!CB=~0

Cest alors le barycentre de(A,1)et(B,2)

2.3Réduction

Théorème 2 :Formule de réduction. SiGest le barycentre de(A,a)et (B,b)alors pour tout pointMdu plan, on a : a !MA+b!MB= (a+b)!MGPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

2.3 RÉDUCTION9Démonstration :en appliquant la relation de Chasles :

a !MA+b!MB=a(!MG+!GA) +b(!MG+!GB) =a!MG+a!GA) +b!MG+b!GA) = (a+b)!MG+a!GA+b!GB OrGest le barycentre de(A,a)et(B,b)donca!GA+b!GB=~0 = (a+b)!MG Application :Cette formule de réduction permet de déterminer les lignes de niveau c"est à dire de déterminer puis tracer l"ensemble des pointsMqui vérifient une relation vectorielle. [AB]est un segment de longueur 5 cm. Déterminer l"ensembleGdes pointM qui vérifient la relation (R) :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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