Devoir de mathématiques no 1 : Géométrie Cartésienne (sujet 1 PDF

mathématiques géométrie

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Devoir de mathématiques no 1 : Géométrie Cartésienne (sujet 1

Devoir de mathématiques no 1 : Géométrie Cartésienne (sujet 1). Correction. Exercice 1. On a recouvert le plan de parallélogrammes tous identiques.

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Devoir de mathématiques no1 :

Géométrie Cartésienne (sujet 1)

Correction

Exercice 1

On a recouvert le plan de parallélogrammes tous identiques.

1. Dans le repère(O;U;V)

(a) quelle droite est l"axe des abscisses? (b) quelle droite est l"axe des ordonnées? (c) quel point est l"origine du repère?

Solution:(OU)est l"axe des abscisses.

(OV)est l"axe des ordonnées.

Oest l"origine.

2. Donner les coordonnées deBetUdans le repère(O;A;V).

Solution:Par lecture de la grille du plan :

B(1;-1)

U(-1;0)

3. Donner les coordonnées des pointsU,V,M,L,Idans le repère(O;U;V).

Solution:Par lecture de la grille du plan :

U(1;0)

V(0;1)

M(2;0)

L(0;2)

I(1;1)

4. Quel semble être le milieu de[ML]? Le prouver par un calcul.

1 Solution:Cela semble être le pointI. Les coordonnées du milieu de[ML]sont don- nées par la formule : xM+xL

2;yM+yL2), soit,dans le repère(O;U;V),(2+02;0+22), soit(1;1), ce qui cor-

respond bien aux coordonnées du pointI.

×O×U×M×A×

V× L I B

Exercice 2

Sur la figure suivante,ABCDest un parallélogramme. Dans le repère(A;B;D), donner les coordonnées deA, B, C, D.

On appelleIle milieu de[AC]etJle milieu de[BD].

À l"aide de la formule du milieu, déterminer les coordonnéesdeIet deJ. Que constate-t-on? ?A ?B? D ?C

Solution:Dans le repère(A;B;D):

A(0;0)B(1;0)

C(1;1)D(0;1)

On en déduit les coordonnées deI:

I?xA+xC

2;yA+yC2?=?12;12?

De même pourJ:

I?xB+xD

2;yB+yD2?=?12;12?

Les deux points sont confondus. C"est prévisible car on saitque dans un parallélogramme, les diagonales ont un milieu commun.

Exercice 3

Dans un repère orthonormé(O;I;J), on place les pointsA(2;1),B(-3;0),C(0;3).

1. Dessiner un tel repère, placer les points.

Solution:

?O ?I? J ?A B? C K C?

2. Prouver que le triangleABCest rectangle enC.

Solution:On calcule les différentes distances à l"aide de la formule. On obtient : AB

2= (xb-xa)2+ (yb-ya)2

= (-3-2)2+ (0-1)2 = 25 + 1 = 26 AC

2= (0-2)2+ (3-1)2

= 4 + 4 = 8 BC

2= (0-(-3))2+ (3-0)2

= 9 + 9 = 18 CommeAC2+BC2= 26 =AB2, par le théorème de Pythagore on en déduit que l"hypothèse est vraie. 3

On noteKle milieu de[AB].

3. Prouver que les coordonnées deKsont?-12;12?puis placer ce point.

Solution:On calcule les coordonnées du milieu à l"aide de la formule. On obtient : K ?xa+xb

2;ya+yb2?

?2-3

2;1 + 02?

?-1 2;12? On appelleC?le symétrique deCpar rapport àK.

4. Quelles semblent être les coordonnées deC?? Prouver la conjecture et placer le pointC?.

Solution:C?semble avoir comme coordonnées(-1;-2). On le vérifie en calculant les coordonnées du milieu de[CC?]:?0-1

2;3-22?=?-12;12?, ce qui correspond bien au pointK.

5. Quelle est la nature du quadrilatèreBCAC?? Justifier.

Solution:BCAC?est un rectangle. En effet, ses diagonales ont le même milieu,c"est donc un parallélogramme. De plus, il possède un angle droit.

Exercice 4

Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses. Corriger la phrase lorsqu"elle est fausse.

1. Dans un repère l"axe des abscisses est forcément horizontal.

Solution:Non, par forcément. Par exemple, on peut choisir un repère(O;I;J)avec un axe(OI)horizontal.

2. SiA,BetMsont 3 points et siAM=BMalors le pointMest le milieu de[AB].

4 Solution:Non, on en déduit juste queMest sur la médiatrice de[AB].

3.(O;I;J)est un repère de plan.Aest un point du plan.

(a) Le pointIa toujours comme coordonnées(1;0).

Solution:Oui, c"est vrai.

(b)Os"appelle l"origine du repère.

Solution:Oui, c"est vrai.

(c) On obtient les coordonnées deAen construisant, entre autre, les deux droites suivantes : - une droite parallèle à l"axe des abscisses passant parA.

Solution:Oui, c"est vrai.

- une droite parallèle à l"axe des ordonnées passant parA.

Solution:Oui, c"est vrai.

Énigme

Une araignée se situe dans l"un des coins d"une pièce cubiquedont les arrêtes font2m.

Elle souhaite rejoindre le coin tout à fait opposé. Sachant qu"elle ne peut se déplacer que sur les

parois (y compris le plafond), quelle est la longueur du pluscourt chemin possible?

Solution:Traçons le patron du cube :

× ×A

B H L"araignée veut aller du pointAau pointBpar le plus court chemin. Elle parcourt donc la ligne droite[AB]. Le triangleABHétant rectangle enH, on a, d"après le théorème de Pythagore, AB

2=AH2+HB2= 42+ 22= 20.

Cela donneAB=⎷

20 =⎷5×4 =⎷4×⎷5 = 2⎷5.

Le plus court chemin est de2⎷

5mètres.

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[PDF] Devoir de mathématiques no 1 : Géométrie Cartésienne (sujet 1

Devoir de mathématiques no1 :

Géométrie Cartésienne (sujet 1)

Correction

Exercice 1

1. Dans le repère(O;U;V)

Solution:(OU)est l"axe des abscisses.

Oest l"origine.

2. Donner les coordonnées deBetUdans le repère(O;A;V).

Solution:Par lecture de la grille du plan :

B(1;-1)

U(-1;0)

3. Donner les coordonnées des pointsU,V,M,L,Idans le repère(O;U;V).

Solution:Par lecture de la grille du plan :

U(1;0)

V(0;1)

M(2;0)

L(0;2)

I(1;1)

4. Quel semble être le milieu de[ML]? Le prouver par un calcul.

2;yM+yL2), soit,dans le repère(O;U;V),(2+02;0+22), soit(1;1), ce qui cor-

×O×U×M×A×

Exercice 2

On appelleIle milieu de[AC]etJle milieu de[BD].

Solution:Dans le repère(A;B;D):

A(0;0)B(1;0)

C(1;1)D(0;1)

On en déduit les coordonnées deI:

I?xA+xC

2;yA+yC2?=?12;12?

De même pourJ:

I?xB+xD

2;yB+yD2?=?12;12?

Exercice 3

1. Dessiner un tel repère, placer les points.

Solution:

2. Prouver que le triangleABCest rectangle enC.

2= (xb-xa)2+ (yb-ya)2

2= (0-2)2+ (3-1)2

2= (0-(-3))2+ (3-0)2

On noteKle milieu de[AB].

3. Prouver que les coordonnées deKsont?-12;12?puis placer ce point.

2;ya+yb2?

2;1 + 02?

4. Quelles semblent être les coordonnées deC?? Prouver la conjecture et placer le pointC?.

2;3-22?=?-12;12?, ce qui correspond bien au pointK.

5. Quelle est la nature du quadrilatèreBCAC?? Justifier.

Exercice 4

1. Dans un repère l"axe des abscisses est forcément horizontal.

2. SiA,BetMsont 3 points et siAM=BMalors le pointMest le milieu de[AB].

3.(O;I;J)est un repère de plan.Aest un point du plan.

Solution:Oui, c"est vrai.

Solution:Oui, c"est vrai.

Solution:Oui, c"est vrai.

Solution:Oui, c"est vrai.

Énigme

Solution:Traçons le patron du cube :

× ×A

2=AH2+HB2= 42+ 22= 20.

Cela donneAB=⎷

20 =⎷5×4 =⎷4×⎷5 = 2⎷5.

Le plus court chemin est de2⎷

5mètres.