Université Bordeaux1 S6 Géométrie et Topologie Devoir Surveillé PDF

mathématiques géométrie

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S6 Géométrie et Topologie. Devoir Surveillé

mathématiques au cycle 4 - motivation engagement

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Devoir Surveille, duree 1h30

Exercice.

On rappelle que lasuspensiond'un espace topologiqueXest l'espace quotient (X[1;1])=ou8x;x02X;(x;1)(x0;1) (x;1)(x0;1) Montrer que la suspension du cercleS1est homeomorphe a la sphereS2. (On pourra factoriser une application convenable deS1[1;1]surS2.)

Probleme.

On note`2(R) l'espace de Hilbert des suites reelles (xn) de carre sommable, muni du produit scalairehx;yi=P1 n=0xnynet de sa distance associeed. On se propose de montrer le resultat suivant, version faible du theoreme de plongement de Withney : Theoreme 1.SoitMune variete separee a base denombrable. Alors il existe un plongement :M!`2(R). En particulierMest metrisable. On rappelle qu'on plongement est un homeomorphismeM!(M) ou(M) est muni de la topologie induite. Un espaceXest metrisable si sa topologie provient d'une distance surX. Pour simplier on supposeMde dimension xem2N. Pour demontrer le theoreme, etablir les etapes suivantes : (1) T outp ointd'une v arieteadmet u nebase de v oisinagescompacts et m etrisables. (Rappel : une collectionV= (Vi)de voisinages dexest une base de voisinages enxsi pour tout ouvertU3x, il existeVi2 V,x2ViU) (2)

Soit ( Un)n2Nune base d'ouverts deM. AlorsB=fUnjU

nest metrisablegest encore une base d'ouverts. Quitte a renumeroter, on se ramene aB=fUng. Soitdnune distance surU ncompatible avec la topologie. (3) La fonction n:M![0;1], denie parx7!minf1;dn(x;@Un)gsix2U n,n(x) = 0 si x =2U n, est continue surMet non nulle surUnexactement. (Rappel : siest une distance surXetAXnon vide,(x;A) = inff(x;y)jy2Agest continue en la variablex2X; on convient que(x;;) = +1);@A=AA). (4)

La fonction :M!`2(R),x7!n(x)n+1

n2Nest bien denie et continue.DS, 13 mars 2014 11h-12h302013-2014

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(5)est injective (utiliser le fait queMest separee). (6):M!(M) est fermee. (On pourra etablir que siFMest fermee, le complementaire de(F)dans(M)est ouvert, en montrant qued((x);(F))>0six =2F, oudest la distance de`2(R)). (7)

Conclure.

(8) Question subsidiaire : aquelle situation corresp ond@Un=;? Peut-on se ramener a@Un6= ;;8n?DS, 13 mars 2014 11h-12h302013-2014quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Exercice.

Probleme.

Soit ( Un)n2Nune base d'ouverts deM. AlorsB=fUnjU

La fonction :M!`2(R),x7!n(x)n+1

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Conclure.