[PDF] Mathématiques pour lingénieur

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Mathématiques pour

l"ingénieur

Abdennebi ACHOUR,

Lotfi BELKOURA,

Michel DAMBRINE,

Mekki KSOURI,

Hugues MOUNIER,

Wilfrid PERRUQUETTI,

Jean-Pierre RICHARD,

Joachim RUDOLPH,

Frank WOITTENNEK,

Salah SALHI,

Selma BEN ATTIA

Illustration du livre des procédés ingénieux (Kitâb al-Hiyal) publié en 850 par les trois frères Ahmed, Mohamed et Hasan bin Mûsa ibn Shâkir, travaillant dans la maison de la sagesse (Bayt al-Hikma) à Bagdad. i

Table des matières

1 Introduction aux Distributions 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Espaces des fonctions tests-Espaces des distributions . . . . . . . 2

1.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Transformées de Fourier et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Travaux Dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Travaux Pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Optimisation et LMI 31

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Minimisation sans contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Minimisation avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Optimisation convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Programmation semi-définie - LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Systèmes stochastiques 77

3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99

3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.6 La loi du Chi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.8 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.9 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.10 Processus de Wiener (ou mouvement brownien) . . . . . . . . . . 133

3.11 Problèmes et exercices pour l"Ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . 136

ii

TABLE DES MATIÈRESiii

4 EDO non-linéaire 153

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.2 Equations différentielles ordinaires sous forme implicite . . . . . . 157

4.3 Equations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . 159

4.4 EDO Linéaire : des comportements simplistes . . . . . . . . . . . 170

4.5 EDO Non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5 Calcul des variations 209

5.1 Quelques exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.2 Formulation du Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.3 Condition Nécessaire : équations d"Euler . . . . . . . . . . . . . . 213

5.4 Que faire dans d"autres cadres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.5 Quelques résultats annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6 Systèmes à retard 235

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.2 Classes d"équations differentielles fonctionnelles . . . . . . . . . . 239

6.3 Le problème de Cauchy pour les EDR . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.4 Méthode pas à pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.5 Stabilité des systèmes retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.6 Cas des systèmes de type neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6.7 Modèles pour les systèmes linéaires stationnaires . . . . . . . . . 262

6.8 Quelques liens entre modélisation et stabilité . . . . . . . . . . . 265

6.9 Propriétés structurelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.10 Compléments bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.11 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

7 Commande algébrique des EDPs 289

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7.2 Motivations et méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7.3 Notion de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

7.4 Notions de commandabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

7.5 Des systèmes à retards aux EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

7.6 Exemple de l"équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7.7 Calcul opérationnel utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

7.8 EDPs frontières comme systèmes de convolution . . . . . . . . . . 311

7.9 Systèmes du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

7.10 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

7.A Rappels d"algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

7.B Rappels sur les fonctions Gevrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

7.C Représentation des opérateursS(x)etC(x). . . . . . . . . . . . 331

ivTABLE DES MATIÈRES

8 Platitude et algèbre différentielle 333

8.1 Systèmes plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

8.2 Platitude différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.3 Entrées et dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

8.4 Systèmes entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

8.5 États généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

8.6 État de BrunovskÞ et forme de commande généralisée . . . . . . 347

8.7 Équivalence par bouclages quasi statiques . . . . . . . . . . . . . 348

8.8 Linéarisabilité par bouclages quasi statiques . . . . . . . . . . . . 350

8.9 Poursuite de trajectoires pour des systèmes plats . . . . . . . . . 352

8.10 Les systèmes linéaires tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

8.11 Observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

8.12 Exemple: Une grue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

8.13 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

8.A Bases mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

1Introduction aux

Distributions

Lotfi Belkoura

1 1 LAGIS & INRIA-ALIEN, Université des Sciences et Technologies de Lille, Bât. P2, 59650 Villeneuve d"Ascq, France.E-mail:

Lotfi.Belkoura@univ-lille1.fr

1.1 Introduction

La théorie des distributions permet, en se plaçant dans un cadre plus large que celui, classique, des équations différentielles ordinaires, de résoudre de nom- breuses équations issues de la physique, de la mécanique des fluides ou du traite- ment du signal. Elle permet ainsi, par exemple, de dériver, même indéfiniment, en un certain sens, une fonction qui n"est dérivable au sens usuel, et des infor- mations essentielles tels que les discontinuités des fonctions ne sont pas perdues par dérivation. Une des idées fondamentales de cette théorie consiste à définir les distributions au travers de leur action sur un espace de fonctions, dites fonctions tests. Ce chapitre limite son ambition à l"acquisition rapide de techniques de cal- culs puissantes, et les aspects tels que ceux relatifs aux propriétés topologiques des différents espaces ne sont as abordés. Il ne faut donc pas hésiter à consulter les ouvrages tels que celui de Laurent Schwartz, auteur de cette théorie, pour des développements et démonstrations plus complets. Les exemples et énon- cés sont pour la plus grande partie extraits des ouvrages cités en références [10, 7, 1, 9, 4, 2, 5, 12, 6, 11, 3, 8]. Bien que restreintes aux situations à une dimension (de la variablet), les représentations développées dans ce chapitre ad- mettent généralement une extension naturelle aux dimensions d"ordre supérieur, permettant d"appréhender les problèmes d"équation aux dérivées partielles. 1

1. Introduction aux Distributions

1.2 Espaces des fonctions tests-Espaces des

distributions Une distribution est une forme linéaire continue sur un espace vectoriel de fonctions, dites fonctions tests. Il existe différents types de distributions cor- respondant aux différents espaces de fonctions de test. Plus les conditions de régularité imposées aux fonctions tests sont sévères, plus les fonctionnelles ainsi définies seront générales. Les distributions, généralisant la notion de mesure, sont définies à partir de l"espace D( )définit ci-après. Dans tout ce qui suit, les définitions générales et exemples sont basés sur des fonctions tests notées'(t), en nous bornant, sauf mention contraire, au cas des fonctions définies surR;

Espace vectoriel

D(

Définition 1.2.1.Soit

un ouvert deR. On noteD( )l"espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact dans Rappelons au passage la définition du support d"une fonction; soitAl"en- semble desttels que'(t)6= 0. Le support de la fonction', notésupp'est le sous ensemble ferméA. Ainsi par exemple, pour la fonction "porte"Tde largeurT >0, définie par :

T(t) =1jtj T2

0jtj>T2

;nous aurons :suppT= T2 ;T2 :(1.1) Des exemples de fonctions appartenant à l"espace vectoriel ainsi défini ne vien- nent pas immédiatement à l"esprit. Un exemple fréquent est fournit par la fonc- tion suivante (t) =0jtj 1 exp 1t

21jtj<1;(1.2)

de support[1;+1]. Plus généralement, toute fonctionab(t)définie par ab(t) =(0t =2]a;b[ exp 12 h

1tb1tai

t2]a;b[;(1.3) est une fonction de Dayant pour support[a;b]. Enfin, le théorème suivant permet d"en construire bien d"autres : Théorème 1.2.1.Si'2Det si f est une fonction sommable à support borné, alors : (t) =Rf()'(t)dest une fonction deD.

Distributions

Définition 1.2.2.Une distribution sur un ouvert deRest une forme linéaire continue sur l"espace D( ). Les distributions forment un espace vectoriel noté D 0( 2

1.2. Espaces des fonctions tests-Espaces des distributions1.5

Fig.1.1: Tracé de23(t).

Une distributionTest donc un application deD(

)dansCfaisant corres- pondre à une fonction test'un nombre complexe notéhT(t);'(t)i, ou plus simplementhT;'ilorsqu"il n"y a pas ambiguïté sur la variable. C"est la valeurquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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