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Mathematiques pour l'ingenieur

Thomas Cluzeau

Ma^tre de Conferences

Ecole Nationale Superieure d'Ingenieurs de Limoges Parc ester technopole, 16 rue d'atlantis 87068 Limoges Cedex cluzeau@ensil.unilim.fr http://www.ensil.unilim.fr/ ~cluzeauThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Maths a l'ENSIL en TC1

Harmonisationen fonction du test de la rentr eeAnalyse

Algebre lineaire

A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S1Mathematiques pour l'ingenieur (coe. 2) A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S2Analyse numerique (coe. 2)

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Maths pour l'ingenieur : organisation et evaluation

Organisation7 seances d'1h30 de cours

8 seances d'1h30 de TD

Evaluation: 1 examen intermediaire de 30 min. sans documents en S9

1/4 note nale Tutorat en S131 examen nal de 1h30 avec documents en S15

3/4 note nale

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Plan du cours

1Introduction aux distributions

2La convolution

3La transformation de Fourier

4La transformation de Laplace

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Chapitre 1

Introduction aux distributions

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I

Pourquoi introduire les

distributions ?

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Historique

Distributions : utilisees depuis tres longtemps par lesphysiciens Theoriemath ematiquerigoureuse plus r ecente: Sob olev(1936),

L. Schwartz (1950)

, Gelfand (1964) Theorie la mieux adaptee al' etudede nom breuxsyst emes physiques (systemes lineaires continus) Convolution et Transformee de Fourieroutils tr espuissants gr ^ace aux distributions

Denition intuitive d'une distribution :

outil math ematiqueutilis e pour representer des phenomenes physiques que les fonctions classiques s'averent incapables de transcrire

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Exemple introductif (1)

Exemple : choc elastique & choc dur entre deux objetsPartie de squash : vitessev0avant puisv0apres tLoi de la mecanique Newtonnienne)F=m_vThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemple introductif 1

Partie de petanque : on passe dev0av0sans tOn a encoreF=m_vdoncF(t) = 0;8t6= 0

De plus

1m R +1

1F(t)dt=v(+1)v(1) =2v0

ce qui est absurde p ourdes fonctions )Probleme ne pouvant ^etre traite au sens des fonctions )On a besoin d'objets plus generaux :les distributions Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Autres exemples

Distributions de charges en

electrostatique (cf. p olycopie) En m ecanique , dans le cadre de l'application du Principe Fondamental de la Dynamique, comment ecrire l'equation du mouvement d'un solide lorsque le systeme est soumis a une force intense appliquee pendant un intervalle de temps tres court a partir de l'instantt=t0?En electricite, comment va se comporter un circuit dont l'entree varie brusquement ; par exemple par fermeture d'un

interrupteur sur une source de tension continue ?Enhydraulique , comment va se comporter un systeme dont

on ouvre brusquement une vanne a l'instantt=t0?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur II

Fonctionnelles et espaceDdes

fonctions tests

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Fonctionnelles

Denition

On dit que l'on a

u nefonctionnelle sur un ensemble de f onctions appelees fonctions tests , si a chacune de ces fonctions on peut associer un nombre complexe.FonctionnelleTsur un espace de fonctionsF:

T:F !C; '7!

Plus les conditions de regularite imposees aux fonctions tests sont severes, plus les fonctionnelles denies sont generales Les distributions seront denies comme fonctionnelles sur un

certain espace, noteD, que nous allons presenter maintenantThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

L'espace des fonctions testsDRESTRICTION POUR CE COURS: fonctions aune seule va riable

Denition

Soit f une fonction a valeurs complexes denie surR. Lesupp ort de f , not eSupp(f), est l'adherence des x2Rtels que f(x)6= 0.

Supp(f) =fx2R;f(x)6= 0g:Denition

On denit l'ensembleDcomme l'espace des fonctions a valeurs complexes denies surRindeniment derivables et a support borne (compact).Remarques: C'est un espace vectoriel de dimension innie. Les fonctions deDont deslimites nulles e n1Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDDes exemples ne viennent pas immediatement a l'esprit

Exemple fondamental:

a(x) =0pourjxj 1=a; exp(

11a2x2)pourjxj<1=a;

aveca>0.Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDPlus generalement, toute fonctionabdenie par ab(x) =0pourx=2]a;b[; exp( 12 [1xb1xa])pourx2]a;b[:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Autres exemples et theoreme d'approximation

Autre famille de fonctions deD:

k(x) =1(k x)R

1(k x)dxTheoreme

Si'2 Det si f est une fonction sommable (integrable) a support borne, alors (x) =Rf(t)'(xt)dt est une fonction deD.Soit k(x) =Rf(t) k(xt)dt fcontinue)( k)kconverge uniformement versfTheoreme (Theoreme d'approximation) Toute fonction continue a support borne peut ^etre approchee uniformement par une suite('n)n>0de fonctions deD.

8 >0;9N2N;tel que;8nN;8x;jf(x)'n(x)j:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Topologie deDDenie par un critere de convergence pour les suitesDenition Une suite('n)n>0de fonctions deDconverge vers une fonction' lorsque n tend vers l'inni si :1Il existe un ensemble borne B (independant de n) deRtel que pour tout n>0,Supp('n)B ;2Pour tout entier k0, la suite des derivees('(k)n)nconverge

uniformement surRvers'(k).On peut montrer que la limite'appartient alors aDThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

III

L'espaceD0des distributions

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Denition (1)

Denition

On appelle

distribution toute fonctionnelle lin eairecontinue sur l'espace vectorielD.DistributionT:

T:D !C; '7!=T(')1Linearite

=1+22Continuite: ( 'k)k>0converge dansDvers' )()k>0converge au sens usuel vers,i.e.,

8 >0;9N2Ntel que;8k>N;jjThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Denition (2)

Ensemble des distributions =espace vecto rielnot eD0 La somme de deux distributions et le produit d'une distribution

par un scalaire sont denis comme suit :=+< T;' >= Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemples : distributions regulieres (1)

Denition

Une fonction f:R!Cest ditelo calementsommable si elle est integrable sur tout intervalle borne.A toute fonction f localement sommable, on associe la distribution T fdenie par

8'2 D; =Z

f(x)'(x)dx:Une telle distribution est diter eguliereLemme Deux fonctions localement sommables denissent la m^eme distribution ssi elle sont egales presque partout.

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Exemples : distributions regulieres (2)

Valeur principale de Cauchy de 1=xnoteevp1x

= lim!0+Z jxj>'(x)x dx

Distribution de HeavisideFonctionHde Heavside :

H(x) =1pourx0

0pourx<0DistributionW=THde Heaviside :

==Z +1 1

H(x)'(x)dx=Z

+1 0 '(x)dxThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemples : distributions singulieres (1)

Les distributions qui ne s'ecrivent pasTfpourflocalement sommable sont dites singuli eres

Distributionde Dirac(exemple le p lususuel)

8'2 D; < ;' >='(0)

Plus generalement,

la distribution ade Dirac au pointa

8'2 D; < a;' >='(a):

Attention: en physique, on ecrit souvent(x) ou(xa) au lieu deeta. Cette ecriture laisse croire queest une fonction ce qui est faux !

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Exemples : distributions singulieres (2)

Distribution de Diracasouvent interpretee comme representant la masse (ou la cha rge)+1 au p ointa CL de distributions de Dirac = distribution singuliere

En particulier,

distribution p eignede Dirac aa =+1X n=1 n (proprietes interessantes, joue un r^ole important en physique)

Remarque: generalisations a 3 dimensions desa

representation mathematique correcte des charges ponctuelles et supercielles en electrostatique

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Support d'une distribution (1)

Denition

On dit que deux distributions S et T sont

egales si =quelque soit'2 D. On dit qu'elles sont egales sur un ouvert

Rsi=quelque soit

'2 Dayant son support dans .Exemples:T

1etWsont egales sur ]0;+1[. SiSupp(')]0;+1[

=R+1

11(x)'(x)dx=R+1

01'(x)dx=et``sont egales sur ]12

;12 [. SiSupp(')]12 ;12 <``;' >=P+1 n=1'(n) ='(0) =< ;' >Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Support d'une distribution (2)

Denition

Considerons la reunion de tous les ouverts sur lesquels une distribution T est nulle. Cet ensemble est alors le plus grand ouvert sur lequel T est nulle (admis). Son complementaire (qui est un ferme) est appele supp ortde la distribution T ; on le note Supp(T).Exemples:Supp(a) =fagSupp(``) =ZThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur IV

Operations sur les distributions

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Methodologie

Strategie

p ourd enirune op erationsur les distributions :

1etudier comment cette operation est denie pour unefonction

localement sommable2traduire ceci avec le langage des distributions sur la distribution reguliere associee3generaliser atoutes les distributions

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Translation

ffonction localement sommable,a2R )translateefadefest la fonction donnee parfa(x) =f(xa)

La distribution reguliere associee afaverie :

=Z f(xa)'(x)dx=Z f(y)'(y+a)dy=Denition La translat ee d'un edistribution T ,not ee T aest la distribution denie par : = :Exemple: Translatee devp1x =vp1xaThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Transposition

ffonction localement sommable,f:x7!f(x) transposee def ? Distribution associee a f. On a =Z f(x)'(x)dx=Z f(y)'(y)dy= :Denition La transp osee d'une distribution T ,not ee

Test la distribution

denie par : = :Remarque: Ceci permet de denir des distributions paires et impaires comme pour les fonctions.

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Dilatation (homothetie ou changement d'unite)

ffonction localement sommable,a2R )la dilatee de la fonctionfest denie parx7!f(ax)

Sa distribution reguliere associee verie :

<\Tf(ax)";' >=Z f(ax)'(x)dx=Z f(y)'(ya )dyjaj=1jaj :Denition La dilat ee d'une distribution T est la distribution d eniepa r: <\T(ax)";' >=1jaj :Exemple: \(ax)" =1jaj.Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Multiplication des distributions (1)

Il n'existe pas de moyen de multiplier entre elles 2 distributions ! (f;gloc. sommables n'implique pasf gloc. sommable)

Mais indeniment derivable,'2 D ) '2 D

Du point de vue des

distributions r egulieres , on a : =Z ( (x)f(x))'(x)dx=Z f(x)( (x)'(x))dx=Denition Soit une fonction indeniment derivable. Lep roduitT d'une distribution T par est la distribution denie par : = :Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Multiplication des distributions (2)

A partir de cette denition, on peut denir lep roduitd'une distribution quelconqueTpar une distribution reguliereT associee a une fonction indeniment derivable de la maniere suivante :

8'2 D; = :Lemme

= (0))Solutions de x T= 0: multiples dePreuve : < ;' >=< ; ' >= (0)'(0) = (0)< ;' >=< (0);' >Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Derivation des distributions

floc. sommableET d erivable)f0loc. sommable Sa distribution r eguliereasso ciee v erie(IPP): =Z f

0(x)'(x)dx=Z

f(x)'0(x)dx= : 'a support borne)f'a support borne)[f(x)'(x)]+1

1= 0 !

Raison principale du choix restrictif des fonctions tests ,i.e., deDDenition La d eriveeT

0d'une distribution Tde D0est la distribution denie

par : = :

De m^eme on pourra denir les derivees successives

T (m)par : = (1)m :Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemple et Derivee d'un produitT W0=

= =R+1

0'0(x)dx

=['(x)]+1 0 ='(0)

Tdistribution quelconque, indeniment derivable :

(T )0=T0 +T 0:

Exemple: (Wexp(t))0=W0exp(t) +W(exp(t)) =

exp(t) +Wexp(t) =+Wexp(t).Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Derivation et fonction discontinue (1)

On a vuW0=

D'un autre coteH0(x) = 0 pour toutx6= 0 et doncTH0= 06= )(Tf)06=Tf0des quefadmet une discontinuite fC1par morceaux,a1;:::;anpoints de discontinuite def ET(0) ile saut de discontinuite defenai:(0) i=f(a+ i)f(a i) D'oufsomme d'une fonctiongcontinueet de fonctions Hde

Heaviside :

f(x) =g(x) +nX i=0(0) iH(xai) et T f0=Tg0Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Derivation et fonction discontinue (2)

Theoreme

Soit f une fonction de classeC1par morceaux. Avec les notations precedentes, on a alors (Tf)0=Tf0+X i(0) iai:

On notera plus simplement

(Tf)0=Tf0+(0): De m^eme, soit f une fonctionC1par morceaux. Si l'on note(j) les sauts de discontinuite de f (j), on a (Tf)(m)=Tf(m)+(m1)+(m2)0++(0)(m1):Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Convergence (faible) dans l'espaceD0des distributions (1)Theoreme et Denition Soit(Tn)nune suite de distributions. On dit que(Tn)nconverge dansD0si, pour tout'2 D, la suiteconverge au sens ordinaire. Si l'on appelle= limncette limite, alors l'application'7!est une distribution.Theoreme Soit(Tn)nune suite de distributions. Si(Tn)nconverge dansD0 vers une distribution T, alors, pour tout m2N, la suite de distributions(T(m)n)nconverge dansD0vers T(m).Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Convergence (faible) dans l'espaceD0des distributions (2)Theoreme (Convergence vers)Si la suite de fonctions localement sommables(fk)kverie :19A>0tel que pour toutjxjA;fk(x)0;28a>0;R

jxjafk(x)dx!1lorsque k!+1;3f k(x)!0uniformement dans tout ensemble

0 <1(0Ex.: les gaussiennes denies pargn(x) =np

exp(n2x2)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur V

Sous-espaces deD0

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Deux sous-espaces particuliers

Espace de fonctions tests plus grand queD sous-espace vectoriel deD0

Deux espaces de fonctions tests couramment utilises sont :1l'espaceEdes fonctions indeniment derivables quelconques; 2l'espaceSdes fonctions indeniment derivables et qui

decroissent, ainsi que leurs derivees, plus vite que toute puissance de 1=xa l'innic'est- a-direque p ourtout k>0 et pour touth>0,xkf(h)(x) est bornee. EspaceE0des distributions a support compactet l'espace S0 des distributions ditestemperees(ou a croissance lente)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Distributions temperees

Espaces de fonctions tests :D S E

Espaces de distributions :D0 S0 E0

En pratique, distributions temperees( a,vp1x

Attention:flocalement sommable n'implique pasTftempereeTheoreme (Caracterisation des distributions temperees)

Pour qu'une fonctionnelle lineaire continue T surSsoit temperee, il faut et il sut qu'il existe A>0et p2N+tels que, pour tout '2 S, on ait : jjAk'kp; ou k'kp= Z j'(t)jpdt 1p

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VI

Distributions a plusieurs

dimensions

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Distributions a plusieurs dimensions

Distributions andimensions: fonctionnelles sur l'espace D(Rn) des fonctions deRndansCindeniment derivables surRnet a support borne. Exemple 1: distribution reguliere associee af:Rn!C localement sommable : =Z Z f(x1;:::;xn)'(x1;:::;xn)dx1:::dxn:

Exemple 2: dansR2, on denit la fonction

f(x;t) =H(x)H(t),Tfla distribution reguliere associe

On a@2@x@tTf=(x)(t)

et Tf=0(x)W(t) +0(t)W(x)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Chapitre 2

La convolution

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Introduction

Produit de convolution = outiltr esimp ortanten physique Transmission d'un signal par un appareil

Impulsion electrique fonction du temps

Image representee par une fonction d'une ou deux variables

Diraction

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Exemple introductif : le photocopieur (1)

Machine photocopieuseim parfaitementr eglee:

Trait n enx1sur original trait etalecentr een x1sur photocopie Trait d'une intensite moindre enx2 trait etale centre enx2sur photocopie Hypothese :Etalementde l'encre sur la photo copieidentique pour les deux traits Etalement fonction caracteristique de l'appareil :fonction d'etalement (ou fonction de reponse)h(x)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

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Exemple introductif : le photocopieur (2)

Trait enx1d'intensitef1sur original

f1h(xx1) sur photocopie ntraits places enx1;:::;xnd'intensitesf1;:::;fnsur original superposition desntraits etales sur photocopie

Signal de sortie (dans le casdiscret )

S(x) =nX

i=1f ih(xxi)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

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Exemple introductif : le photocopieur (3)

Signal de sortie (dans le casdiscret )

S(x) =nX

i=1f ih(xxi) Si signal d'entree = fonctioncontinue de x,somme $integrale

S(x) =Z

f(u)h(xu)du (produit de convolution des fonctionsfeth)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur I

Produit tensoriel

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