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PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES DE L"I.H.É.S.ZOGHMANMEBKHOUT Publications mathématiques de l"I.H.É.S., tome 69 (1989), p. 47-89 © Publications mathématiques de l"I.H.É.S., 1989, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Publications mathématiques de l"I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l"accord avec les conditions géné- rales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de

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LE THÉORÈME DE COMPARAISON

ENTRE

COHOMOLOGIES

DE DE RHAM D'UNE

VARIÉTÉ

ALGÉBRIQUE

COMPLEXE

E T LE

THÉORÈME

D'EXISTENCE

DE

RIEMANN

par

ZOGHMAN

MEBKHOUT

SOMMAIRE

0

Introductio

n 1 1

Rappel

s de quelques résultats

52. Le théorème de positivité et le faisceau d'irrégularité ......................................... 6

3 L e théorème de comparaison pour l a cohomologi e de de Rham 1 1 4 Le théorème de comparaiso n pour la cohomologie de de Rham de s cycle s

évanescent

s 1

35. Le théorème d'existence de Riemann ........................................................ 28

0

INTRODUCTION

Soi t

X/À

une variété algébrique non singulière définie sur un corps k.

Notons

DR(^x)

so n complexe de de Rham 0 0^ tl t2 0 etHp^(X) := IT(X; DR(^x)) sa cohomologie de de Rham où n := dim(X). Si le corps de bas e k es t l e corps des nombres complexes, notons de même DR^^) 1 e

complexede de Rham de la variété transcendante X11 associée à X et H^(X11) : = H^X11; DR(^x11))

s a cohomologie de de Rham, isomorphe l a cohomologi e de Betti H"(X 11 C^h) e n vertudu lemme de Poincaré. On a des morphismes naturels

H^(X)^H^(X

11

Motivé

par une bonne théorie de s formes différentielles de seconde espèc e d'Atiyah- Hodg e [A-H et une définition purement algébrique de s nombres de Betti d^une

variétéalgébrique non singulière sur un corps de caractéristique nulle, Grothendieck a démontré

l e théorème suivant

Théorème

[GJ Les morphismes sont des isomorphismes Dans l'article d'Atiyah-Hodge (loc. cit.), i l

était

signal que l a cl de l a

démons-tration de ce type de théorème devait être le théorème de résolution des singularités

démontré par

Hironaka

[H] En vertu du théorème GAGA de Serre [SJ

Grothendieck

48 ZOGHMAN MEBKHOUT

démontre que l'obstruction pour que soient des isomorphismes es t

Phypercohomologie

d'un certain complexe de faisceaux de

C-espaces

vectoriels pour l a topologie transcen- dante [GJ. En s'appuyant sur l e théorème d'Hironaka [H] i l a ensuite montré que c e complexe es t nul [G^] Plus généralement, on peut considérer un fibre vectoriel sur X muni d'une connexion intégrable. Soi t DR(<^ so n complexe de de Rham; notons

Hps(X,

S) IP(X; DR(^) l a cohomologie de de Rham de X valeur dans et Hp^(X 11 h

H'(X;DR(^

11 la cohomologie de de Rham de X 1 1 valeur dans le fibre transcendant associ O n a encore des morphismes naturels

H^X.^^H^X

11 1 et

Grothendieck

a demandé s i les morphismes sont encore des isomorphismes [GJ. Gomme l' a remarqué

Deligne

[D] l a réponse es t en général négative s i dim(X 1 l a différence entre l a caractéristique d'Euler-Poincaré des espaces vectoriels gradués Hp^X^ h et

Hp^(X,

es t

égal

e la somme des irrégularités du fibre connexion aux points l'infini de X, qui en général es t non nulle ([D] II, 6.20) I l fau t donc imposer une condition de régularité l'infini de fait,

Deligne

a montré l e théorème suivant

Théorème

[D] Avec les notations précédentes^ si V image inverse de sur toute courbe non singulière au-dessus de X ri? a que des singularités régulières

Finfini,

les morphismes sont des isomorphismes

L'image

inverse du fibre trivial 0^ muni de l a connexion naturelle sur unequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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