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Chapitre2

Séries numériques

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2 Séries numériques1

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Convergence des séries à termes positifs . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.3 Comparaison avec une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.4 Encore des critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.5 Comparaison logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.6 Plan d"étude d"une série à terme général positif . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Absolue convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3 Plan d"étude d"une série de signe quelconque . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Produit de Cauchy de deux séries complexes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 L"essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Les paragraphes 2.1, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.4 et 2.3.1 sont des rappels de première année.

2.1 Définitions

DÉFINITION2.1♥Série

On considère une suite(un)n?Nà valeurs réelles (ou complexes). On lui associe la suite dessommes partielles(Sn)n?N

définie par ?n?N, Sn=n? k=0u k

— On appellesériede terme généralun, la suite(Sn)de terme généralSnque l"on note?un.

1

— On dit que lasérie?unconvergesi et seulement s"il existeS?Rtel queSn-----→n→+∞S. Sinon, on dit que la série?undiverge.

— Lorsque la série?unconverge, on dit queSest lasomme de la sérieet l"on note

S=+∞?

n=0u n

Remarque 2.1Ne pas confondre les notations, on peut parler d"une série?unmême si la série ne converge pas. Par

contre, la notation n=0u

ndésigne la somme d"une série qui n"a de sens que si la série converge.Cette notation représente

unelimiteet non pas une somme "infinie» ...

Remarque 2.2Il se peut que la suite(un)ne soit définie qu"à partir d"un rangn0. On parle également de la série?un,

les sommes partielles n"étant définies qu"à partir du rangn0: S n=n? k=n0u k et si la suite(Sn)n?n0converge, on note sa limite+∞? n=n0u n

Remarque 2.3Étudier lanatured"une série?unconsiste à préciser si la série converge ou diverge.

Remarque 2.4Une série n"est pas autre chose qu"une suite. On peut donc luiappliquer les résultats vus en première

année concernant les suites réelles ou complexes. PROPOSITION2.1♥♥♥Espace vectoriel des séries convergentes L"ensemble des suitesE={(un)?KN|?unconverge}est unK-espace vectoriel. L"application S : ?E-→K (un)n?N?-→+∞? n=0u n est une forme linéaire surE.

DémonstrationRemarquons queEest un sous-ensemble deKN. Pour montrer queEest unK-espace vectoriel, il suffit de montrer

que c"est un sous-espace vectoriel de KN.

L"ensemble

Edes séries convergente est non vide car il comporte la série de terme général nul.

Soient?un,?vn?Edeux séries convergentes. Pourn?N, on noteSnetTnla nième somme partielle respectivement associée à?unet?vn. Soient aussiα,β?K. Dire que?un,?vnsont convergentes revient à dire que(Sn)n?Net(Tn)n?Nsont des suites

convergentes. Mais alors par théorème sur les suites, α(Sn)n?N+β(Tn)n?N=(αSn+βTn)n?Nest aussi une suite convergente. Donc ??αun+βvn?est convergente. On note n=0?

αun+βvn?

sa somme.

De plus, si

S=limSn=+∞?

n=0u net siT=limTn=+∞? n=0v nalorsαSn+βTn-----→n→+∞αS+βT, ce qui s"écrit aussiα+∞? n=0u n+β+∞? n=0v n= n=0?

αun+βvn?

Remarque 2.5En particulier, si?unet?vnsont convergentes de somme respectivesSetTalors pour toutα,β?K,

la sérieα?un+β?vnest convergentede sommeαS+βT.

Attention 2.1On ne peut écrire?∞n=0(un+vn)=?∞n=0un+?∞n=0vnqu"après avoir vérifier que les séries?(un+vn),?unet?vnsont convergentes.

PROPOSITION2.2

Unesérieàtermescomplexesconvergesietseulementsi lessériespartieréelleetpartieimaginaireassociéesconvergent.

DémonstrationLaissée en exercice.

2 THÉORÈME2.3♥Séries grossièrement divergentes Il y a un lien important entre la suite(un)et la suite des sommes partielles(Sn): ?n?1,un=Sn-Sn-1

On en déduit que

?unCV=?un-----→n→+∞0 Lorsque la suite(un)ne converge pas vers0, on dit que la série?unestgrossièrement divergente. S n-1=u0+···+un-1

En faisant la différence,un=Sn-Sn-1. Si la série?unconverge, il existeS?Rtel queSn-----→n→+∞S, mais alorsSn-1-----→n→+∞S

et par les théorèmes généraux, un=Sn-Sn-1-----→n→+∞S-S=0

Remarque 2.6Il ne suffit pas queun-----→n→+∞0pour que la série converge.On verra que la série?1ndivergeet pourtant

1 n-----→n→+∞0.

Remarque 2.7Pour étudier la nature et calculer la somme d"une série?un, il est intéressant de trouver une suite(vn)

telle que ?n?N,un=vn+1-vn Alors le télescopage permet de calculer explicitement la somme partielle : S n=n? k=0u k=n? k=0(vk+1-vk)=vn+1-v0

La série

?unconverge si et seulement si la suite(vn)converge et dans ce cas, n=0u n=limn→+∞vn-v0

Remarque 2.8Pour étudier unesuite(vn), il peut être également intéressant d"étudier la convergence de la série?tn

oùtn=(vn-vn-1). En effet, v k=1t k

Par conséquent,

la suite(vn)converge??la série?tnconverge PROPOSITION2.4♥On ne modifie pas la nature d"une série en modifiant un nombre fini de termes

Si(un)et(vn)sont deux suites telles qu"il existen0?Navec?n?n0,un=vn, alors les séries?unet?vnsont de

même nature. DémonstrationIntroduisons les sommes partielles des deux séries : ?n?N, Sn=n? k=0u kTn=n? k=0v k

Alors pourn?n0,

Tn=n 0-1? k=0v k+n? k=n0v k n? k=0u k+? n0-1? k=0v k-uk? =Sn+C

oùCest une constante ne dépendant pas den. Par conséquent, la suite(Tn)converge si et seulement si la suite(Sn)converge.

3 DÉFINITION2.2♥Reste d"une série convergente

Soit une série

?unconvergente. Notons(Sn)n?Nla suite de ses sommes partielles etS=+∞? n=0u nsa somme. On appelle reste d"ordrende la série?un, la suite de terme généralRn=S-Snnotée

Rn=+∞?

k=n+1u k

On aRn-----→n→+∞0et la relation

?n?N, Sn+Rn=+∞? n=0u n Remarque 2.9On veut calculer une valeur approchée de la somme d"une série?un:

S=+∞?

k=0u k

On décide de prendre comme valeur approchée de cette somme, la somme partielle de la série :

S n=n? k=0u k PuisqueSn+Rn=S, l"erreur commise dans cette approximation est le reste de la série : |S-Sn|=|Rn|

On peut écrire la procédure Python suivante qui prend en argument une fonctionftelle queun=f(n), un entiernet

calcule la somme partielleSnde la série :

Python

1#première p o s s i b i l i t é

2defsomme_partielle(f,n):

3S=0

4foriin range(0,n+1):

5S+=f(i)

6return(S)

7

8#seconde p o s s i b i l i t é

9sum([f(i)foriin range(0,n+1)])???

Le problème consiste à déterminer la valeur denpour être sûr queSnsoit une valeur approchée àεprès deL. On résout

ce problème si l"on sait majorer simplement le resteRn. Si par exempleRn?1 n, pour obtenir une valeur approchée à 10 -pprès, ilsuffitque1 n?10-p, c"est-à-diren?10p. THÉORÈME2.5♥Séries géométriques Soitz?C. La série?zns"appelle unesérie géométriquede raisonz.

1. La série?znconverge si et seulement si|z|<1.

2. On connaît explicitement les sommes partielles, la sommeet le reste d"une série géométrique :

Sn=n? k=0zk=?????1-zn+11-zsiz?=1 n+1siz=1

Si|z|<1,

n=0zn=1

1-zRn=+∞?

k=n+1zk=zn+11-z 4

Démonstration

1. On suppose que?znest convergente. On noteSnLa nième somme partieelle associée à cette série, on a :

Sn=n? k=0zk=???1-zn+11-zsiz?=1 n+1siz=1.

Alors?znconverge si et seulement si(Sn)n?Nconverge c"est-à-dire si et seulement si(zn)n?Nconverge, ce qui est équi-

valent à |z|<1. 2. Si |z|=1, alors n=0zn=limSn=1 1-z.

On en tire que, pour toutn?N:

Rn=S-Sn=zn+11-z.

Remarque 2.10Les séries géométriques sont d"un usage fondamental en Analyse. Les formules précédentes sont à

connaître par coeur.

2.2 Séries à termes positifs

2.2.1 Convergence des séries à termes positifs

Dans cette section, on considère une suite(un)n?Nàtermes positifs ou nuls. Si tous les termes de(un)sont négatifs,

puisque les séries?unet?(-un)sont de même nature, on se ramène au cas d"une série à termes positifs.

|0 |S0 |S1 |S2+S3 L u0u1u2u3

FIGURE2.1 - Série à termes positifs

THÉORÈME2.6♥Convergence d"une série à termes positifs

On suppose que?n?N,un?0. Alors :

1. La suite des sommes partielles(Sn)n?Nestcroissante.

2. la série?unconverge si et seulement si la suite(Sn)n?Nest majorée.

Démonstration

a. Soit n?N,

Sn+1-Sn=un+1?0

ce qui montre que la suite(Sn)est croissante.

1. C"est le théorème de la limite monotone.

Remarque 2.11Dans ce cas,+∞?

n=0u n=sup n?NSnet pour toutn?N,Sn?+∞? n=0u n=sup n?NSn.

Exemple 2.2

1. Montrer que?n?2,1

n2?1n(n-1).

2. En déduire que la série

?1 n2converge.

2.2.2 Critères de comparaison

5 THÉORÈME2.7♥Critère d"inégalité des séries positives

Soient?unet?vndeux séries.

H1Les deux séries sont àtermes positifs:?n?N,un?0etvn?0.

H2?n?N,un?vn.

Alors :

1. Si la série

?vnconverge, alors la série?unconverge également et+∞? n=0u n?+∞? n=0v n.

2. Si la série

?undiverge, alors la série?vndiverge également. DémonstrationConsidérons les sommes partielles de ces séries : Sn=n? k=0u kVn=n? k=0v k

D"après l"hypothèse, pour toutn?N,

Sn?Vn

1. Si?vnconverge, d"après le théorème 2.6, pour toutn?N,

Sn?Vn?+∞?

n=0v n

La suite(Sn)étant majorée et croissante, la série à termes positifs?unconverge d"après le théorème de la limite monotone.

2. Puisque pour tout

n?N,Vn?Snet queSn-----→n→+∞+∞, alorsVn-----→n→+∞+∞et donc la série?vnest divergente.

Exemple 2.3Étudions la convergencede?lnnn2n. La série est bien à termes positifs. La suite?lnnn?

tend vers0en l"infini donc il existeM>0tel que :?n?N?, 0?lnn n2n?M2net la série de terme généralM2nétant convergente,il en est de même de la série initiale.

2.2.3 Comparaison avec une intégrale

k-1k k+1f(k)

FIGURE2.2 -?

k+1 k f(t)dt?f(k)?? k k-1f(t)dt THÉORÈME2.8♥Comparaison avec une intégrale Soitf:[a,+∞[?→Rune fonction continue par morceaux (a?N). On suppose que :

H1fest à valeurspositives.

H2festdécroissante.

Alors la série

?f(n)et la suite??n af(t)dt?sont de même nature. De plus, si elles convergent : a+1f(t)dt?+∞? k=a+1f(k)?? a f(t)dt. 6

Démonstration

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