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À remettre par binômes le lundi 10 février.L"objectif de cet exercice est de démontrer un théorème relatif aux suites : lethéorème de Césaro.
Pour simplifier les notations, on numérote les termes des suite à partir de 1; tous les résutats indiqués
restent vrais si la numérotation part de0.Définition Soit(un)n2Nune suite de réels. On appellesuite des moyennesdeula suite Pn k=1ukn n2N.Théorème
Si la suiteutend vers`2R, la suite de ses moyennes également.(Césaro)A) Peuve du théorème
Soituune suite qui converge vers`2R, on notevla suite de ses moyennes. 1.Cas `= 0: soit" >0.
(a) Justifier l"existence d"un rang N2Nà partir duqueljunj<"2 (b) En utilisan tla q uestionprécéden te,prouv erque vconverge vers0. 2. Cas `2R: en utilisant 1., prouver quevconverge vers`. 3.Cas `= +1: prouver quevtend vers+1.
4. Cas `=1: déduire du cas précédent quevtend vers1.B) Réciproque?
1. Enoncer la récipro qued uthéorème de Césaro. 2. Cette récipro queest f ausse,prop oserun con tre-exemple. 3.Démon trerque si on a joutel"h ypothèsede mo notoniesur ualors la réciproque du théorème de
Césaro est vraie.
C) Lemme de l"escalier
1. Soit (un)n2Nune suite de réels telle queun+1un!n!+1`2R.Montrer que
unn !n!+1`.(Lemme de l"escalier) 2. Soit (un)n2Nune suite de réels strictement positifs.Montrer que si
un+1u n!n!+1` >0alors(un)1n !n!+1`. 3.En déduire la limite de
2n n 1n n .En option pour ceux qui en veulent plus : l"exercice 16 de la fiche sur la dérivation.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Mathématiques:Devoir maison n°6
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