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Exercice 1
ABB M IJ H1. Le triangleABIest inscrit dans un cercle dont son cˆot´e [AB] est un diam`etre donc il est
rectangle enI. De mˆeme, le triangleABJest rectangle enJdonc les droites (AJ) et (BI) sont deux hauteurs du triangleABM, leur point d"intersectionHest donc l"orthocentre du triangleABM.2. La droite (HM) est donc une hauteur du triangleABMet elle est donc perpendiculaire
`a la droite (AB).Exercice 2
O I A B CDA ?B C D A ??B C D 1/4 Correction du devoir maison de math´ematiques n◦3Exercice 3
A B CDO I J1. CommeOest le centre du parall´elogrammeABCD, on aOA=OC. De plus?AOI=?COJ
car ce sont des angles oppos´es par le sommet. Comme ?AIO=?CJO= 90◦, la somme des mesures des angles d"un triangle ´etant ´egale `a 180 ◦, on a ´egalement?OAI=?OCJ. D"apr`es la propri´et´e de caract´erisation, les trianglesOAIetOCJsont donc isom´etriques.2. On en d´eduit queOI=OJetOest donc le milieu de [IJ].
Exercice 4
AB CD E FG 1. ?ABG=?ABC+ 90◦=?DBC.2. On a
?ABG=?DBC,AB=BDetBC=BGdonc d"apr`es la propri´et´e de caract´erisation, les trianglesABGetBCDsont isom´etriques.3. On en d´eduit queAG=CD.
2/4 Correction du devoir maison de math´ematiques n◦3Exercice 5 *
A B C MNP L"id´ee est de montrer que les trianglesACM,BCNetBCPsont isom´etriques, en effet :CM=BC=BC,AC=CN=BPet?MCA=?BCN=?CBP.
On en d´eduit queAM=BN=CP.
Exercice 6 **
A BCD O M NEn remarquant que
?OAD=?OMD= 90◦et queOA=OM, on obtient en appliquant le th´eor`eme de Pythagore queAD=DM(les trianglesAODetDOMsont donc isom´etriques).En remarquant que
?DMN=?DCN= 90◦et queDM=DC, on obtient en appliquant le th´eor`eme de Pythagore queMN=CN(les trianglesDMNetDCNsont donc isom´etriques). 3/4 Correction du devoir maison de math´ematiques n◦3Exercice 7 **
A BC M N PI Les trianglesAIPetCINsont isom´etriques, en effet : -AI=CI(dans un triangle rectangle, la longueur de la m´ediane issue de l"angle droit est ´egale `a la moiti´e de la longueur de l"hypot´enuse). -AP=CN(le triangleCMNest rectangle isoc`ele doncCN=NM). ?IAP=?ICN= 45◦On en d´eduit queIN=IP.
On remarque que
?CIN+?AIN= 90◦et que?CIN=?AIP.On a alors
?MIP=?AIN+?AIP=?AIN+?CIN= 90◦.Le triangleINPest donc rectangle isoc`ele enI.
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