[PDF] Chapitre 11 Structures algébriques

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Document créé le 29 octobre 2015Lien v ersles énoncés des e xercicesLien v ersle cour sde ce c hapitre

Chapitre 11

Structures algébriques

11.1

Lois de comp osition

ISolution 11.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

Dan s(H), on p osex=v=eety=u=f.

On obtient donc(e ? f)•(f ? e) = (e•f)?(f•e). Avec les définitions deeetf, on trouvef•f=e ? e, puisf=e. 2. Dans (H), on p osey=u=e, et on laissexetvquelconques. ?(x,v)?E2,(x ? e)•(e ? v) = (x•e)?(e•v). Sachant queeest neutre pour les deux lois, on en déduit : ?(x,v)?E2,x•v=x ? v: Les lois?et•sont donc identiques. 3. On a main tenant: ?(x,y,u,v)?E4,(x ? y)?(u ? v) = (x ? u)?(y ? v) (K). Dans cette égalité, on choisity=e, les trois autres étant quelconques. On en déduit :?(x,u,v)?E3,(x ? e)?(u ? v) = (x ? u)?(e ? v), c"est-à-dire : ?(x,u,v)?E3,x ?(u ? v) = (x ? u)? v: la loi?est associative. Enfin, dans (K), on posex=v=e, les deux autres étant quelconques. On en déduit :?(y,u)?E2,(e ? y)?(u ? e) = (e ? u)?(y ? e), c"est-à-dire : ?(y,u)?E2,y ? u=u ? y: la loi?est commutative.

ISolution 11.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour tous réelsx,y,z, on a :

(x ? y)? z= [kxy+k?(x+y)]? z =k[kxy+k?(x+y)]z+k?[kxy+k?(x+y) +z] =k2xyz+kk?(xy+xz+yz) +k?[k?(x+y) +z]

On remarque que la loi?est commutative.

On peut donc écrirex ?(y ? z) = (y ? z)? x= (z ? y)? x. On obtient doncx ?(y ? z)en échangeantxetzdans l"expression de(x ? y)? z. Ainsix ?(y ? z) =k2zyx+kk?(zy+zx+yx) +k?[k?(z+y) +x]. On en déduit :(x ? y)? z-x ?(y ? z) =k?(k?-1)(x-z). La loi?est associative?cette dernière quantité est nulle pour tousx,z.

Conclusion : la loi?est associative?k?? {0,1}.

11.1 Lois de compositionChapitre 11 :Structures algébriquesISolution 11.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. La symétrie de la définition prouv eque la loi ?est commutative. 2. P ourtoute partie AdeE, on a :A∩ ∅=∅ ?A ?∅=A? ∅=A.

Autrement dit,∅est neutre pour la loi?.

3. On remarque que p ourtoutes parties A,BdeE, on aA ? B?A?B. On ne peut donc avoirA ? B=∅que siA=B=∅. ∅est donc le seul élément deP(E)à avoir un inverse (il est son propre inverse.) 4.

Soie ntA,B,Ctrois parties quelconques deE.

Si A,B,Csont deux à deux disjointes, alors

A ?(B ? C) =A ?(B?C) =A?(B?C)

= (A?B)?C= (A ? B)?C= (A ? B)? C Si A∩B?=∅alorsA∩(B ? C)?=∅carB ? C?B. On en déduit :A ?(B ? C) =Eet(A ? B)? C=E ? C=E. De même, si A∩C?=∅ou siB∩C?=∅alorsA ?(B ? C) = (A ? B)? C=E. Dans tous les cas, on a donc A ?(B ? C) = (A ? B)? C: la loi?est associative.

ISolution 11.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. La symétrie de la définition prouv eque la loi ?est commutative. 2. P ourtout A?E, on a :A ? E= (A∩E)?(A∩E) =A?(A∩ ∅) =A? ∅=A.

Autrement dit,Eest neutre pour la loi?.

3. Soit Aune partie deE. On constate queA ? A= (A∩A)?(A∩A) =A?A=E. Tout élément deAest donc son propre symétrique pour la loi?. 4. O nremarque que p ourtoutes parties X,YdeE, on a : X ? Y= (X∩Y)?(X∩Y) = (X?X)∩(X?Y)∩(Y?X)∩(Y?Y) =E∩(X?Y)∩(Y?X)∩E= (X?Y)∩(Y?X)

SoientA,B,Ctrois parties quelconques deE.

On utilise les deux définitions possibles de?pour évaluer(A ? B)? C. On trouve : (A ? B)? C=?? (A?B)∩(A?B)? ?C ∩?(A∩B)?(A∩B)?C? = (A?B?C)∩(A?B?C)∩?? (A?B)∩(A?B)? ?C? = (A?B?C)∩(A?B?C)∩(A?B?C)∩(A?B?C) Puisque la loi?est commutative, on aA ?(B ? C) =A ?(C ? B) = (C ? B)? A. Pour obtenirA ?(B ? C), il suffit donc d"échangerAetCdans l"expression de(A ? B)? C. Or on voit que cette expression est invariante dans cet échange. On en déduitA ?(B ? C) = (A ? B)? C: la loi?est associative.

ISolution 11.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

Soit aun élément régulier deE.

Par définition, pour tousx,ydeE, on a :?x ? a=y ? a?x=y a ? x=a ? y?x=y

Les applications?

d a:x?→x ? a g a:x?→a ? xsont donc injectives deEdansE. OrEest un ensemble fini. Ces deux applications sont donc bijectives. En particulier, il existea?dansEtel queda(a?) =e, c"est-à-dire tel quea?? a=e.

De même, il existea??dansEtel quega(a??) =e, c"est-à-dire tel quea ? a??=e.Mathématiques en MPSI

©Jean-Michel Ferrardmathprepa.frPage 2

11.1 Lois de compositionChapitre 11 :Structures algébriquesOn peut alors écrire, en utilisant l"associativité :

?a ??(a ? a??) =a?? e=a? a ??(a ? a??) = (a?? a)? a??=e ? a??=a??

Ainsia?=a??donca?? a=a ? a?=e.

Conclusion :a?est l"inverse deapour la loi?.

2. O nse place p arexemple dans Zmuni de la multiplication. Cette loi est associative et tout élément non nul est régulier (simplifiable). Pourtant seuls1et-1possèdent un inverse dansZpour cette loi.

ISolution 11.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L"hypothèse surasignifie :?x?E,?y?E,aya=x.

En particulier, il existe un élémentbdeEtel queaba=a.

Soitxun élément quelconque deE.

Toujours par hypothèse, il existeydansEtel queaya=x. En utilisant l"associativité de la loi, on constate alors que : ?x(ba) = (aya)(ba) = (ay)(aba) = (ay)a=x (ab)x= (ab)(aya) = (aba)(ya) =a(ya) =x Autrement dit,abest neutre "à gauche" etbaest neutre "à droite".

En particulier(ab)(ba) =abet(ab)(ba) =ba.

Conclusion : l"élémente=ab=baest neutre dansE.

ISolution 11.1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

P arh ypothèse,les applications

?g a:x?→a ? x d b:x?→x ? bsont injectives.

OrEest un ensemble fini.

Ces deux applications sont donc bijectives.

En particulier, il existeedansEtel quega(e) =a.

De même, il existefdansEtel quedb(f) =b.

Avec ces notations, on a donca ? e=aetf ? b=b.

2. P ourtout xdeE, en utilisant l"associativité de la loi?, on a : a ?(e ? x) = (a ? e)? x=a ? x

On en déduite ? x=x.

De la même manière :

(x ? f)? b=x ?(f ? b) =x ? b

Doncx ? f=x.

3. Ce qui précède mon treque eest neutre "à gauche" etfest neutre "à droite".

En particuliere ? f=f(eneutre à gauche.)

De la même manière :e ? f=e(fneutre à droite.) Conclusion : l"élémente=fest neutre dansEpour la loi?.Mathématiques en MPSI

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11.1 Lois de compositionChapitre 11 :Structures algébriquesISolution 11.1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SoientR,SetTtrois relations surE.

On poseU=R?SetV=S?T.

Il faut montrer(R?S)?T=R?(S?T), c"est-à-direU?T=R?V.

Soienta,bdeux éléments quelconques deE.

Il faut prouver l"équivalencea(U?T)b?a(R?V)b. Or : a(U?T)b? ?x?E,aUxetxTb ? ?x?E,?y?E,aRy,ySx,xTb ? ?y?E,aRy,yVb ?a(R?V)b

Conclusion : la loi?est associative.

Remarque : la relation "égalité" est neutre pour la loi?.

ISolution 11.1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. P arsymétrie de la définition, la loi ?est évidemment commutative. D"autre part, il est clair que0est neutre :?x?E,x ?0 =x. 2. Cher cherles in versesév entuelsd"un réel a, c"est résoudre l"équationa ? x= 0.

Maisa ? x= 0?a+x+ sin(ax) = 0.

Posons par exemplea= 4, et soitfl"application définie parf(x) = 4 +x+ sin(4x).

Voici la courbe représentative def:Graphiquement, on voit quefpossède trois racines distinctesα < β < γ.

Cela signifie queα,β,γsont trois inverses dea= 4. Plus précisément : -f(-32

π) = 4-32

π≈0-.712388981<0

-f(-43

π) = 4-43

π+12

⎷3≈0.6772352000>0 -f(-76

π) = 4-76

π-12

⎷3≈ -0.5312168350<0 -f(-π) = 4-π≈0.858407346>0.

On en déduit-32

π < α <-43

π < β <-76

On montre que :α≈ -4.562912597,β≈ -3.902602873etγ≈ -3.326370012. 3.

On sait que si une loi sur Eest associative et s"il y a un élément neutre, alors l"inverse d"un élémenta,

s"il existe, est unique. Rappelons la démonstration. Sia?eta??sont deux inverses dea, on a : a ??(a ? a??) = (a?? a)? a??donca?? e=e ? a??donca?=a??.Mathématiques en MPSI

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11.1 Lois de compositionChapitre 11 :Structures algébriquesDans notre exemple, le fait quea= 4ait plusieurs inverses montre que?n"est pas associative, mais cette

"méthode" est évidemment une farce. Il est en effet bien plus rapide d"exhiber trois élémentsx,y,ztels

quex ?(y ? z)?= (x ? y)? z. Posons par exemplex= 2,y=πetz= 1. On constate que : x ?(y ? z) = 2?(π ?1) = 2?(π+ 1) = 3 +π+ sin(2(π+ 1)) = 3 +π+ sin2

D"autre part :

(x ? y)? z= (2? π)?1 = (2 +π)?1 = 3 +π+ sin((2 +π)1) = 3 +π-sin2?=x ?(y ? z)

ISolution 11.1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

S oitEun ensemble fini de cardinaln>1.

Une loi surEest une application deE×EsurE.

Orcard(E×E) =n2. Il y a doncnn2possibilités. Par exemple il y a525= 298023223876953125lois sur un ensemble à5éléments. 2. P osonsE={x1,x2,...,xn}. On définit une loi?commutative surEen se donnant lesxi? xjdansE avec16i6j6n.

Comme il y a

n(n+1)2 tels couples(i,j), il y ann(n+1)2 lois commutatives surE. Il y a par exemple515= 30517578125lois commutatives sur un ensemble à5éléments.

ISolution 11.1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. O np eutciter E=P(F)muni de la loi "réunion" ou de la loi "intersection". On peut également citerE=Zmuni de la loi "pgcd" ou de la loi "ppcm" 2. P ourtout xdeEon ax ? x=xc"est-à-direxRx: la relationRest réflexive. Soie ntx,ydansEtels quexRyetyRx. Alorsx ? y=yety ? x=x.

Or la loi?est commutative.

On en déduitx=y: la relationRest antisymétrique.

Soie ntx,y,zdansEtels quexRyetyRz.

On a doncx ? y=yety ? z=z.

La loi?étant associative, on en déduit

x ? z=x ?(y ? z) = (x ? y)? z=y ? z=z

Autrement ditxRz: la relationRest transitive.

Concl usion: Rest une relation d"ordre surE

3. On mon tretout d"ab ordque x ? yest un majorant de{x,y}. Par symétrie, il suffit de vérifier quexR(x ? y). Cela résulte dex ? x=x. En effet :x ?(x ? y) = (x ? x)? y=x ? y. Enfin soitzun majorant dexet dey, c"est-à-dire tel quex ? z=zety ? z=z. Il reste à montrer quezest un majorant dex ? y.

En effet(x ? y)? z=x ?(y ? z) =x ? z=z.

Conclusion :

Pour tousx,ydansE,x ? yest la borne supérieure de{x,y}pour la relationR.

ISolution 11.1.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mathématiques en MPSI

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11.1 Lois de compositionChapitre 11 :Structures algébriques1.S oienta,bdeux éléments quelconques deE.

La première partie de l"hypothèse donneb ? a6betb ? a6a. Avecx=b ? a, la deuxième hypothèse donne alorsb ? a6a ? b. En échangeant les rôles deaetb, on a alorsa ? b6b ? adonca ? b=b ? a.

Conclusion : la loi?est commutative.

2.

Soit aun élément deE.

La première partie de l"hypothèse donnea ? a6a. Avecx=a=b, la deuxième hypothèse donne alorsa6a ? a.

Conclusion : pour toutadeE, on a :a ? a=a.

3. Soie nta,b,ctrois éléments quelconques deE, aveca6b.

On sait quea ? c6a6b.

D"autre parta ? c6c.

Les inégalités?

?a ? c6b a ? c6cdonnent alorsa ? c6b ? c. Soienta,b,c,dquatre éléments quelconques deE, avec? ?a6b c6d

D"après ce qui précède, on a?

?a ? c6b ? c c ? b6d ? b On en déduita ? c6b ? d, ce qu"il fallait démontrer. 4.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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