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Unepetiteréf érenceNumpy

(miseàjourlaplus réc ente:15o ctobre 2013)

Lesnouve auxprogrammesdesCPGEscie ntifiques(rentrée2013)comporte ntunensei gnementd' informatiquepourtous,

etprév oientnotammentl'utilisationdul angagePython.

Ced ocumentfaitsuiteà"Unepe titeréférenc ePython»,dontl ave rsi onlaplusr écenteestsurmathprepa.fr

Iles tconsacré àuneprésentationassezco mpl ète(mais quinesauraitêtreexhaustive)dumodule numpy.

Cedo cumentestmisàdispositio nselonles termesdel ali cenceCreativeCommons:

Unpe titmotpersonnel, ausu jetdecedocument.

J'aivou lul'écrirepourmettre mespropresidé esenplaceaus ujetde numpy.Maiscommentavoirunevued'ensemblesans

entrerdanslesdétails? Etcomment rendrecompteen unesoixantainedepagesd'uneenti tédon tlemanuelder éférence

enfait plusdemill e?

J'aifait demonmieux, avecun planqu ijel'espère "tientlaroute»,malgréun coté"catalogue »unpe uinévitable. Après

peut-êtreunelecturelinéa iredecedo cument,onpréfèrerasa nsdoutedesaccèschoisisv ialata bledes matières.J'aifait

ensort ed'accompagnerlesfonctions d'exemplessuggesti fs.Danscedocumen télectronique,l esnomsdesfonctionssont

eux-mêmesdesliens ver sladocumentation o ffi cielle(enanglais).

Pourtoutes uggestion,onpeu tmecontacteràmonadresseacadémiqu e(ci-d essous,etc'e stlab onneorthographe).

J'apprécieraitoutretour,mêmesic'es tpourme signalerdesoub lis,dese rreurs,de sfautesd'orthographe!

Lesmessage samicauxfonttoujoursplaisir,b iensûr.

Jean-MichelFerrard

Mathématiques,lycéeSaint-Louis

44Boulev ardSaint-Michel,

75006,Paris

jean-miche.ferrard@ac-paris.fr mathprepa.fr unepet iteréférenceNumpy 1/58

Tabledesmatiè res

1Fo nctionarrayet"d ata types»5

1.1Créatio ndetableauxavecarray.........................................5

1.2Attrib utsdedimensiond'untableau .......................................5

1.3Le" datat ype» d'untableau...........................................6

1.4Copied' untableauav ecconversion de"datatype»..............................6

1.5Lesd i

ff érents"datat ypes» disponibles.....................................6

1.6T ableauxdenombrescomplexes..........................................7

2Lect ureetécrituredans unt ableau8

2.1Lectu redevaleurs dansunv ecteur,"slicing»..................................8

2.2Lecture devaleursd ansunematrice .......................................9

2.3Écritu redevaleursdans unvecteur........................................10

2.4É crituredevaleursdan sunematrice.......................................11

2.5Copiesd etableaux,"vues »surd estableaux..................................11

2.6"F ancyin dexing».................................................13

3D imensionsd'untableau15

3.1Redimen sionnementpar"reshape»ou"resize»................................15

3.2Ap latissementd'untableau............................................16

3.3T ranspositiond'unematrice............................................16

3.4Su ppressions/insertionsdelignes,decolonnes..................................16

3.5P ermutations/rotationsdelignes,decolonnes..................................17

3.6Op érationsparblocs................................................19

4T ableauxspécifiques21

4.1Tab leauxconstants.................................................21

4.2Identit é,matricesdiagonalesout riangulaires..................................22

4.3Tab leauxdevaleurséchelonnées ..........................................23

4.4Tab leauxrépondantàunef ormuledonnée....................................24

4.5Tab leauxpseudo-aléatoires............................................25

4.6Prob abilités,loisdiscrètesusuelles........................................27

4.7Prob abilités,loiscontinuesusuelles........................................29

5Fo nctionsuniverselles31

5.1Opération sarithmétiques.............................................32

5.2Fon ctionsmathématiquesusuelles.........................................32

5.3V ariantesdesyntaxe................................................33

5.4V ectorisationd'unef onction............................................34

5.5Opération slogiquessurtableauxb ooléens....................................35

5.6Op érationsbinairessurlestab leauxd'entiers..................................35

6Tes tsetcomparaiso nss urdestableaux36

6.1Compar aisonsentretableaux...........................................36

6.2Tris detableau...................................................37

6.3Min imumetmaximum...............................................38

6.4Rech erchesdansuntableau............................................39

6.5Tab leauxd'unpointdevue ensembliste.....................................41

6.6S ommes,produits, di

ff

6.7Calculs statistiques,hist ogrammes........................................43

2

TABLEDESMATIÈREST ABLEDESMA TIÈRES

7Ca lculmatriciel44

7.1Opération slinéaires................................................44

7.2P roduitsmatriciels.................................................44

7.3Inversi ondematrices,résolution desyst èmes..................................46

7.4Normesmatricielles etvectorielles ........................................46

7.5V aleursetvecteursprop res............................................47

7.6Décomposition smatricielles............................................49

8Ca lculpolynomial50

8.1La classepoly1d..................................................50

8.2Lep ackage numpy.polynomial..........................................52

8.3La classe"Polynomial».............................................53

8.4Lesclasse s"Chebyshev»,etc ...........................................56

unepet iteréférenceNumpy 3/58

TABLEDESMATIÈREST ABLEDESMA TIÈRES

Introduction

Lemo dulenumpyestla boîteàout ilsindispensablepourfair edu calculscientifiqueavecPy thon.

Pourmodéli serlesvecteurs,matrices,et plusgénér alementlestableauxàndimensions,numpyfournitletypendarray.

Ilya de sdi

ff

érencesmajeuresavecl eslistes(resp.leslistes delistes)qui pourraie ntellesaussinousse rviràreprésenter

desvect eurs(resp.desmatrices) : -Lestableaux numpysonthomogènes,c'est-à-direconstituésd'élémentsdumêmetype.

Ontrouv eradoncdestableau xd'entiers,de stableauxdeflottan ts,destableauxde chaînesdecaractères,etc.

-Latailled es tableauxnumpyestfixée àlacréat ion.O nnepeutdoncaugmen teroudiminuerlatail led'untabl eau

commele feraitpourune liste(àmoins decréeruntout nouveaut ableau,biensûr).

Cescont raintessontenfaitdesavantages:

-Leformat d'untableau numpyetla tailledes objetsquilecomposentétantfixés, l' empreintedutableau enmémoire

estin variableetl'accèsàsesélémentssefaitentemps const ant.

-Lesopérati onssurlestableauxsontoptimiséese nfonctiondu typedes éléments,etsontb eaucoupplus rapidesqu'elles

nele seraientsur deslisteséquivalentes. >>>import numpyas np Lesfonction sdenumpysontalors accessiblesparleurnomquali fié"np.nom_de_la_fonction».

Quandonévoque ralaf onction"array»parexemple,onpenseratoujoursàl'utiliseraveclasyntaxe"np.array»

Onne chargerajam aisnumpypar"fromnumpyi mport*»:lenombredefonctionsimportéesesteneffettropimportant,

etav ecluilerisque d'homonymiea veclesdéfini tionsdéjàprésentesaumomentde l'importation. unepet iteréférenceNumpy 4/58

Chapitre1

Fonctionarrayet"d atat ypes»

1.1Créati ondetableauxavecarray

Onutilis eengénérallaf onctionarraypourforme runtableauàpartird elali ste(oulalistedesliste s)d eseséléments.

Dansl'exe mpleci-dessous,onformeune matriceaàcoefficientsentiers,àtroislignesetquatrecolonnes,àpartird'une

listedetroiss ous-listes delon gueurquatre.

Lafon ctionarrayagitcommeu nmécanisme de

conversionvers'numpy.ndarray'quiestle type communàtousl establ eauxnumpy.

Onne confondra pasaveclerésultatrenvoyép ar

l'attributdtype(abréviationdedatatype )dea, etq uiindiquel etypecommunàtousles éléments decelui -ci(enl'occurrence desentiers codéssur32 bits,c'est-à-dire quatreoctetsoubytes). >>>a= np.array([[8,3,2,4],[5,1,6,0],[9,7,4,1]]); a array([[8,3,2, 4], [5,1,6, 0], [9,7,4, 1]]) >>>type(a) >>>a.dtype dtype('int32')

Remarque:laméthodetolistd'untablea unumpyletrans formeenlaliste(éven tuellement un elistedelistes) deses

éléments.Attention,ce c'estpasunefonctiondumodul enumpy.Onn'écriradoncpasnp.tolist(a)maisa.tolist()

>>>a= np.arange(15).reshape(3,5);a array([[0,1, 2,3,4], [5,6,7 ,8,9], [10,11,12, 13,14]]) >>>b =a.tolist();b #convertitaenunelist ede listes [[0,1,2, 3,4],[5, 6,7, 8,9],[10, 11,12,13, 14]] >>>c= np.array(b)# retourtableau >>>c array([[0,1, 2,3,4], [5,6,7, 8,9], [10,11,12 ,13,14]])

1.2Attri butsdedimensiond'untableau

Voiciquelque sattributsdedimensiondes tableauxnumpy (lesexemple ss'appuientsurladéfi nitionprécédentedea). -shapeindiqueleformatduta bleau,souslaformedutupledu nombred' élémentsdans chaquedirection: icilecouple(3,4)indiquequ'ilyatroisligne setquatrec olonne s. -lafonctionalen(cen'es tpasunattribut)donnelapremièredimensiond'untableau(la taillep ourunvecteu r,lenombre delignespourunematrice). -sizedonnelenom bret otald'éléments,etpar exemplenppourunemat ricedetype n×p.Ici notret ableauacontient12éléments. variante:np.size(a,0)etnp.size(a,1)donnentrespectivemen tlenombredeligneset lenom bredecolonnesd'un ematrice. -ndimrenvoielenombred'in dice snécessairesauparc oursdutableau(usuellement: 1 pourunvect eur,2po urunematrice). >>>a.shape (3,4) >>>np.alen(a) 3 >>>a.size 12 >>>np.size(a,0) 3 >>>np.size(a,1) 4 >>>a.ndim 2

Lesfonction sshape,size,etndimpeuventêtreévoquée sàlafoiscomm edesattributsd'untabl eauetcommedes

fonctionsdumodul enumpyprenantuntableauen arg ument.Pourprendrel'exemplede shape,onpeutdoncécrireaussi

bien"a.shape»que"np.shape(a)». 5

1.3Le" datat ype» d'untableauChapitre1:Fonctionarrayet"dat aty pes»

1.3Le"da tatype »d'un tableau

Ledatatype estautomat iquementchoisiparla

fonctionarrayauvud esco efficients. Enmodi fiantàpeinel'exempleprécéde nt, ilsu ffi t d'unseulflott ant (onachangé4en4.0)pourque letab leautoutentiersoitcon sidérécomme formé deflot tants(icicodéssur64bits). >>>b= np.array([[8,3,2,4],[5,1,6,0],[9,7,4.0,1 ]]);b array([[8.,3., 2.,4.], [5.,1.,6. ,0.], [9.,7.,4., 1.]]) >>>b.dtype dtype('float64')

Iles ttoujours possibledeforcerledatatype duta bleauavecl'optiondtypedela fonction array(àcon ditiondefaire

Dansl'exemp lesuivant,onforcelac réationd'untableaudenombre scomp lexes,alorsquela nature descoe ffi cientsdevait conduireàundatatype entier(onauraitpuaussi bienremplacer8par8+0j,parexemple): >>>c= np.array([[8,3,2,4],[5,1,6,0],[9,7,4,1]], dtype=complex);c array([[8.+0.j,3.+0.j, 2.+0.j,4.+0.j], [5.+0.j,1.+0.j,6.+0.j, 0.+0.j], [9.+0.j,7.+0.j,4.+0.j, 1.+0.j]]) >>>c.dtype dtype('complex128')

1.4Copied'un tableauaveccon version de"datatype»

Onpe utcréerunecopie d'untableaud'undatatype àunautreenutilisantsaméthodeastype.

Pourillust rercespossibilitésonrepren dlesdéfini tionsprécédentesdea(dtype=int),b(dtype=float)etc(dtype=complex).

Onretie ndraquelaméthodeastypecréeunecopieduta bleau(doncn'affectepasle contenu delavar iable).

>>>a.astype(fl oat) array([[0.,1., 2.,3.,4.], [5.,6.,7., 8.,9.], [10.,11.,12. ,13., 14.]]) >>>b.astype(int) array([[8,3,2, 4], [5,1,6, 0], [9,7,4, 1]]) >>>c.astype(float) array([[8.,3., 2.,4.], [5.,1.,6., 0.], [9.,7.,4., 1.]]) e ff ectueunecopiedu tableau aeffectueunecopiedu tableau beffectueunecopiedu tableau c enconv ertissantversletypefloatenconverti ssantverslet ypeint enconvertissantversl ety pe float

Untable aunumpyoccupeuneplaceco nstanteen mémoire,égalea uproduitdunombredesesélémen tsparl ataille(fixe)

d'unélémentdu datatype (enprincip e:4octetspourunentie r,8 pour unflottant,16pourunn ombrecomplexe).

Lesattributsitemsizeetnbytesd'untablea unumpy

donnentlatail led'unélémen tdutableauetlataillet otale decelui -ci(expriméeseno ctets). Enré utilisantnostableauxa,b,c,onafficheicilesvaleurs desat tributsitemsize(tailled 'unélément),pu issize(le unoct et=uncaractèr e=un byte=8bits. >>>(a.itemsize, a.size,a.nbytes) (4,15,60) >>>(b.itemsize,b.size, b.nbytes) (8,12, 96) >>>(c.itemsize,c.size, c.nbytes) (16,12,192 )

1.5Lesdi

ff

érents"datatyp es»di sponibles

Lesélém entsd'untableaunumpyparticuliersontdumêmetype,etona vulestypes suiv ant s:int,floatetcomplex.

Enfai tilyad'autr esty pesp ossibl esetenvoicilaliste: int:entier,équivalentdeint32oude int64,suivantlesimplémentations 7 ,2 7 -1?=?-128,127? 15 ,2 15 -1?=?-32768,32767? 31
,2 31
-1?=?-2147483648,2147483647? 63
,2 63
8 -1?=?0,255? unepet iteréférenceNumpy 6/58

1.6Tab leauxdenombrescomplexesChapitre1:Fonctionarrayet" datat ypes»

16 -1?=?0,65535? 32
-1?=?0,4294967295? 64
-1?=?0,18446744073709551615? float:synonymedefloat64 complex:synonymedecomplex128

Onpe utaussiformerde stableauxdechaîne sdecaractèresdontla longueurn'excè depasunevaleur donnée:

>>>np.array(("12 3",'abcbde',"12XY5"))#vecteurdechaînesde caractèresunicode,pos maxi <6 array(['123','abcbde', '12XY5'], dtype='1.6Tableaux denombrescomplexes

Lesméthod esrealetimagpermettentdesépareruntableau numpydenom brescomplexesensaparti eréelleetsa

partieimaginaire.On obtientletableauconjuguédeaenév aluanta.conj()ounp.conj(a) Demême ,onformeletableau des modules (resp .desarguments)parabs(a)etangle(a). Voiciparexem pleunemat ricez,deformat2×4,constituéedenombrescomplexes. >>>z =np.array([[1j,1+1j,2-3j,4-1j],[2j,3-1j,2 +2j,1+5j]]);z array([[0.+1.j,1.+1.j, 2.-3.j,4.-1.j], [0.+2.j,3.-1.j,2.+2.j, 1.+5.j]])

Dansl'exemple suivant,onmetlapartie réelle(resp.imaginaire)dutable auzdanslet ableaux(resp.y).Onv oitcomme nt

l'expressionx+1j*ypermetdereconst ituerl etableaucomplexeinitial.Lesfonction squiag issentainsitermeàter mesur

lesélémen tsd'untableauserontétudié esdanslech apitre"Fonctionsu niverselles». >>>x =z.real;x array([[0.,1., 2.,4.], [0.,3.,2. ,1.]]) >>>y= z.imag;y array([[1., 1.,-3.,-1.], [2.,-1.,2.,5.]]) >>>x+ y*1j array([[0.+1.j,1.+1.j, 2.-3.j,4.-1.j], [0.+2.j,3.-1.j,2.+2.j ,1.+5.j]]) >>>z.conj() array([[0.-1.j,1.-1.j, 2.+3.j,4.+1.j], [0.-2.j,3.+1.j,2.-2.j, 1.-5.j]]) unepet iteréférenceNumpy 7/58

Chapitre2

Lectureetécritured ans untablea u

2.1Lecture devaleursdansunvecteur," sli cing»

Lalec tured'élémentsd'untab leaunumpyprocèdeparcoupes("slices»enanglais)suivantun eouéve ntuellementplu sieurs

desdimen sionsdutableau.C'estcemécanism equies tàl'oeuvredansl'accès(en lectureeten écritu re)auxélémentsd'une

liste(oud'un eliste deliste).Voirladocic i:http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/arrays.indexing.html

Unecoup eestunmécanismed esélectiondep ositionsrégu lièrementespacéesdan suninterv alleI=?0,p-1?.

Lasp écificationlaplusgénéraled'unecoup ees tdébut(inclus):fin(exclue):incrémentetdésigne lespositi onsdeI

àpartirdelavaleurdedébut(incluse),parincrémentationssuc cessiv estantqu'onrestedansl'intervalledéfini parles

valeursdedébutetdefin(cettedernièreé tantexclue:trèsimportant). Lespositions acceptéesparl'interp réteurPythonformentenfaitl'in terv alleI =?-p,...,-2,-1,0,1,2,...,p-1?etell es sontconvert ies"modulop»enunepositioneffectivedansI=?0,p-1?.

L'intérêtdecetteexte nsionsyntaxiqu eestquelesp ositionsnégativessucces sives-1,-2,...,quisontconvertiesenles

positionsp-1,p-2,...(oùpreprésentelalongueurduvecteur v)permettentdelirelesélémentsdevàpartirdelafin.

Pardéf aut,lapositiondedébut (incl use)est0etlapositiondefin (excl ue)estlalongueu rpdeIdoncdev.

Pardéfa utégalement,lavale urd'incrémentationest1.

Commeçaparai tunpeu compliquédeprimea bord,o nvaprendr equelquesexemples,d'abords urunv ecteur.

Onch oisiticideformerlev ecteurv,delongueurp=16,telquev[k]=10 kpourkdansI=?0,15?. >>>v =np.array(range(0,160,10)); v array([0, 10,20,30, 40,50,60, 70,80,90, 100,110,120, 130,140, 150]) Oncom menceparliredesélémentsindividu elsdans leve cteurv. >>>v[0] #le1er élément 0 >>>v[1]# le2ièmeélément 10 >>>v[2]# le3ièmeélément 20 >>>v[-1]# ledernierélément 150
>>>v[-2] #l'avant-dernier 140
>>>v[-3]# l'avant-avant-dernier 130
>>>v[v.size-1]# ledernier 150
>>>v[-16]# lepremier 0 >>>v[-v.size]# lepremier 0

icioncompte àpartir dudébutici oncomp teàpartird elafinform ulationspeuclaires:àéviter

Oncon tinue,aveclemêmevecteu rv,eneffectuantquelquescoupesdevaleursconsécutivesdansl'ordredesindices

croissants,c'est-à-direavecla valeur1d'incrémentationpa rdéfaut: >>>v[4:11]# dev[4]à v[10],donc11-4 =7éléments consécutifs array([40,50, 60,70,80, 90,100]) >>>v[:6]# dev[0]à v[5],les6 premièresvaleurs dev array([0, 10,20, 30,40,50]) >>>v[6:] #(vétan tdelongueur p=16),dev[6] àv[p-1],lesp-6=10 dernièresvaleurs dev array([60,70, 80,90, 100,110, 120,130,140, 150]) >>>v[:]# latotalitédu vecteurv,c ommesion avaitécritv[0:p] array([0,10, 20,30,40, 50,60,70, 80,90,100, 110,120, 130,140, 150]) 8

2.2Lecture devaleursd ansunematrice Chapitre2:Lectureetécritured ansuntable au

Voicimaintena ntdescoupesd'élémentsconsécut ifs,mais àl'envers,ettoujou rsaveclemêmevecteurv:

>>>v[11:4:-1] #dev[11 ]àv[5], donc|4-11|= 7éléments array([110,100, 90,80,70, 60,50]) >>>v[:6:-1]# dev[p-1=15]à v[7],donc|6-15| =9éléments array([150,140, 130,120,110, 100,90,80, 70]) >>>v[6::-1]# dev[6]à v[0],donc7 éléments array([60,50,40, 30,20, 10,0]) >>>v[::-1]# latotalitédu vecteur,mais àl'envers array([150,140,130, 120,110,100, 90,80,70, 60,50,40, 30,20, 10,0]) Etpo urfinir,descoupes dumêmevecteurv,maisavecunincrémentdifférentde1ou-1: >>>v[::4] array([0, 40,80,120]) >>>v[1::4] array([10,50, 90,130]) >>>v[::5] array([0,50, 100,150]) >>>v[:6:2] array([0,20, 40]) >>>v[:7:2] array([0,20, 40,60]) >>>v[10::2] array([100,120, 140]) >>>v[:5:-3] array([150,120,90, 60]) >>>v[:6:-3] array([150,120,90]) >>>v[6::-3] array([60,30,0])

2.2Lecturede valeursdansunematric e

Onpro cèdecommedanslasous-sec tionprécédente, ene ff ectuantunecoupesuiv antlapremière et/ousuivantladeuxiè me dimension(çasegénérali sebiensûrà desta bleauxdetroisdimensionsoupl us).

Onse contente radequelques

exemplesaveccett ematricem d'ordre5×8,determegénéral m[i,j]=10 i+j(ennumérotan t lignesetcolonn esàpartird e0): >>>m= np.array([[10*i+jfor jinrange(8)] foriinrange(5)]);m array([[0,1, 2,3,4, 5,6,7] , [10,11,12, 13,14,15, 16,17], [20,21,22, 23,24,25, 26,27], [30,31,32, 33,34,35, 36,37], [40,41,42, 43,44,45, 46,47]]) >>>m[3,5] 35
>>>m[3] array([30,31,32, 33,34,35, 36,37]) >>>m[:,5] array([5,1 5,25,35, 45]) élémentenposition (3,5) vecteur-ligneenposition3v ecteur-colonne enposition5 >>>m[1:4,2:6] array([[12,13,14, 15], [22,23,24, 25], [32,33,34, 35]]) >>>m[1::2,1::2 ] array([[11,13,15, 17], [31,33, 35,37]]) >>>m[::2,::2] array([[0,2, 4,6], [20,22, 24,26], [40,42,44 ,46]]) lignes1à3,colon nes 2à5 lignes etcolonnesimpaireslignese tcolon nes paires >>>m[:3,:2] array([[0,1], [10,11], [20,21]]) >>>m[2:,4:] array([[24,25,26, 27], [34,35, 36,37], [44,45,4 6,47]]) >>>m[::2,::3] array([[0,3, 6], [20,23,26 ], [40,43,46 ]]) troispre mièreslignesàpartirdelaligne 2unelignesur deu x deuxpr emièrescolonnesàparti rdelacolonne4unecol onne surtrois >>>m[::-1] array([[40,41,42, 43,44,45, 46,47], [30,31,32, 33,34,35, 36,37], [20,21,22, 23,24,25, 26,27], [10,11,12, 13,14,15, 16,17], [0,1,2, 3,4,5, 6,7]]) >>>m[:,::-1] array([[7,6, 5,4,3, 2,1,0] , [17,16,15 ,14,13, 12,11,10], [27,26,25 ,24,23, 22,21,20], [37,36,35 ,34,33, 32,31,30], [47,46,45 ,44,43, 42,41,40]]) oninv ersel'ordredeslignesonin versel'ordre descolonnesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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