Chapitre 11 Structures algébriques
Document créé le 29 octobre 2015. Lien vers les énoncés des exercices · Lien vers le cours de ce chapitre. Chapitre 11 mathprepa.fr.
Chapitre 3 Nombres complexes et trigonométrie
Document créé le 29 octobre 2015. Lien vers les solutions des exercices · Lien vers le cours de ce chapitre Exercice 3.1.1 (?) ... mathprepa.fr.
HEC 2017 oral Maths sujets et corrigés option S.pdf
Puisque q; €10 11
Probl`eme
mathprepa.fr. Page 1. Page 2. Probl`eme. Corrigé. Corrigé. Premi`ere partie. 1. Soi x un élément non nul de G (possible car G n'est pas réduit `a 10l).
Une petite référence Numpy
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BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2019
D. Delaunay Prépas Dupuy de Lôme
Exercices de mathématiques - Exo7
Equivalent simple en 0 de tan(sinx)?sin(tanx). Correction ?. [005431]. Exercice 7 **IT. Développement asymptotique à la précision 1.
roger.mansuy@gmail.com
20 nov. 2021 Exercices ............................................................... 39. Corrigés.
Diagonalisation des matrices (8 exercices)
.. soit diagonalisable. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]. Diagonaliser la matrice A définie par A =. a.
Sujets et corrigés des DS de mathématiques et dinformatique
Sujet du DS no 6 (mathématiques et informatique 3h à distance). 100. Corrigé du DS no 6. 103. Exercice 1 (étude de fonctions
Sujets et corrigés des DS
de mathématiques et d"informatiqueBCPST1A lycée Hoche 2019-2020
Sébastien Godillon
Table des matières
Sujet du DS n
o1 (mathématiques, 3h) 3Corrigé du DS n
o15Exercice 1 (étude de fonctions, ensembles, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Problème 1 (ensembles, logique, quantificateurs, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6Exercice 2 (nombres réels, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10Problème 2 (nombres complexes, logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15Exercice 3 (logique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21Sujet du DS n
o2 (mathématiques et informatique, 3h30) 23Corrigé du DS n
o226Exercice 1 (suites, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26Exercice 2 (informatique, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26Exercice 3 (suites, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28Problème (applications, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32Exercice 4 (trigonométrie, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36Exercice 5 (suites, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37Exercice 6 (sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40Sujet du DS n
o3 (mathématiques et informatique, 4h) 42Corrigé du DS n
o347Problème 1 (suites, sommes, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47Problème 2 (dénombrement, applications, logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58 BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 1 sur 149 Sébastien Godillon
Sujet du DS n
o4 (mathématiques, 3h) 62Corrigé du DS n
o464Problème 1 (matrices, étude de fonctions, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64Exercice 1 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68Exercice 2 (primitives, fonctions usuelles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72Problème 2 (dérivées, équations différentielles, intégrales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73Sujet du DS n
o5 (mathématiques et informatique, 3h) 79Corrigé du DS n
o583Problème A (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83Problème B (suites, étude de fonctions, informatique, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92Sujet du DS n
o6 (mathématiques et informatique, 3h à distance) 100Corrigé du DS n
o6103Exercice 1 (étude de fonctions, limites, équivalents, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103Exercice 2 (probabilités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107Problème (polynômes, intégrales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110Exercice 3 (informatique, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114Sujet du DS n
o7 (mathématiques et informatique, 3h à distance) 118Corrigé du DS n
o7120Exercice 1 (probabilités, suites, limites, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120Exercice 2 (familles de vecteurs, sous-espaces vectoriels, informatique) . . . . . . . . . . . . . . .
124Exercice 3 (informatique, développements limités, suites, études de fonction) . . . . . . . . . . .
131Sujet du DS n
o8 (mathématiques et informatique, 3h à distance) 136Corrigé du DS n
o8138Problème 1 (dénombrement, sommes, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 38Exercice 1 (sous-espace vectoriel, familles de vecteurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 42Problème 2 (variables aléatoires, probabilités, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144Exercice 2 (développements limités, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 48BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 2 sur 149 Sébastien Godillon
DS n o1 de mathématiques durée : 3 heuresExercice 1
On considère la fonctionf:x7!x253x. Déterminer les ensembles suivants : E 1=n f(x)jx2]4;7[o etE2=n x2Rjf(x)2]1;2]oProblème 1
On dit queANest une partieouvertedeNsi la propriété suivante est vérifiée :9p2N;8n2N; n>p=)n2A:(?)
1. Soit k2N. Montrer que l"ensembleNk=Nn fkgest une partie ouverte deN. 2. (a) Écrire la négation de la propriété ( ?). (b) Mon trerque l"ensem bleP=f2kjk2Ngn"est pas une partie ouverte deN. 3.Soien tA1etA2deux parties ouvertes deN.
(a)Mon trerque A1\A2est une partie ouverte deN.
(b)Mon trerque A1[A2est une partie ouverte deN.
4. Soit AN. Montrer queAest une partie ouverte deNsi et seulement si son complémentaireNnA contient un nombre fini d"éléments.SiAest une partie ouverte deN, on définit sondépart, notédep(A), par le plus petit entierppour lequel
la propriété (?) est vérifiée, autrement dit : dep(A) = minn p2Nj8n>p; n2Ao 5.Soit k2N. Déterminerdep(Nk)oùNk=Nn fkg.
6.Déterm inertoutes les parties ouv ertesde Ndont le départ est égal à3. On donnera la liste exhaustive
de ces parties, sans justifier, en explicitant au moins les cinq premiers éléments de chaque partie.
7.Soit Aune partie ouverte deN.
(a)Justifier que dep(A)2A.
(b) Mon trerque dep(A)1=2A(on pourra distinguer le cas oùdep(A) = 0). (c) En déduire que si A6=Nalorsdep(A) = max(NnA) + 1. 8.Soien tA1etA2deux parties ouvertes deN.
(a)Mon trerque dep(A1\A2) = max(dep(A1);dep(A2)).
(b)Mon trerque dep(A1[A2)6min(dep(A1);dep(A2)).
(c) Déte rminerun exemple de parties A1NetA2Npour lequel l"inégalité de la questionprécédente est stricte. On explicitera au moins les cinq premiers éléments de ces deux parties.BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 3 sur 149 Sébastien Godillon
Exercice 2
Résoudre les inéquations suivantes d"inconnuexréelle. (I1)j3x2+ 4x+ 1j>jx2+xj (I2)x(x3)< x3x (I3)j x+px2k = 3 (I4)sin(7 x) + sin(5x)>0 (I5)x+m2x+ 3<1oùm2Rest un paramètre fixé.Problème 2
On rappelle qu"on définit l"exponentielle d"un nombre complexez2Cpar : exp(z) =eRe(z)eiIm(z)=eRe(z) cos(Im(z)) +isin(Im(z)) 1.Mon trerque :
8(z;w)2C2;exp(z+w) = exp(z)exp(w):
2.Mon trerque :
8z2C;exp(z)6= 0et1exp(z)= exp(z):
3. (a) Mon trerque p ourtout z2C:exp(z) = 1() 9k2Z; z= 2ik. (b) En déduire que p ourtout (z;w)2C2:exp(z) = exp(w)() 9k2Z; z=w+ 2ik. 4.Mon trerque fz2Cjjexp(z)j= 1g=fitjt2Rg.
Pour toutz2C, on définit les nombres complexes suivants : (z) =exp(iz) + exp(iz)2 et(z) =exp(iz)exp(iz)2i: 5.Que v alent
(x)et(x)six2R? 6.Mon trerque :
8z2C; (z)2+(z)2= 1: 7.Soit z2C. Montrer que
(2 z) =(z). 8. Soit z2C. Sans justifier, simplifier les expressions (z),(z), (2 z),(2 z), (z), (z), (z+2 ),(z+2 (z+),(z+), (z+ 2)et(z+ 2). 9.Mon trerque :
8(z;w)2C2;
(z+w) = (z) (w)(z)(w)et(z+w) = (z)(w) +(z) (w): 10. Résoudre les équations suiv antesd"inconn uez2C: (E1) (z) = 2 (E2)(z) = 2Exercice 3
On considère la suite(un)n>0définie par
u0= 4; u1= 3et8n>0; un+2=un+114
un:Montrer qu"il existe(a;b;c)2R3tel que pour tout entiern>0,un= (an+b)cn.BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 4 sur 149 Sébastien Godillon
Corrigé du DS n
o1 de mathématiquesExercice 1
On considère la fonctionf:x7!x253x. Déterminer les ensembles suivants : E 1=n f(x)jx2]4;7[o etE2=n x2Rjf(x)2]1;2]oILa fonctionfest définie et dérivable surRn f3gcomme quotient de fonctions polynomiales dont le
dénominateur ne s"annule pas. On a :8x2Rn f3g; f0(x) =2x(3x)(x25)(1)(3x)2=x2+ 6x5(3x)2:
On reconnaît au numérateur un polynôme du second degré de discriminant=(6)24(1)(5)=16>0. Donc le numérateur s"annule en(6+p16)=(2) = 1et en(6p16)=(2) = 5. De plus, il est strictement positif sur]1;5[et strictement négatif sur] 1;1[[]5;+1[. Puisque(3x)2>0pour toutx6= 3, on en déduit le tableau des variations def.x f0(x)f(x)1135+10++0
+1+122+111010114 1171112p3
211211 + 2p3
2 car : lim x!1f(x) = limx!1x5x 3 x1= +1f(1) =12531=2lim
x!3f(x) = lim x!3x253x= +1
lim x!+1f(x) = limx!+1x5x 3 x1=1f(5) =52535=10lim
x!3+f(x) = lim x!3+x253x=1
On af(4) =42534=11etf(7) =72532=11. On déduit du tableau des variations defque : E 1=n f(x)jx2]4;7[o = ]11;10]: Soyez précis avec les bornes des intervalles :11est exclus car]4;7[est un intervalleouvert mais10est inclus car52]4;7[.Pour déterminerE2, on résout les deux équations suivantes :BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 5 sur 149 Sébastien Godillon
f(x) =1()x253x=1()x25 =(3x)()x2x2 = 0 On obtient une équation du second degré de discriminant = (1)241(2) = 9>0qui admet pour solutions(1 +p9)=2 = (1 + 3)=2 = 2et(13)=2 =1. f(x) = 2()x253x= 2()x25 = 2(3x)()x2+ 2x11 = 0 On obtient une équation du second degré de discriminant = 2241(11) = 48>0qui admet pour solutions(2 +p48)=2 = (2 + 4p3)=2 =1 + 2p3et(24p3)=2 =12p3.De plus,
94<3<4donc32
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