[PDF] APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frAPPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE I. Calculs d'angles et de longueurs 1) Calculs d'angles Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire Vidéo https://youtu.be/ca_pW79ik9A Calculer la mesure de l'angle

AB ;CD . On a : AB .CD =AB

×CD

×cosAB

;CD =5 2 +1 2 ×4 2 +2 2

×cosAB

;CD =520×cosAB ;CD =2130×cosAB ;CD

On a également :

AB 5 -1 et CD -2 -4 , donc : AB .CD

5 x (-2) + (-1) x (-4) = -6 On a ainsi :

2130×cosAB

;CD =-6

Et donc :

cosAB ;CD 6 2130
3 130
Et : AB ;CD ≈105,3°

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2) Théorème de la médiane Propriété : Soit deux points A et B et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M, on a :

MA 2 +MB 2 =2MI 2 AB 2 2

Démonstration :

MA 2 +MB 2 =MA 2 +MB 2 =MA 2 +MB 2 =MI +IA 2 +MI +IB 2 =MI 2 +2MI .IA +IA 2 +MI 2 +2MI .IB +IB 2 =2MI 2 +2MI .IA +IB +IA 2 +IB 2 =2MI 2 +2MI .0 1 2 AB 2 1 2 AB 2 =2MI 2 AB 2 2

Exemple : Vidéo https://youtu.be/NATX4evtOiQ On souhaite calculer la longueur de la médiane issue de C. D'après le théorème de la médiane, on a :

CA 2 +CB 2 =2CK 2 AB 2 2 , donc : CK 2 1 2 CA 2 +CB 2 AB 2 2 1 2 7 2 +5 2 8 2 2 =21

Donc :

CK=21

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3) Théorème d'Al Kashi Théorème : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure :

a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA

Démonstration :

AB .AC =AB×AC×cosA =bccosA et AB .AC 1 2 AB 2 +AC 2 -BC 2 1 2 b 2 +c 2 -a 2 donc : 1 2 b 2 +c 2 -a 2 =bccosA soit : a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA

Vidéo https://youtu.be/-cQQAjHJ0Kc A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud al Kashi (1380 ; 1430) vit sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394 ; 1449) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences. Dans son Traité sur le cercle (1424), al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de 2π avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit 16 décimales exactes : 2π ≈ 6,283 185 307 179 586 5 II. Equation de droite et équation de cercle On se place dans un repère orthonormé

O;i ;j du plan.

4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1) Equation de droite de vecteur normal donné Définition : Soit une droite d. On appelle vecteur normal à une droite d, un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de d. Exemple : Soit la droite d d'équation cartésienne

2x-3y-6=0

. Un vecteur directeur de d est : u 3;2 . Un vecteur normal n a;b de d est tel que : u .n =0

Soit :

3a+2b=0

. a = -2 et b = 3 conviennent, ainsi le vecteur n -2;3 est un vecteur normal de d. Propriétés : - Une droite de vecteur normal n a;b admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0

où c est un nombre réel à déterminer. - Réciproquement, la droite d d'équation cartésienne

ax+by+c=0 admet le vecteur n a;b pour vecteur normal. Démonstrations : - Soit un point A x A ;y A de la droite d. M x;y est un point de d si et seulement si AM x-x A y-y A et n a b sont orthogonaux. Soit : AM .n =0

Soit encore :

ax-x A +by-y A =0 ax+by-ax A -by A =0 . - Si ax+by+c=0 est une équation cartésienne de d alors u -b;a est un vecteur directeur de d.

5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLe vecteur

n a b vérifie : -b×a+a×b=0 . Donc les vecteurs u et n

sont orthogonaux. Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal Vidéo https://youtu.be/oR5QoWCiDIo Dans un repère orthonormé

O;i ;j du plan, on considère la droite d passant par le point A-5;4 et dont un vecteur normal est le vecteur n 3;-1 . Déterminer une équation cartésienne de la droite d. Comme n 3;-1 est un vecteur normal de d, une équation cartésienne de d est de la forme

3x-y+c=0

. Le point A-5;4 appartient à la droite d, donc :

3×-5

-4+c=0 et donc : c=19 . Une équation cartésienne de d est :

3x-y+19=0

. 2) Equation de cercle Propriété : Une équation du cercle de centre Ax A ;y A et de rayon r est : x-x A 2 +y-y A 2 =r 2

Démonstration : Tout point

Mx;y appartient au cercle de centre Ax A ;y A et de rayon r si et seulement AM 2 =r 2

. Méthode : Déterminer une équation d'un cercle Vidéo https://youtu.be/Nr4Fcr-GhXM Dans un repère orthonormé

O;i ;j du plan, on considère le cercle C de centre A4;-1 et passant par le point B3;5 . Déterminer une équation du cercle C.

6YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frCommençons par déterminer le carré du rayon du cercle C :

r 2 =AB 2 =3-4 2 +5--1 2 =37 Une équation cartésienne du cercle C est alors : x-4 2 +y+1 2 =37

. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'un cercle Vidéo https://youtu.be/nNidpOAhLE8 Dans un repère orthonormé

O;i ;j du plan, on considère l'ensemble Ε d'équation : x 2 +y 2 -2x-10y+17=0

. Démontrer que l'ensemble Ε est un cercle dont on déterminera les caractéristiques (centre, rayon).

x 2 +y 2 -2x-10y+17=0 x 2 -2x +y 2 -10y +17=0 x-1 2 -1+y-5 2 -25+17=0 x-1 2 +y-5 2 =9

L'ensemble Ε est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3. III. Formules de trigonométrie 1) Formules d'addition Propriété : Soit a et b deux nombres réels quelconques. On a :

cosa-b =cosacosb+sinasinb cosa+b =cosacosb-sinasinb sina-b =sinacosb-cosasinb sina+b =sinacosb+cosasinb

7YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDémonstration : - 1ère formule : On considère un repère orthonormé

O;i ;j du plan et le cercle trigonométrique de centre O. u et v sont deux vecteurs de norme 1 tels que : i ;u =a et i ;v =b . On a alors : u cosa sina et v cosb sinb . Ainsi : u .v =cosacosb+sinasinb . On a également : u .v =u ×v

×cosu

;v =1×1×cosb-a =cosa-b

D'où

cosa-b =cosacosb+sinasinb . - 2e formule : cosa+b =cosa--b =cosacos-b +sinasin-b =cosacosb-sinasinb - 3e formule : sina-b =cos 2 -a-b =cos 2 -a +b =cos 2 -a cosb-sin 2 -a sinb =sinacosb-cosasinb - 4e formule : sina+b =sina--b =sinacos-b -cosasin-b =sincosb+cosasinb

Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition Vidéo https://youtu.be/WcTWAazcXds Calculer

cos 5π 12 et sin 5πquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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