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LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES ET CONTINUITÉ. (Partie 1). I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à 



Limites et continuité

Maths en Ligne. Limites et continuité. Bernard Ycart. Vous avez déjà une compréhension intuitive de ce qu'est la limite d'une fonction. Ce.



LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES ET CONTINUITE. (Partie 2). I. Limite d'une fonction composée.



Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes

11?/07?/2021 1.3 Limites en l'infini des fonctions de référence . ... 6.2 Continuité des fonctions usuelles . ... TERMINALE MATHS SPÉ ...



Limite continuité

dérivabilité



Chapitre 2 - Limites et continuité pour une fonction de plusieurs

des fonctions de Rn la notion de continuité puis modulo quelques difficultés La définition de la limite d'une suite dépend du choix d'une norme sur Rn.



CONTINUITÉ DES FONCTIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. CONTINUITÉ DES premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité.



Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

sinon est un prolongement par continuité de f. 4.2 Propriétés de la limite d'une fonction. Les propriétés des limites de suites se généralisent facilement au 



LIMITES CONTINUITÉ

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Tlccfct.pdf



Limite et continuité

On va utiliser les opérations sur les limites de suites et la caractérisation séquentielle de la limite pour étendre ces propriétés aux limites de fonctions.

Limite et continuiteChapitre 13

1 Limites de fonctions 2

1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Limites a droite et a gauche . . . . . . . . . .

4

1.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4 Operations sur les limites . . . . . . . . . . .

6

1.5 Limites et inegalites . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Theoremes d'existence de limites 8

2.1 Theoremes d'encadrement . . . . . . . . . . .

8

2.2 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . .

9

3 Continuite 10

3.1 Continuite en un point . . . . . . . . . . . . .

10

3.2 Continuite sur un intervalleI. . . . . . . . .13

3.3 Image d'un intervalle par une fonction continue

14

4 Extension aux fonctions a valeurs dansC18

Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

PCSI5Lycee Saint Louis

1 Limites de fonctions

Dans tout le chapitreIdesignera un intervalle deRnon vide et non reduit a un point. On notera :

I=In fextremites deIg(l'interieure deI) ;

I=I[ fextremites deIg.

Par exemple,

[0;2[ =]0;2[;[0;2[ = [0;2],]1;+1[ =]1;+1[;]1;+1[ = [1;+1[[f+1g,R=R;R=

R[ f1g

1.1 Denitions

Premieres denitions

Denition.Limite en un point.Soientf:I!Retaun reel appartenant aI. On dit que : ?fadmet une limite (nie)l2Rena, noteef(x)!x!al, si :

8 >0;9 >0;8x2I;jxaj =) jf(x)lj :

?fadmet pour limite +1ena, noteef(x)!x!a+1, si :

8M >0;9 >0;8x2I;jxaj =)f(x)M:

?fadmet pour limite1ena, noteef(x)!x!a1, si :

8M <0;9 >0;8x2I;jxaj =)f(x)M:Remarque.Dans le cas ouf(x)!x!al, la denition signie que la distance def(x) alpeut ^etre

rendue inferieure a tout nombre >0 donne, a condition que la distance dexaasoit assez petite. Denition.Limite en+1.Soientf:I!R. On suppose que +1est une extremite deI. On dit que : ?fadmet une limite (nie)l2Ren +1, noteef(x)!x!+1l, si :

8 >0;9A >0;8x2I; xA=) jf(x)lj :

?fadmet pour limite +1en +1, noteef(x)!x!+1+1, si :

8M >0;9A >0;8x2I; xA=)f(x)M

?fadmet pour limite1en +1, noteef(x)!x!+11, si :

8N <0;9A >0;8x2I; xA=)f(x)NRemarque.Dans le cas ouf(x)!x!+1l, la denition signie que la distance def(x) alpeut ^etre

rendue inferieure a tout nombre >0 donne, a condition quexsoit assez grand. 2

PCSI5Lycee Saint Louis

Denition.Limite en1.Soientf:I!R. On suppose que1est une limite de On dit que : ?fadmet une limite (nie)l2Ren1, noteef(x)!x!1l, si :

8 >0;9B >0;8x2I; xB=) jf(x)lj :

?fadmet pour limite +1en1, noteef(x)!x!1+1, si :

8M >0;9B >0;8x2I; xB=)f(x)M

?fadmet pour limite1en1, noteef(x)!x!11, si :

8N <0;9B >0;8x2I; xB=)f(x)NRemarque.Soitf:I!Reta2I.

?Soitl2R. Alors,f(x)!x!alsi et seulement sijf(x)lj !x!a0. ?En particulier,f(x)!x!a0 si et seulement sijf(x)j !x!a0.

Formulation unique avec les voisinages

Denition.On appelle voisinage de :

?a2Rtout intervalle [ah;a+h] ouh >0 ; ?+1tout intervalle [c;+1[ ouc2R; ?1tout intervalle ] 1;c] ouc2R.

On note alorsV(a) =fvoisinages deagpour touta2R.

Pourf:I!Rune fonction eta2I, on dit quefverie la proprietePau voisinage deas'il

existe un voisinageVdeatel quefveriePsurI\V.Remarque.x7!x2xest positive au voisinage de +1:9c2R,8x2[c;+1[,x2x0.

Remarque.Pourf:I!R,a2I, etl2R, on peut reecrire toutes les denitions precedente sous la forme unique suivante : f(x)!x!al, 8V2 V(l);9U2 V(a);8x2I; x2U)f(x)2V:

Premieres proprietesSoitf:I!R,a2I. Sifadmet une limite nie ena, cette limite est alors unique et notee

limx!af(x).Propriete 1(Unicite de la limite)3

PCSI5Lycee Saint Louis

Preuve.On fait la preuve dans le cas oua2R. Elle s'adapte facilement aux autres cas. Raisonnons par l'absurde et supposons quefadmettent deux limitesl1etl2distinctes ena. Posons =jl1l2j3 >0. Par denition de la limite ena:

91>0;8x2I;jxaj 1=) jf(x)l1j

92>0;8x2I;jxaj 2=) jf(x)l2j

Soitx2Itel quejxaj 0= min(1;2). Alors :

jl1l2j=j(l1f(x)) + (f(x)l2)j jf(x)l1j+jf(x)l2j 2jl1l2j3

D'oujl1l2j= 0, puisl1=l2. D'ou le resultat.

Remarque.Attention, on utilisera cette notation qu'apres avoir montre l'existence d'une limite ena !Soientf:I!R,a2Ietl2R. Si limx!af(x) =lalors limx!ajf(x)j=jlj.Propriete 2

Preuve.Supposonsa2R, et soit" >0. On a :

9 >0;8x2I;jxaj ) jf(x)lj ":

D'ou pour tout8x2I\[a;a+]

jjf(x)j jljj jf(x)lj ":

Ainsi on a bien lim

x!ajf(x)j=jlj.

1.2 Limites a droite et a gauche

Denition.[Limites a droite et a gauche] Soientf:I!Reta2I. ?On dit quefadmet une limite a gauche enasifjI\]1;a[admet une limite ena. Cette limite est alors notee : limx!af(x) ou limx!axest alors notee : limx!a+f(x) ou limx!ax>af(x)Sif:I!Radmet une limitel2Rena2I, alors elle admet une limite a gauche et une

limite a droite enaet ces limites sont egales al.Propriete 3 4

PCSI5Lycee Saint Louis

Preuve.Immediat a partir de la denition.

Remarque.La reciproque est fausse : par exemple, consideronsfdenie surRpar : f(x) =0 six2R

1 six= 0

On a bien lim

x!0f(x) = limx!0+f(x) = 0. Par la proposition precedente, sifa une limite en 0, celle ci est necessairement 0.

Posons=12

. Pour tout >0, on a 0 =j00j , alors quejf(0)0j= 1> .fn'admet donc pas 0 comme limite et n'admet donc pas de limite en 0. Denition.Soita2I, etf:In fag !R. On dit quefadmet une limitel2Renasi elle admet une limite

a droite et une limite a gauche enaet que celles-ci concident.Exemple.Considerons la fonctiong:R!R;x7!0. Alors limx!0g(x) = limx!0+g(x) = 0 etgadmet

donc pour limite 0 en 0.

1.3 ProprietesSoitf:I!Reta2I. Sifadmet une limite nie ena, alorsfest bornee au voisinage de

a.Propriete 4 Preuve.Faisons la preuve dans le cas oua2R. Notonsl= limx!af(x). Pour= 1 :

9 >0;8x2I;jxaj ) jf(x)lj 1:

Ainsi pourx2I\[a;a+] :

jf(x)j jf(x)lj+jlj(inegalite triangulaire)

1 +jlj

etfest bien bornee au voisinage dea.Soientf:I!Reta2I. Sifadmet une limitel >0 ena, alorsfest minoree au voisinage

deapar un nombre strictement positif : sia2R:9m >0;9 >0;8x2I;jxaj )f(x)m:Propriete 5

Preuve.Supposons quea2R. Prenons=l3

9 >0;8x2I\[a;a+];jf(x)lj :

Ainsi, 0<2l3

=lf(x). Remarque.Sifadmet une limite non nulle ena, alorsfest non nulle au voisinage dea: il sut d'appliquer la proposition precedente ajfj. 5 PCSI5Lycee Saint LouisSoitf:I!R,l2Reta2I. On a l'equivalence : lim x!af(x) =l()

8(un)n2N2INtel que limn!+1un=a;limn!+1f(un) =l

:Theoreme 6(Caracterisation sequentielle de la limite)Preuve.Supposons par exemple queaetlsont nis, les autres cas etant analogues.

)Supposons que limx!af(x) =l. Fixons >0. On a donc :

9 >0;8x2I;jxaj =) jf(x)lj

Soit (un)n2N2INtelle que limn!+1un=a. Par denition :

9N2N;8n2N; nN=) junaj

On en deduit donc :

8nN;jf(un)lj

La suite (f(un))n2Ntend donc versl.

(Pour montrer la reciproque, nous allons proceder par contraposition. Supposons quefne tende pas verslquandxtend versa. Ainsi :

9 >0;8 >0;9x2I;

jxaj etjf(x)lj>

Prenons, pour toutn2N,n=1n

. Ainsi,9xn2I; jxnaj etjf(xn)lj> . On construit ainsi une suite (xn)n2N2INtelle que limn!+1xn=aalors que (f(xn))n2Nne converge pas versl. IPour montrer qu'une fonction n'admet pas de limite ena, on peut chercher deux suites(xn)n2Net (yn)n2Nqui tendent versaet telles que(f(xn))n2Net(f(yn))n2Nont deux limites dierentes. Exemples.cos n'a pas de limite en +1: en eet, on pose (xn)n2N= (2n)n2Net (yn)n2N= ((2n+ 1))n2Nqui divergent vers +1, mais (f(xn))n2Nconverge vers 1 et (f(yn))n2Nconverge vers 1. x7!1x sin1x n'a pas de limite en 0 +: en eet, prenonsun=1=2 + 2netvn=12npour tout n1. On a : limf(un) = +1et limf(vn) = 0. Doncfn'a pas de limite en 0+.

1.4 Operations sur les limitesSoita2I. Soientfetgdeux fonctions deIdansRadmettant des limites niesletl02R

quandxtend versa. Alors : (1)

P ourtout ( ;)2R2, limx!a(f+g)(x) =l+l0.

(2) lim x!af(x)g(x) =ll0. (3) Si l06= 0,f(x)g(x)est denie au voisinage deaet limx!af(x)g(x)=ll

0.Propriete 7

6

PCSI5Lycee Saint Louis

Preuve.On va utiliser les operations sur les limites de suites et la caracterisation sequentielle de la

limite pour etendre ces proprietes aux limites de fonctions. Montrons (1) : soit (un)n2N2INtelle que limn!+1un=a. Par caracterisation sequentielle de la limite, on a lim n!+1f(un) =let limn!+1g(un) =l0. Par operations sur les limites de suites, on a lim n!+1f(un) +g(un) =l+l0. Or ceci est vrai pour toute suite (un) qui tend versa. Par caracterisation sequentielle de la limite, on a donc lim x!af(x) +g(x) =l+l0.

On procede de m^eme pour les points (2) et (3).

Remarque.Ces formules se generalisent aux cas des limites innies ena, sauf en cas deformes indetermineesdu type :

1 1;0(1);11

;00 :Soienta2Ietf;g:I!Rdeux fonctions telles quef(x)!x!+10 etgest bornee au voisinage dea. Alors limx!af(x)g(x) existe et vaut 0.Propriete 8 Preuve.On sait que le produit d'une suite bornee par une suite qui tend vers 0 est une suite qui

tend vers 0. On utilise ici alors la caracterisation sequentielle de la limite pour etendre cette propriete

au cas continu. Exercice.Determiner si elle existe la limite en 0 def:x2R7!xsin(1=x). En utilisant la proposition precedente, on a que lim x!0+f(x) = 0 = limx!0f(x). Donc limx!0f(x) existe et vaut 0.Soientf:I!Retg:J!Rtelles quef(I)J, eta2I. Si limx!af(x) =bet limx!bg(x) =c, alors lim

x!a(gf)(x) =c.Propriete 9(Composition des limites)Preuve.Faisons la preuve dans le cas oua,betcsont des reels. Soit >0. Par denition de la

limite deg:

9 >0;8y2J;jybj =) jg(y)cj

Maintenant par denition de la limite def:

9 >0;8x2I;jxaj =) jf(x)bj

On a donc pour toutx2I\[a;a+],jg(f(x))cj ce qui permet de conclure.

1.5 Limites et inegalitesSoientfetgdeux fonctions denies surIa valeurs dansReta2I. Si lim

x!af(x) =l2R et lim

x!ag(x) =l02Ret sif(x)g(x) au voisinage deaalorsll0.Propriete 10(Passage a la limite dans les inegalites larges)7

PCSI5Lycee Saint Louis

Preuve.Supposonsa2R.Par l'absurde, supposonsl0< l. On pose alors=ll03 >0. Par denition de la limite :

91>0;8x2I;jxaj 1=) jf(x)lj

92>0;8x2I;jxaj 2=) jg(x)l0j

De plus,93>0 tel que pour toutx2I\[a3;a+3],f(x)g(x). Posons= min(1;2;3).

Pour toutx2I\[a;a+], on a :

lf(x)l+ l

0g(x)l0+

f(x)g(x):

Ainsi,lf(x)g(x)l0+. On a doncll02=23

(ll0). Absurde. Ainsi,ll0. Remarque.Les inegalites strictes deviennent larges par passage a la limite.

2 Theoremes d'existence de limites

2.1 Theoremes d'encadrementSoientf,gethtrois fonctions deIdansR,l2Reta2I.

Si 8 :f(x)g(x)h(x) au voisinage dea limx!af(x) =l lim

x!ah(x) =lalors : limx!ag(x) existe et vautl:Theoreme 11(Theoreme de convergence par encadrement)Preuve.On fait la preuve dans le cas ouaest ni. Soit >0. Par denition de la limite :

91>0;8x2I;jxaj 1=) jf(x)lj

92>0;8x2I;jxaj 2=) jh(x)lj

De plus,93>0 tel que pour toutx2I\[a3;a+3],f(x)g(x)h(x). Posons= min(1;2;3). Pour toutx2I\[a;a+], on a : lf(x)l+ lh(x)l+ f(x)g(x)h(x): Ainsi,lf(x)g(x)h(x)l+. On a doncjg(x)lj . Ainsi, on a bien montre que limx!ag(x) =l.Soientf;g:I!Reta2I. Sijf(x)j g(x) au voisinage deaet si limx!ag(x) = 0, alors lim x!af(x) existe et vaut 0.Propriete 12(Mini theoreme d'encadrement)8 PCSI5Lycee Saint LouisSoientfetgdeux fonctions deIdansR,aun element ou une extremite deI. 1. Si (f(x)g(x) au voisinage dea limx!af(x) = +1, alors limx!ag(x) = +1. 2. Si (f(x)g(x) au voisinage dea

limx!ag(x) =1, alors limx!af(x) =1.Theoreme 13(Theoreme de divergence par minoration ou majoration)Preuve.La preuve est similaire a celle de la proposition precedente.

2.2 Fonctions monotonesSoient1 a < b+1etf:]a;b[!R.

ISupposonsfest croissante.

{Sifest majoree, alorsfadmet une limite nie enbet limx!bf(x) = sup x2]a;b[f(x).

Sinon on a lim

x!bf(x) = +1. {Sifest minoree, alorsfadmet une limite nie enaet limx!af(x) = infx2]a;b[f(x).

Sinon on a lim

x!af(x) =1.

ISupposonsfdecroissante.

{Sifest minoree, alorsfadmet une limite nie enbet limx!bf(x) = infx2]a;b[f(x).

Sinon on a lim

x!bf(x) =1. {Sifest majoree, alorsfadmet une limite nie enaet limx!af(x) = sup x2]a;b[f(x).

Sinon on a lim

x!af(x) = +1.Theoreme 14(Theoreme de la limite monotone)Notation.infx2]a;b[f(x) = infff(x)jx2]a;b[get sup

x2]a;b[f(x) = supff(x)jx2]a;b[g. Preuve.(Non exigible) Nous allons faire la preuve dans le cas oufest croissante pour la limite en b, les autres points se montrent de m^eme. ?Supposonsfmajoree. Alors, l'ensembleE=ff(x),x2]a;b[gest majore. Il est non vide cara < b, donc admet une borne superieurel2R. Soit >0. Par caracterisation de la borne superieure, il existey02Etel quel < y0. Commey02E, il existex02]a;b[ tel que y

0=f(x0). Pour toutx2[x0;b[, on a alorslf(x0)f(x) (carfest croissante) etf(x)l

(carf(x)2E). Ainsi, en posant=bx0, on a que :8x2]a;b[,jxbj =) jf(x)lj .

On a donc montre que limx!bf(x) =l.

?Supposonsfnon majoree. SoitA >0. CommeAne majore pasf, il existexA2]a;b[ tel que f(xA)> A. Pour toutx2[xA;b[, on a alorsAf(xA)f(x) (carfest croissante). On a donc montre que limx!bf(x) = +1. 9

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En consequence, on a le resultat suivant.Soientf:I!Rune fonction monotone eta2Itel queane soit pas une borne deI.

Alors,fadmet des limites nies a gauche et a droite enaet on a : sifcroissante : limx!af(x)f(a)limx!a+f(x); sifdecroissante : limx!a+f(x)f(a)limx!af(x):Propriete 15 Preuve.Montrons le resultat dans le casfcroissante et notonscetdles bornes deI. L'application f:]c;a[!Rest croissante, et pourx2]c;a[,f(x)f(a), donc cette fonction est majoree. Elle admet donc une limite quandxtend versa. De plus pour toutx2]c;a[,f(x)f(a), donc en passant a la limitextend versa, limx!af(x)f(a). De m^eme, en considerantfj]a;d[, on montre que limx!a+f(x) existe et est superieure ou egale af(a).

Remarque.Ces deux inegalites peuvent ^etre strictes (penser a la fonction partie entiere) et la fonction

n'est pas forcement continue ena. On pourra cependant etablir sa continuite enaen prouvant que limx!af(x) =f(a) = limx!a+f(x), l'existence des limites etant assurees par la monotonie def. Exemple.On considere la fonction primitivex7!F(x) =Rx

0et2dt. Montrons qu'elle a une limite

nie en +1. D'une part,Fest croissante comme primitive d'une fonction positive. Il sut d'etablir qu'elle est majoree. On a : ?exp(t2)1 si 0t1 ; ?exp(t2)exp(t) sit1.

Ainsi on a pour toutx1 :

F(x) =Z

1 0 et2dt+Z x 1 et2dtZ 1 0 1dt+Z x 1 etdt= 1 +e1ex1 +e1: Ainsi,Fest croissante, majoree par 1+e1: elle admet donc une limite en +1(dont on peut etablir qu'elle vaut12 p).

3 Continuite

3.1 Continuite en un point

Denition.Soitf:I!Reta2I.

On dit quefest continue enasifadmet une limite nie ena, qui vaut alorsf(a). Autrement dit,fest continue enasi et seulement si :

8 >0;9 >0;8x2I;jxaj =) jf(x)f(a)j 10

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Preuve.Montrons que sifa une limite nielena2I, alors necessairementl=f(a). On a :

8 >0;9 >0;8x2I;jxaj ;jf(x)lj :

Commea2[a;a+]\I, on ajf(a)lj . Ceci vaut pour tout >0, doncl=f(a). Remarque.Geometriquement, une fonction est continue si son graphe se trace \sans lever le crayon". Exemple.Montrons a partir de la denition que la fonctionx7!pxest continue en 2.

Pour toutx2R+, on a :jpxp2j=jx2jpx+p2

jx2j. Ainsi, pour tout >0, prenons= >0, sijx2j alorsjpxp2j . Denition.Soientf:I!Rune fonction eta2I. On dit que : ?festcontinue a gaucheenasif(a) est la limite a gauche defena.

?festcontinue a droiteenasif(a) est la limite a droite defena.Remarque.Une fonctionfest continue enasi et seulement sifest continue a droite et a gauche

ena. Exemples.La fonction partie entierex7! bxcest continue a droite en tout point deRmais elle n'est continue a gauche qu'aux points deRnZ.xy bxcLa fonctionfsuivante admet une limite a droite egale a la limite a gauche enx= 2, mais elle n'est

pas continue enx= 2 (ni m^eme a gauche ou a droite) puisque cette limite n'est pas egale af(2).Denition.

Soita2Ietf:Infag !Rune fonction. On dit quefest prolongeable par continuite enas'il existe une fonction~f:I!Rcontinue enaet telle que~fjInfag=f.11 PCSI5Lycee Saint LouisSoita2Ietf:Infag !Rune fonction. La fonctionfest prolongeable par continuite enasi et seulement sifadmet une limite nie lena. Dans ce cas, un tel prolongement~f:I!Rest unique, donne par : f:x7!( f(x) six6=a; lsix=a: On l'appelle le prolongement par continuite defena(qu'on notera souventfsans distinc- tion par abus de notation).Propriete 16

Preuve.

)Sifest prolongeable par continuite ena, alors il existe~f:I!Rcontinue enaet telle que~fjInfag=f. Par continuite de~fena, on a :

f(a) = limx!a~f(x) = limx!a+~f(x): Or ~fjInfag=f, donc on a~f(a) = limx!af(x) = limx!a+f(x). Ainsifadmet une limitelenaavec l=~f(a). Ceci prouve egalement l'unicite (s'il existe) du prolongement par continuite defena. (Supposons quefadmet une limite nielena. Posons alors~f:x7!( f(x) six6=a; lsix=a. La fonction ~fprolonge bienf, et est continue enapuisque : f(a) = limx!a~f(x) = limx!a+~f(x):

Exemple. Sinus cardinal.

Soitf:x7!sinxx

.fest denie surR, maisf(x)!x!01. On peut donc prolongerfpar continuite en

0 en posantf(0) = 1.

Exemple. Fonctions puissances.

Soit2R. On rappelle que la fonction puissance d'exposant, noteep, est denie surR+par : pquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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