[PDF] Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes

View - Download Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes

Previous PDF

Next PDF

DERNIÈRE IMPRESSION LE11 juillet 2021 à 9:30

Limites de fonctions et continuité

Table des matières

1 Limite finie ou infinie à l"infini2

1.1 Limite finie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limite infinie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Limites en l"infini des fonctions de référence. . . . . . . . . . . . . 3

2 Limite en un point3

2.1 Limite infinie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Limites en 0 des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Opérations sur les limites4

3.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Produit de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Quotient de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Limite d"une fonction composée7

5 Théorèmes des gendarmes et de comparaison8

6 Continuité9

6.1 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2 Continuité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.3 Continuité et suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.4 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.5 Continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

1 LIMITE FINIE OU INFINIE À L"INFINI

1 Limite finie ou infinie à l"infini

1.1 Limite finie à l"infini

Définition 1 :Une fonctionfa pour

limite?en+∞, si tout intervalle ouvert contenant?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pourx?]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) =? A xOC fΔ La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCf.

On définit de façon analogue lim

x→-∞f(x) =?avecx?]-∞;B[. Remarque :Aussipetitquesoitl"intervallecontenant?,ilfautpouvoirtrouverA.

Exemple :x?→1

x,x?→1xn,n?N?etx?→1⎷xont des limites nulles en+∞. x?→exa pour limite 0 en-∞. Leurs courbes admettent alors la droite d"équationy=0 (l"axe des abscisses) comme asymptote horizontale.

1.2 Limite infinie à l"infini

Définition 2 :Une fonctionfa

pour limite+∞en+∞, si tout inter- valle]M;+∞|contient toutes les va- leurs def(x)pourxassez grand - c"est

à dire pourx?]A;+∞[. On note alors :

lim x→+∞f(x) = +∞ A]M Cf O

On définit de façon analogue :

lim x→-∞f(x) = +∞de]M;+∞[vers]-∞;B[ lim x→+∞f(x) =-∞de]-∞;m[vers]A;+∞[ lim x→-∞f(x) =-∞de]-∞;m[vers]-∞;B[ Remarque :Aussi grand que soitM, il faut pouvoir trouverA.

Exemple :x?→xn,n?N?,x?→⎷

xetx?→exont pour limite+∞en+∞. x?→xna pour limite+∞en-∞sinest pair et-∞en-∞sinest impair.

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

1.3 LIMITES EN L"INFINI DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Une fonction peut tendre vers+∞en+∞

de plusieurs façons. C"est le cas par exemple des fonctionsx?→x2,x?→xetx?→⎷ x. •x?→x2tend " rapidement » vers l"infini.

La concavité est tournée vers le haut.

•x?→xtend "moyennement» vers l"infini.

Pas de concavité.

•x?→⎷xtend " lentement » vers l"infini.

La concavité est tournée vers le bas

Trois façons de

tendre vers+∞ ⎷x x x2 O

1.3 Limites en l"infini des fonctions de référence

f(x)xn1 xn ⎷x1⎷xexeax 0a<0 limx→-∞f(x)+∞npair -∞nimpair0non défininon défini00a>0 +∞a<0

2 Limite en un point

2.1 Limite infinie en un point

Définition 3 :Une fonctionfa pour limite

+∞ena, si tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche de a- c"est à dire pour lesxd"un intervalle ouvert contenanta. On note alors : lim x→af(x) = +∞

La droiteΔd"équationx=aest diteasymptote

verticaleàCf

On définit de façon analogue lim

x→af(x) =-∞ a[]C fM O On définit la limite à gauche ou à droite dex=a lorsque la limite enx=an"existe pas : limite à gauche : lim x→axaf(x)ou limx→a+f(x)

La fonctionx?→1

xn"admet pas de limite en 0, mais admet une limite à gauche et à droite de 0. O limite

à droite

Limite

à gauche

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

2.2 Limites en 0 des fonctions élémentaires

f(x)1 xn

1⎷x

limx→0+f(x)+∞+∞ limx→0-f(x)+∞npair -∞nimpairnon défini

2.3 Limite finie en un point

Définition 4 :Une fonctionfa pour

limite?ena, si que tout intervalle ou- vert contenant?contient toutes les va- leurs def(x)pourxassez proche dea.

On note alors :

lim x→af(x) =? aC f O??

Exemple :limx→2x2-1=3.

Une fonction peut ne pas être définie et

admettre une limite ena.

Par exemple la fonctionx?→ex-1

xn"est pas définie en 0 mais : lim x→0e x-1 x=1

Taux d"accroissement de exp en 0.

1 2 3-1-2-31

23456

Of(x) =ex-1x

Remarque :Parfois la fonctionfn"admet pas une li-

mite ena, mais admet une limite à droite et une limite à gauche. C"est le cas de la fonction partie entièreE. On a par exemple : limx→2-E(x) =1 et limx→2+E(x) =2

1 2 3-1

-11 2 O

3 Opérations sur les limites

Soitfetgdeux fonctions etaun réel ou±∞. On note F.I. une forme indéterminée

3.1 Somme de fonctions

limx→af(x)???+∞-∞+∞ limx→a[f(x) +g(x)]?+??+∞-∞+∞-∞F.I.

PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ

3.2 PRODUIT DE FONCTIONS

Exemples :

1) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =x+3+1

x limx→+∞x+3= +∞ lim x→+∞1 x=0?????

Par somme

lim x→+∞f(x) = +∞

2) Limite en+∞et-∞de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x

lim x→+∞x2= +∞ lim x→+∞x= +∞???

Par somme

lim x→+∞f(x) = +∞ lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞x=-∞???

Par somme, on ne peut conclure

Forme indéterminée :+∞-∞

3.2 Produit de fonctions

limx→af(x)???=00∞ limx→ag(x)??∞∞∞ *Appliquer la règle des signes

Exemples :

1) Limite en-∞de la fonction précédente :f(x) =x2+x

Pour lever la forme indéterminée, on factorisef(x)par le terme prédominant : f(x) =x2+x=x2? 1+1 x?

On a alors avec le produit :

lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞1+1 x=1?????

Par produit

lim x→-∞f(x) = +∞

2) Limite en+∞de la fonction définie surR+par :f(x) =x-⎷

x Forme indéterminée, on factorisef(x)par le terme prédominant : f(x) =x-⎷ x=x?

1-1⎷x?

lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞1-1 ⎷x=1?????

Par produit

lim x→+∞f(x) = +∞

3) Limite à droite de 0 de la fonction définie surR?par :f(x) =1

xsinx lim x→0+1 x= +∞ lim x→0-sinx=0?????

Par produit, on ne peut conclure

Forme indéterminée0×∞

PAUL MILAN5TERMINALE MATHS SPÉ

3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

3.3 Quotient de fonctions

limx→af(x)???=00?∞∞ limx→af(x)g(x) ??∞*F.I.0∞*F.I. *Appliquer la règle des signes (1) doit avoir un signe constant

Exemples :

1) Limite en-2 de la fonction définie surR-{-2}par :f(x) =2x-1

x+2

On détermine le signe de(x+2):x

x+2 -∞-2+∞ 0+ lim x→-22x-1=-5 lim x→-2+x+2=0+ lim limx→-2+f(x) =-∞ lim x→-2-f(x) = +∞ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=-2.

2) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+1

3x+2

Forme indéterminée :

∞. On factorise numérateur et dénominateur par le terme prépondérant : f(x) =2x+1

3x+2=x?

2+1 x? x? 3+2x? =2+1 x 3+2x

On obtient alors :

limx→+∞2+1 x=2 lim x→+∞3+2 x=3???????

Par quotient

lim x→+∞f(x) =23

3.4 Conclusion

Il existe quatre formes indéterminées où les opérations sur les limites ne per- mettent pas de conclure. Dans les cas d"indétermination, on peut : •mettre en facteur le terme prépondérant (pour les polynômes et les fonctions rationnelles) en l"infini, •simplifier pour la forme zéro sur zéro en un point, •multiplier par la quantité conjuguée (pour les fonctions irrationnelles),

•utiliser un théorème de comparaison,

•effectuer un changement de variable ...

PAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ

4 Limite d"une fonction composée

Théorème 1 :Soit deux fonctionsf,geta,b,cdes réels ou±∞. lim x→af(x) =b lim x→bg(x) =c??? ?limx→ag[f(x)]=c

Exemples :Déterminer les limites suivantes :

1) lim

x→+∞cos?1 x2+1? :limx→+∞1 x2+1=0 lim x→0cosx=1?????

Par composition, on a :

lim x→+∞cos?1 x2+1? =1

2) lim

x→0-e1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] maths : limite infinie

[PDF] Maths : polynomes du second degré

[PDF] Maths : Pourcentage*

[PDF] Maths : Probabilité 2nd ( Besoin d'une simple correction ;) )

[PDF] Maths : Problèmes de fractions

[PDF] Maths : Quelle fraction de cette année representent tous les dimanches

[PDF] Maths : Résolution Algébrique

[PDF] Maths : S'il vous plaît !

[PDF] Maths : S'il vous plaît avant mon Ds

[PDF] Maths : Simplifier des fractions

[PDF] Maths : Solutions d'équations

[PDF] Maths : Suite récurrente

[PDF] maths : theoreme

[PDF] maths : tracer des fonctions (sur calculatrice) + démonstration

[PDF] Maths : Trouver un énoncé avec f(x) = (x+4)² - (2x-5)², puis résoudre