[PDF] Chapitre 2 - Limites et continuité pour une fonction de plusieurs

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Chapitre 2

Limites et continuité pour une

fonction de plusieurs variables Vous devez repeindre les murs d"une pièce rectangulaire. Vous commencez par mesurer les longueurs des côtés de la pièce et obtenez environ 3m et 4m. La hauteur des murs est de

3m environ. Vous choisissez une peinture qui permet de couvrir 14m

2par litre. Vos mesures

vous permettent-elles de savoir à peu près le volume de peinture nécessaire à vos travaux?

Un pot d"un litre de peinture est vendu 40 euros. Pouvez-vous dire combien tout cela va-t-il vous coûter?

La différence entre les deux questions tient à la continuité ou la discontinuité des fonc-

tions qui entrent en jeu... Dans le chapitre précédent on a introduit les normes, qui jouent dansRnle rôle que joue la valeur absolue dansR. Cela nous permet d"introduire maintenant la notion de limite pour une suite de points dansRn. La définition est exactement de la même que dansR, en remplaçant simplement la valeur absolue par une norme. De la même façon, on pourra ensuite adapter à

des fonctions deRnla notion de continuité puis, modulo quelques difficultés supplémentaires,

la notion de dérivabilité au chapitre suivant.

2.1 Limites de suites dansRn

Définition 2.1.Soitkkune norme surRn. Soient(xm)m2Nune suite d"éléments deRnet l2Rn. On dit que la suite(xm)m2Ntend verslet on note x m!m!+1l si

8" >0;9N2N;8m>N;kxmlk6":

Autrement ditxmtend verslsi la quantité réellekxmlktend vers 0 au sens usuel. Sans surprise, on retrouve les mêmes propriétés de base que pour la limite d"une suite réelle :

Proposition 2.2.Soitkkune norme surRn.

(i)Unicité de la limite.Soient(xm)m2N2(Rn)N,l12Rnetl22Rn. Sixm!l1et x m!l2quandmtend vers+1, alorsl1=l2. (ii)Linéarité de la limite.Soient(xm)m2Net(ym)m2Ndeux suites d"éléments deRn. Soient l

1;l22Rn,;2R. Si

x m!m!1l1etym!m!1l2; 11 L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralalors x m+ym!m!1l1+l2: Exercice2.1.Démontrer la proposition2.2 (ou au moins l"une des deux propriétés, la démonstration étant la même que pour les limites dansR). La définition de la limite d"une suite dépend du choix d"une norme surRn. Étant données deux normesN1etN2surRn, il se peut a priori que la suite(xm)m2Nconverge vers une limitelpour la normeN1mais pas pour la normeN2. Heureusement, cela ne peut pas se produire si les normesN1etN2sont équivalentes, et on a dit que surRntoutes les normes sont équivalentes. Ouf! Proposition 2.3.SoientN1etN2deux normes surRn. Soient(xm)m2Nune suite de points deRnetl2Rn. Alors on a N

1(xml)!m!10()N2(xml)!m!10:

On munit maintenantRnd"une norme quelconque, notéekk. Définition 2.4.On dit que la suite(xm)m2Nd"éléments deRnest de Cauchy si

8" >0;9N2N;8j;k>N;kxjxkk6":

Proposition 2.5.Rnest complet. Cela signifie que toute suite de Cauchy dansRnest convergente.

Démonstration.Voir le cours d"approfondissements mathématiques.Définition 2.6.SoitAune partie deRn. On appelle adhérence deAet on noteAl"ensemble

des points qui sont limites d"une suite d"éléments deA. Exemples2.7.Pourx2Rnetr >0, l"adhérence de la boule ouverteB(x;r)est la boule ferméeB(x;r).

L"adhérence deR2n f(0;0)gestR2.

2.2 Limite d"une fonction de plusieurs variables

On munitRnd"une norme notéekkRnetRpd"une norme notéekkRp. SoitDune partie deRnetfune fonction deDdansRp. Définition 2.8.Soita2Detl2Rp. On dit queftend verslenaet on note f(x)!x!al si

8" >0;9 >0;8x2 D;kxakRn6=) kf(x)lkRp6":

Remarque2.9.Comme pour la limite d"une suite, la limite d"une fonction en un point ne dépend pas du choix des normes surRnet surRp, qui sont des espaces de dimensions finies. Dans la suite on notera simplementkkau lieu dekkRnoukkRp. Cela n"amènera pas d"ambiguïté, mais attention tout de même à ne pas s"y perdre! Proposition 2.10.Soitf= (f1;:::;fp)une fonction d"un domaineDdeRnà valeurs dans R p(avecf1;:::;fpdes fonctions deDdansR). Soitl= (l1;:::;lp). Soita2D. Alorsf tend verslquandxtend versasi et seulement sifjtend versljquandxtend versapour toutj2J1;pK.12 J. Royer - Université Toulouse 3 Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables Puisque la notion de limite ne dépend pas du choix de la norme surRp, on peut supposer queRpest muni de la normekk1pour démontrer cette proposition.

L"intérêt de cette proposition est qu"il suffit de s"intéresser à des fonctions à valeurs dans

R. Par contre on ne peut pas se ramener au cas de fonctions d"une seule variables... Les propriétés de base pour les limites de fonctions de plusieurs variables sont les mêmes que pour les fonctions d"une variable réelle. Les trois propositions suivantes se montrent en recopiant simplement les démonstrations valable pourn= 1en changeant les valeurs absolues en normes. Elles sont laissées en exercice. Proposition 2.11.Soientf;gdeux fonctions d"un domaineDdeRnà valeurs dansR. Soit a2D. Soit2R. Soientl1;l22R. On suppose quef(x)etg(x)tendent respectivement versl1etl2quandxtend versa. Alors (f+g)(x)!x!al1+l2 et (fg)(x)!x!al1l2: En outre, sil1= 0etgest bornée au voisinage dea, alors on a (fg)(x)!x!a0: Enfin, sil16= 0, alorsfne s"annule pas au voisinage deaet

1f(x)!x!a1l

1:

BLa première propriété pourrait directement être écrite pour des fonctions à valeurs dans

R p, tandis que les deux suivantes de sens que si l"une des deux fonctions au moins est à

valeurs réelles. De même, la dernière propriété n"a de sens que sifest à valeurs réelles.

Proposition 2.12.Soitfune fonction d"un domaineDdeRnà valeurs dansRp. Soit a2D. On suppose quef(x)tend vers une limitel2Rpquandxtend versa. Soitgune fonction d"un domaineD0deRpà valeurs dansRm. On suppose quel2D

0et queg(y)tend

vers une limitel02Rquandytend versl. Alorsg(f(x))tend versl0quandxtend versa. On énonce maintenant le critère séquentiel pour la continuité en un point : Proposition 2.13.Soitfune fonction deD RndansRp. Soienta2Detl2Rp. Alors ftend verslquandxtend versasi et seulement si pour toute suite(xm)m2N2 DNqui tend versa(dansRn) la suite(f(xm))m2Ntend versl(dansRp).

Comme pour une fonction d"une variable réelle, cette propriété sert en général à montrer

queln"est pas la limite defena. C"est en particulier très utile pour montrer quefn"admet en fait aucune limite ena. Exemple2.14.On considère surR2n f(0;0)gl"applicationfdéfinie par f(x;y) =xyx 2+y2: (voir figure 2.2 ). On montre quefn"admet pas de limite en (0,0). Pour cela, on suppose par l"absurde queftend vers une limitel2Ren (0,0). Pourn2Non note u n=1n ;0 etvn=1n ;1n On a u n!n!1(0;0)etf(un) = 0!n!10;Année 2015-2016 13

L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégraldonc d"après la proposition2.13 on a nécessairemen tl= 0. D"autre part on a

v n!n!1(0;0)etf(vn) =12 !n!112 donc on a aussil=12 . D"où la contradiction. Cela prouve quefn"admet pas de limite en (0,0). -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1Figure2.1 - Graphe et lignes de niveaux pour le contre-exemple2.14 : sur tout v oisinage

de (0,0) on trouve toutes les valeurs entre12 et12 ; en particulierfn"admet pas de limite en (0,0). Pour montrer l"existence d"une limite on peut, en plus des propriétés de bases des propo- sitions 2.11 et 2.12 , utiliser le résultat suivant : Proposition 2.15.Soitfune fonction d"un domaineDdeR2à valeurs dansR. Soient a= (a1;a2)2Detl2R. Alorsf(x)tend verslquandxtend versasi et seulement s"il existe une fonction":R+!R+qui tend vers 0 en 0 et telle que pour tousr>0et2R vérifiants(rcos();rsin())2 Don a jf(a1+rcos();a2+rsin)f(a1;a2)j6"(r): Démonstration.On munitR2de la norme euclidiennekk2. Pourr>0et2Ron a k(a1+rcos();a2+rsin)(a1;a2)k2=r:

On suppose queftend verslena. Pourr>0on note

"(r) = sup Soit"0>0. Il existe >0tel quejf(x)lj6"six2 Detkxak26, donc"(r)6"0si r6. Cela prouve que"(r)!0quandr!0. Inversement, supposons qu"une telle fonction "existe. Soit"0>0. Il existe >0tel que"(r)6"0sir6. Soit alorsx2 Dtel que kxak26. Alors il exister2[0;]et2Rtels quex= (a1+rcos();a2+rsin()). On a alors jf(a1+rcos();a2+rsin)f(a1;a2)j6"(r)6"0:

Cela prouve quefest continue ena.Exemple2.16.On considère surR2l"applicationfdéfinie surR2n f(0;0)gpar

f(x;y) =x2y2x 2+y2:

Pourr >0et2Ron a

jf(rcos();rsin())j=r4cos()2sin()2r

26r2!r!00:

Cela prouve queftend vers 0 en (0,0).14 J. Royer - Université Toulouse 3 Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

2.3 Continuité d"une fonction de plusieurs variables

Maintenant que l"on a défini la notion de limite, les définitions de continuité pour une fonction de plusieurs variables sont sans surprise.

Définition 2.17.Soita2 D.

(i) On dit q uefest continue enasif(x)tend versf(a)quandxtend versa. (ii) On dit que fest continue surDsi elle est continue en tout point deD. Exercice2.2.1.Montrer qu"une fonction constante est continue.

2.Montrer que l"application(x1;x2)7!x1est continue surR2.

3.Montrer que toute norme surRndéfinit une fonction continue deRndansR.

Les propriétés de bases sur les limites se traduisent automatiquement en propriétés sur les fonctions continues. Ainsi la somme de deux fonctions continues est continues, le produit

de deux fonctions continues (dont l"une au moins est à valeurs réelles) est continue, l"inverse

d"une fonction continue à valeurs réelles non nulles est continue et la composée de fonctions

continues est continue. Définition 2.18.On appelle fonction polynômiale surRnune application qui s"écrit comme une somme de termes qui sont eux-mêmes des produits de fonctions coordonnées, autrement dit une fonction de la forme f: (x1;:::;xn)7!NX

1;:::;n=0c

1;:::;nx11:::xnn

avecN2Netc1;:::;n2Rpour tous1;:::;n2J0;NK. Par exemples les fonctions (x1;x2)7!x1x42+x31x22ou(x1;x2;x3)7!x1+x1x2x3+x22x23sont polynômiales. Une fraction rationnelle est une fonction qui s"écrit comme le quotient de deux fonctions polynômiales. Proposition 2.19.Toute fonction polynômiale surRnest continue. Plus généralement toute fraction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas sur un domaineD Rnest bien définie et continue sur ce domaine.

Les propositions

2.13 et 2.15 son ttrès utiles p ourmon trerqu"une fonction est ou n"es t pas continue en un point : Exemple2.20.On considère surR2l"applicationfdéfinie par f(x;y) =( xyx

2+y2si(x;y)6= (0;0)

0si(x;y) = (0;0)

(voir figure 2.2 ). La fonctionfest continue surR2nf(0;0)gcomme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas. D"autre part on a f(x;0) = 0!x!00 =f(0;0)etf(0;y) = 0!y!00 =f(0;0); et pourtantfn"est pas continue en (0,0). En effet on a vu quefn"admet pas de limite en (0,0). En particulier elle ne tend pas versf(0;0).

BC"est une erreur trop fréquente que de se contenter de vérifier la continuité des fonctions

x7!f(x;y)ety7!f(x;y)pour prouver la continuité def. On voit bien sur cet exemple que ce n"est malheureusement pas suffisant...Année 2015-2016 15

L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralExemple2.21.On considère surR2l"applicationfdéfinie par

f(x;y) =( x2y2x

2+y2si(x;y)6= (0;0);

0si(x;y) = (0;0):

La fonctionfest continue surR2nf(0;0)gcomme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas. En outre on a vu queftend vers0 =f(0;0)en(0;0), doncfest continue en (0,0). Cela prouve quefest une fonction continue surR2. La proposition suivante généralise le théorème qui dit qu"une fonction continue sur un segment est continue et atteint ses bornes : Proposition 2.22.L"image d"un compact par une fonction continue est compacte. Corollaire 2.23.SoitKun compact deRnetfune fonction continue deKdansR. Alors fest bornée et atteint ses bornes. Un résultat central pour les fonctions continues deRdansRest que l"image d"un inter- valle est un intervalle. La notion d"intervalle étant propre à la dimension 1, on ne peut pas

transposer directement cet énoncé en dimension quelconque. Ceci dit, et même si cela dépasse

le cadre de ce cours, il est tout de même intéressant de se demander comment le théorème

des valeurs intermédiaire pourrait être généralisé à notre contexte... (voir déjà l"exercice

2.8

2.4 Exercices

Exercice2.3.Pourm2Non pose

x m=11 +m;1 +em

1.Étudier la convergence de la suite(xm)m2NdansR2muni de la normekk1.

2.Étudier la convergence de la suite(xm)m2NdansR2muni de la normekk1.

Exercice2.4.Étudier l"existence et éventuellement la valeur de la limite en (0,0) pour les fonctions définies (sur le plus grand domaine deR2possible) par f

1(x;y) =x2y2x

2+y2; f2(x;y) =xyx

2+y2; f3(x;y) =xyx+y;

f

4(x;y) =x2y2x

2+y2; f5(x;y) = (x+y)sin1x

2+y2 ; f

6(x;y) =x+yx

2+y2; f

7(x;y) =1 +x2+y2y

sin(y); f8(x;y) =x3+y3x

2+y2; f9(x;y) =3x2+xypx

2+y2: Exercice2.5.Les limites suivantes existent-elles : lim (x;y)!(1;1)1xy; lim(x;y)!(1;0)y

3(x1)2+y2?

Exercice2.6.Donner le domaine de définition des fonctions suivantes, puis déterminer si elles sont prolongeables par continuité surR2: f

1: (x;y)7!x4+y4x

2+y2; f2: (x;y)7!ysin(x+ 1)x

22x+ 1; f3: (x;y)7!xy2yx

2+y24x+ 4:

Exercice2.7.Montrer les propositions3.16 ,2.12 et 2.13 . Exercice2.8.Soitfune fonction continue deRndansR. Montrer que le théorème des

valeurs intermédiaires est vérifié : si les réelsaetbsont dans l"image defalors tous les réels

entreaetble sont également. Autrement dit, l"image defest un intervalle def. Question subsidiaire (dont la réponse sera donnée dans le cours d"approfondissement mathématiques) :

dans quelle mesure ce résultat se généralise au cas oùfest à valeurs dansRpet son domaine

n"est pas nécessairementRntout entier?16 J. Royer - Université Toulouse 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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