[PDF] Forme fonctionnelle ou récurrente. On appelle suite numérique toute

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Cours -Suites Numériques -c0043a

Suites numériques -Formefonctionnelle ourécurrente. On appellesuite numériquetoute fonctionu: n RINru(n) RIR.

Autrement dit: Toute fonctionfpeut devenirsuite.Il suffit que son domaine de définition soitINensemble des entiers

naturels.

Ainsi:

f : IRrIRtelle quef(x) = 2x-3 x+ 1devientu : INrIR,telle queu(n) = 2n-3 n+ 1. L'usage veut que l'imageu(n)soit notéeun(uindicen) : u0= -3 , u1= -1

2, u2= 1

3, u3= 3

4......

Une suiteest sous formefonctionnellesi la formule proposée pour unest directement transposable enécriture"fonction»,

donc permet le calcul immédiat de unpour toute valeur de n. un= 2n-3 n+ 1est une forme fonctionnelle :u23= 43 24.
Graphe d'une suite(courbe représentative)-forme fonctionnelle :un+ 1=f(n) .

A l'identique des fonctions deIRrIR, une suite numérique possèdeunereprésentation graphique,constituéedes seuls points

d'abscisses entièresx = n.

Exemple: Graphe deun= 2n-3

n+ 1. On l'extrait de celui def(x) = 2x-3 x+ 1.

Une suiteest sousforme récurrentesi la formule proposée pour unn'est pas directement transposable en écriture"fonction»,

et ne permetle calcul de unque de proche en proche,à partir des ordres précédents.

un= 2un-1+ 1est une forme récurrente. Chaque terme est le double de celui qui le précède, augmenté de1.

Siu0= -3, on déduitu1= 2u0+ 1 = -5 , u2= 2u1+ 1 = -9 , u3= 2u2+ 1 = -17.....

Pour amorcer une suite récurrente, il faut en connaître un ou plusieurs termes, et la façon de passer d'un ou plusieurs termes

de la suite à leur successeur (relation de récurrence).

La majorité des problèmes de suites ,consiste à retrouver l'écriture fonctionnelle , à partir de l'écriture récurrente.

2

Une suite sous forme récurrente n'étant qu'une autre présentation d'une suite fonctionnelle, elle admet également un graphe, mais

il faut calculer, de proche en proche, chaqueordonnéeunpour chaque abscissen.

Graphe d'une suite (courbe représentative) -forme récurrente:un+ 1=f(un)+ valeur de départ u0ou u1.

On trace le graphe de f:IRrIR, ainsi que la 1èrebissectrice des axes y= x .

-Partant de l'abscisse u0(par exemple), on cherche son ordonnée u1=f(u0) à la verticale, sur Cf.

-On même ensuite l'horizontale jusqu'à coupery= xenM1(u1; u1)(u1en abscisse et en ordonnée).

-On même ensuite la verticale jusqu'à l'ordonnée u2=f(u1) à la verticale, sur Cf.

-On même ensuite l'horizontale jusqu'à coupery= xenM2(u2; u2)(u2en abscisse et en ordonnée).

-On réitère le processus pour les autres valeurs deun.

On peut éventuellement constater que les valeurs deuns'accumulent au pointE(L; L)d'intersection entreCfet la

bissectricey= x. On peut alors affirmerlim nr+un= L. Exemple:Soitla suite utellequeun+ 1= 2un+ 1, avec u0= 0 .Tracer la courbe représentative deu: 2 2 3 -1 01 1 x y u0 u0 u1 u1 u2 u2 u3 u3 u4 u4 u5 u5

On constate que la suite uest croissante, bornéepar 0etL= 1 + 2limite de la suite, solution de f(x) = x.

Suite monotone :

Une suite numérique est ditemonotone(croissante ou décroissante) si la progression de ses termes successifs l'est, c'est à dire

ne s'inverse jamais. u croissanteEun+ 1munpour tout nEun+ 1-unm0 nRN. u décroissanteEun+ 1unpour tout nEun+ 1-un0 nRN.

Soitun= 2n-3

n+ 1, vérifions queuest croissante: un+ 1-un= 2(n+ 1)-3 (n+ 1)+ 1'2n-3 n+ 1= 2n-1 n+ 2'2n-3 n+ 1= (2n-1)(n+ 1)-(2n-3)(n+ 2) (n+ 2)(n+ 1), un+ 1-un= 5 (n+ 1)(n+ 2). 3 Le résultat est positif pour tout entier positifn.

D'où:un+ 1 -unm0 nRINEu croissante.

Le graphe ci-dessus de la suite vérifie ce résultat, on constate bien que les valeursuncroissent avecn, et on les voit se bloquer

sur la hauteury= 2de l'asymptote horizontale, ce dont on parlera plus bas.

Suite majorée ,minorée, bornée:

Une suite est ditemajorée(ouminorée) si et seulement si tous ses termesunrestentinférieurs (ousupérieurs) à une quantité

AappeléeMajorant(ouminorant) de la suite.

u majorée par AEunAnRIN. u minorée par BEunmBnRIN. u bornée parA etBEAunBnRIN.

Vérifions, pour la suite précédente, qu'elle est majorée par2,comme l'exprime son graphe.

Pour descommodités de calcul, plutôt que de montrerun2, on compare à0, soitun-2 0 nRIN. un-2 = 2n-3 n+ 1'2 = (2n-3)-2(n+ 1) n+ 1= -5 n+ 10pour tout entier natureln.

La suite est majorée par 2.Toutevaleur supérieure à 2 est également majorant de la suite, mais son graphe semble indiquer

que 2 est le plus petit deces majorants. Convergence -Divergence d'une suite numérique :

Si, lorsque l'ordre ns'accroît jusqu'à devenir infini, les termes unde la suite se concentrent sur une valeur Ljusqu'à se

confondre avec elle, la suite est dite convergente vers L, ce que l'on notelim nr+ un= L. (qui est lu : "limite deunégalL»).

Pourun= 2n-3

n+ 1, selonle rapport des plus hauts degrés, on vérifielimnr+un=2.

Si, au contraire,les termesuntendent vers l'infini lorsquen→ +, la suite est ditedivergente.

Cas particuliers de suites numériques :

A/ Les suites arithmétiques

Une suite numérique uest dite arithmétiquesi et seulement si chacun de ses termes est égal au précédent augmentéd'une

valeur constante r appelée raisonde la suite. uarithmétiqueEun+ 1= un+ r Eun+ 1-un= r = Cte,nRIN. Ainsi (-7,-3,+1,+5,+9,+13.....)forment une suite arithmétique de raisonr= +4. Exemple: Soitutelle queun= 1 + 2n(forme fonctionnelle). Montrons queuest arithmétique. un+ 1 -un= [1 + 2(n+ 1)] -(1 + 2n)= +2. La suiteuest arithmétique, de raisonr= +2. 4 Relation entre deux termes d'une suite arithmétique :un= up+ (n -p).r

Ainsi u7= u6+ r, u12= u5+ 7r , u8= u21-13r. (Il suffit d'ajuster le nombre de raisons entrenetp).

Présentation récurrented'une suite arithmétique

Il faut connaîtreun terme,pour amorcer la récurrence,et saraison, pour passer d'un terme au suivant :

Exemple:234u1=-4

un+ 1= un+ 5,suite arithmétique de raisonr= +5. Présentation fonctionnelled'une suite arithmétique

Par la relation exprimant un terme unen fonction d'un autre up, on calcule en général le terme général unde la suite, en

fonction du premier terme u1ou u0de cette suite : un= u0+ n.r ou un= u1+ (n-1).r Exemple précédent:un= u1+ (n-1).r= -4 + 5(n-1), soit :un= 5n -9 nRIN.

On remarquera que la présentationfonctionnelled'une suite arithmétique est une fonction affine, et son graphe une

droite de coefficient directeura =r (raisonde la suite):un= a.n + b Ey = a x + b. Le graphe d'une suitearithmétiqueest unedroite, décroissantesir < 0, croissantesi r > 0, horizontale,donc constante, sir = 0. Une suite arithmétique non constante( r g0 ) est toujours divergente.

21314lim

nr+ un= -sir < 0 (droite décroissante) limnr+un= +sir > 0 (droite croissante). Suite arithmétique de 3 termes :(a , b, c) suite arithmétiqueE2 b = a + c b = a+ r etb = c-rentraînent2 b = a + c. La valeurbest le milieu de[a , c]. Somme des termes d'une suite arithmétique finie :

On démontre par récurrence :

u suite arithmétique BSn= u1+ u2+ u3+ ......+ un=n

2(u1+ un) .

La formule est dangereuse:

Se souvenir quenest lenombre de termes, (u1+ un)lasomme des 2termes extrêmes.

Ainsi:Sn= u0+ u1+ u2+ ......+ un=n+ 1

2(u0+ un),car il y a(n+ 1)termes.

Ecrire"Sn»peut signifier tout autant "nest le nombre de termes» que "le dernier terme estun».

Exemple:Nous savons queSn= 1 + 2 + 3 + ..... + n=n(n+ 1)

2, ce que confirme la formule précédente, puisqu'on a affaire à

une suite arithmétique dentermes, de 1er termeu1= 1et dernier termeun= n.La raison estr = +1. 5

B/ Les suites géométriques

Une suite numérique uest dite géométriquesi et seulement si chacun de ses termes est égal au précédent multipliépar une

valeur constante qg0,appelée raisonde la suite. ugéométriqueEun+ 1= un. q Eun+ 1 un= q= Cte, nRIN.

Ainsi(-16 , +4 , -1 , +1

4, -1

16, +1

64.....)forment une suite géométrique de raisonq= -1

4. Exemple: Soitutelle queun= 3.(2n)(forme fonctionnelle). Montrons queuest géométrique. un+ 1 un= 3.(2n+ 1)

3.(2n)= +2 . La suiteuest géométrique, de raisonq= +2.

Relation entre deux termes d'une suite géométrique :un= up. q(n-p)

Ainsi u4= u3. q, u9= u5. q4, u6= u8.q-2=u8

q2. (Il suffit d'ajuster, dans la puissance, le nombre de raisons entrenetp). Présentation récurrented'une suite géométrique

Il faut connaîtreun terme,pour amorcer la récurrence,et laraison, pour passer d'un terme au suivant :

Exemple:234u0= +3

un+ 1= -1

2un, suite géométrique de raisonq= -1

2. Présentation fonctionnelled'une suite géométrique

Par la relation exprimant un terme unen fonction d'un autre up, on calcule en général le terme général unde la suite, en

fonction du premier terme u1ou u0de cette suite. un= u0.qnou un = u1.qn-1.

Exemple précédent:un= 3.( -1

2)nnRIN. Attention :"-1»doit rester dans la puissance.

Convergence ou Divergence d'une suite géométrique : Si |q| < 1, la suite géométriqueest convergentevers 0: lim nr+ un= 0 Si |q| > 1, la suite géométriqueest divergente: limnr+un= ± Multiplier par-0,5revient à diviser par-2, et multiplier par+0,33à diviser par+3 . Doncmultiplierparqtel que|q| < 1équivaut àdiviser, ce qui justifie qu'en définitivelim nr+ un= 0.

Exemple :( -16 , +4 , -1 , +1

4, -1

16, +1

64.....) r0, avecq= -1

4= -0,25.

A l'inverse : Multiplier par-3ou par+2, soit parqtel que|q| > 1, rend les termes de la suite de plus en plus grands en valeur

absolue, soitlimnr+un= ±.Exemple : ( -1 4, -1

2, -1 , -2 , -4 , -8 .....) r-, avec q= +2.

6 Suite géométrique de 3 termes :(a, b, c) sont en suite géométriqueEb2= a . c b = a. qetb = c qentraînent bienb.b = (a . q)(c q), soitb2= a.c. Somme des termes d'une suite géométrique finie :

On démontre par récurrence :

u suitegéométrique BSn= u1+ u2+ u3+ ......+ un=u1.1 -qn

1 -q, si q g1.

La formule est dangereuse:

Se souvenir quenest lenombre de termes,etu1le premier terme. Somme infinie des termes d'une suite géométrique convergente : Une suite géométrique est convergentesi et seulement si(ssi)|q| < 1. Dans ce cas,qndevient de plus en plus petit lorsquenaugmente :limnr+qn= 0. On déduit, en poussant la formuleà sa limiteSn= u1+ u2+ u3+ ......+ un=u1.1 -qn

1 -q, que lasomme infinie des termes est S=

u1 1 -q.

Ainsi :1 + 1

2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1

32+ àinfiniment... = u1

1 -q= 1

1 -1 2 = +2. Le résultat estfinimalgré une somme infinie.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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