LES SUITES (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES SUITES (Partie 1). I. Raisonnement par récurrence. 1) Le principe.
SUITES NUMERIQUES I) Définition dune suite II) Sens de variation
Remarque : Une suite récurrente est définie par son premier terme et la relation de récurrence un+1 = g(un) ; un n'est pas directement lié à n. Alors u1 = g(u0)
Forme fonctionnelle ou récurrente. On appelle suite numérique toute
Une suite est sous forme récurrente si la formule proposée pour un n'est pas directement transposable en écriture « fonction ».
Suites
En déduire que la suite. Page 15. LES SUITES. 5. SUITES RÉCURRENTES. 15. (un)n?1 converge. 6. Montrer qu'une suite bornée et divergente admet deux sous-suites
Forme fonctionnelle ou récurrente. On appelle suite numérique toute
Une suite est sous forme récurrente si la formule proposée pour un n'est pas directement transposable en écriture « fonction » et ne permet le calcul de un que
LIMITE DUNE SUITE
Suites récurrentes un+1 = f (un) : On peut définir une suite (un)n? par récurrence par la donnée de son premier terme u0 et d'une relation un+1 = f (un) où
ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f
ETUDE des SUITES RECURRENTES. On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R telle que : ? n ? N.
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SUITES RECURRENTES LINEAIRES DORDRE 2
SUITES RECURRENTES LINEAIRES. D'ORDRE 2. 1 Définition. Soit (ab) un couple de R × R?. Une suite u est récurrente linéaire d'ordre 2 si elle satisfait à la
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite de nombres tel que :.
SUITES RECURRENTES LINEAIRES
D"ORDRE 2
1 Définition
Soit (a,b) un couple deR×R?.
Une suite u estrécurrente linéaire d"ordre 2si elle satisfait à la relation de récurrence suivante :
?n?N, un+2=aun+1+bun(E)Exemple: suite de Fibonacci (cf. cours).
2 Quelques propriétés
Etant donné un couple (a,b) deR×R?, notonsUl"ensemble des suites u vérifiant la relation (E).1.Un"est pas vide.
Preuve :la suite nulle appartient àUqui n"est donc pas vide. 2. La donnée des de uxpremiers termes u0etu1définit une unique suite deU.3.Uest stable par combinaisons linéaires :
?(α,β)?R2,(u,v)?U?αu+βv?U. 4. Une suite géométrique de r aisonq non n ulleappartien tà Usi et seulement si q est solu- tion de l"équationx2=ax+b. Preuve :D"après la propriété précédente, nous pouvons poseru0= 1. ?n?N,qn+2=aqn+1+bqn?qn(q2-aq-b) = 0?qn?=0q2-aq-b= 0 Définition: l"équationx2=ax+bs"appelleéquation caractéristique.3 Expression en fonction de n
SoitΔle discriminant de l"équation caractéristiquex2=ax+b. Trois cas sont à distinguer :1.Δ>0. L"équation caractéristique possède dans ce cas deux solutions réelles distinctesr1
etr2et dans ce cas u appartient àUsi et seulement s"il existe(λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un=λrn1+μrn22.Δ = 0. L"équation caractéristique possède une solution double notée r. Dans ce cas u
appartient àUsi et seulement s"il existe(λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un= (λn+μ)rn3.Δ<0. L"équation caractéristique possède deux solutions complexes conjuguéesωet¯ω.
Posons r =|ω|etθ= argω. Dans ce cas u appartient àUsi et seulement s"il existe (λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un=λrncos(nθ) +μrnsin(nθ)Remarque: Dans les trois cas ci-dessus, le couple(λ,μ)est déterminé à partir des valeurs
des premiers termes de la suite u (cf. infra). 14 Exemples
Etudier les suites suivantes :
1.un+2=-un+1+ 2un,u0= 0,u1= 3.
L"équation caractéristique estx2+x-2 = 0. Elle admet pour solutions les réels 1 et -2.Par conséquent :
?n?N, un=λ+μ(-2)n. En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ+μ=0λ-2μ=3
Doncλ= 1etμ=-1.
Conclusion :?n?N, un= 1-(-2)n.
2.un+2= 6un+1-9un,u0= 5,u1= 6.
L"équation caractéristique estx2-6x+9 = 0. Elle admet pour solution double le réel 3.Par conséquent :
?n?N, un= (λ+μn)3n. En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ=53(λ+μ)=6
Doncλ= 5etμ=-3.
Conclusion :?n?N, un= 3n(-3n+ 5).
3.un+2= 9un,u0= 5,u1= 1.
L"équation caractéristique estx2-9 = 0. Elle admet pour solutions3iet-3i.Par conséquent :
?n?N, un=λ3ncos? nπ2 +μ3nsin? nπ2 En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ=53μ=1
Doncλ= 5etμ=13
Conclusion :?n?N, un= 5·3ncos?
nπ2 +13·3nsin?
nπ2 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maths : tracer des fonctions (sur calculatrice) + démonstration
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