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DEVELLOPEMENT, REDUCTION ET FACTORISATION

I) Développement et réduction :

1) Rappels:

a) Activité : b) Propriété 1 :

Pour tous nombres relatifs a, b et k

k( a + b) = k × a + k × b = k a + k b

Exemple:

155355)3(5+=´+´=+xxx

26)1(232)13(2+-=-´-´-=--xxx

c) Propriété 2 :

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d

( a + b)( c + d ) = a × c + a × d + b × c + b × d ( a + b)( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Exemple :

Développer et réduire les expressions suivantes : a) )72)(3()(A-+=xxx b) )2)(43()(B++-=xxx d) Propriété 3 :

Pour tous nombres relatifs a, b et c

a + ( b - c) = a + b - c les signes de b et c sont conservés a - ( b - c ) = a - b + c les signes de b et c sont changés

Exemple :

22523)52(3-=-+=-+xxx

7734)73(4--=-+-=+---xxxxx

2 e) Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes : a) )45)(13()27(4)(A+-++--=xxxx b) )8)(34()56)(1()(B+----+=xxxxx f) A connaître : xx632=´ xx331=´ 030=´x xxx532=+ xxx-=-32 xxx532-=--

2632xxx=´

26)3(2xxx-=-´

26)3(2xxx=-´-

224)2(xx=

g) Rappels sur les nombres relatifs:

Schéma

h) Remarque: Développer signifie transformer un produit en somme.

2) Identité remarquables:

a) Activité: b) Identités remarquables:

Pour tous nombres relatifs a et b

c) Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :

2)3()(A+=xx 2)52()(B-=xx

)2)(2()(C-+=xxx d) Remarque :

Attention,

୓൪ ୓ൢ ¡୓ et ቗ ൣ ¡ቘ୓൪ ୓ൣ ¡୓

3

II) Factorisation :

1) Factorisation par la méthode du facteur commun (apparent) :

a) Activité : b) Propriété :

Pour tous nombres relatifs a, b et k

k × a + k × b = k( a + b) k × a - k × b = k( a - b)

Exemples:

)25(42454820+=´+´=+xxx )9(3933273-=´-=-xxx c) Méthode de factorisation :

Factorisons l"expression

)2)(13(5)2()(A-+-´-=xxxx

On recherche le facteur commun (apparent)

)2)(13(5)2()(A-+-´-=xxxx On écrit ce facteur une seule fois et dans un deuxième facteur, on écrit les termes restants en tenant compte de l"opération (addition ou soustraction). ))13(5)(2()(A+--=xxx On supprime les parenthèses à l"intérieur du deuxième facteur )135)(2()(A---=xxx On réduit à l"intérieur du deuxième facteur )43)(2()(A+--=xxx

Exemples:

Factoriser les expressions suivantes :

1) xxx48)(A2-= 2) )12)(5()5(3)(B++-++-=xxxx 3) )74)(23()1)(23()(C+---+-=xxxxx 4 d) Remarques : - Factoriser revient à transformer une somme en produit. - On recherche le facteur commun le " plus grand » possible. - Pour vérifier si une factorisation est correcte, on peut développer le résultat et l"expression de départ et les comparer ensuite.

2) Factorisation à l"aide des identités remarquables :

a) Identités remarquables:

Pour tous nombres relatifs a et b

୓ൢ Α ¡ ൢ ¡୓൩ ቗ ൢ ¡ቘ୓ (1) ୓ൣ Α ¡ ൢ ¡୓൩ ቗ ൣ ¡ቘ୓ (2) ୓ൣ ¡୓൩቗ ൢ ¡ቘ቗ ൣ ¡ቘ (3) b) Méthode de factorisation : On recherche l"identité remarquable à utiliser : Si on a à factoriser uniquement deux termes : identité (3) Si on a à factoriser trois termes : identités (1) ou (2) - Si tous les termes sont du même signe : identité (1) - Si les termes sont de signes différents : identité (2) On recherche la valeur de a et la valeur de b. Puis on conclut en inscrivant la forme factorisée de l"identité remarquable en remplaçant a et b par les valeurs trouvées. c) Exemples :

Factoriser les expressions suivantes :

8118)(A 1)2+-=xxx

49)(B 2)2-=xx

9124)(C 3)2++=xxx

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