SECOND DEGRÉ (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 2). I. Lecture graphique du signe d'une fonction. 1) Tableau de signes.
ÉQUATIONS INÉQUATIONS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Une équation est composée de deux membres séparés par un signe « = ».
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3.
Thème 4 AM: Fonctions études du signe et esquisses
Après avoir représenté son graphe sur une esquisse en déduire son tableau de signes. Modèle 8 : Fonction du 2ème degré: Étudier le signe de la fonction f
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
2 Factorisation racines et signe du trinôme : sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes.
EQUATIONS INEQUATIONS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. II. Tableaux de signes. 1) Exemple d'introduction a) Compléter le tableau de valeurs suivant
VARIATIONS DUNE FONCTION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe on a alors :.
a. Règle des signes (simplifications) : + + + + - - - + - - et - se simplifie
Calculer le produit de nombres relatifs simples dans les différents cas de signe qui peuvent se présenter. Toute étude théorique des propriétés des opérations
ETUDE DUNE FONCTION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ETUDE D'UNE FONCTION On pourra s'aider d'un tableau de signes.
Signe dun produit et dun quotient
Le produit de deux nombres de signes différents est négatif. Exemple : (+3) × (+7) = +21 Exemple 1 : Etude du signe de ( + 12)(4 + 16).
1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 2) I. Lecture graphique du signe d'une fonction 1) Tableau de signes On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction f. On lit graphiquement que la courbe se situe au dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles -∞;-3
et 2;+∞. Ainsi, sur ces intervalles, la fonction f est positive. On observe de même que la fonction f est négative sur l'intervalle -3;2
. On peut donc dresser le tableau de signes de la fonction f : x -∞ -3 2 +∞f (x) + 0 - 0 + 2) Résolution graphique d'une inéquation On déduit de l'étude précédente que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥0
est : S=-∞;-3 ∪2;+∞ . On a également que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0 est : S=-3;22 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frII. Signe d'un polynôme du second degré Vidéo https://youtu.be/sFNW9KVsTMY Vidéo https://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q 1) Exemples a) Soit la fonction f, telle que :f(x)=x
2 +3x+5. - On a = 1 > 0, donc la parabole est tournée dans le sens " cuvette ». - Le discriminant de
x 2 +3x+5 est : Δ = 32 - 4 x 1 x 5 = 9 - 20 = -11 < 0 L'équation x 2 +3x+5=0n'a pas de solution. La parabole ne traverse donc pas l'axe des abscisses. Elle est donc située au dessus de l'axe des abscisses. On en déduit que
x 2 +3x+5 est toujours positif. b) Soit la fonction f, telle que : f(x)=-x 2 +4. - On a = -1 < 0, donc la parabole est tournée dans le sens " colline ». - Le discriminant de -x
2 +4 est : Δ = 02 - 4 x (-1) x 4 = 16 > 0 L'équation -x 2 +4=0admet deux solutions donc la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points. La parabole est donc située au dessus de l'axe des abscisses entre ces deux points. On en déduit que -x
2 +4est positif pour x compris entre les abscisses de ces deux points et négatif ailleurs. 2) Cas général Soit f une fonction polynôme du second degré, telle que :
f(x)=ax 2 +bx+c . a) Cas où Δ < 0 Dans ce cas, l'équation ax 2 +bx+c=0n'a pas de solution donc la parabole ne traverse pas l'axe des abscisses. Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l'axe des abscisses.
3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Sia > 0 Si a < 0 b) Cas où Δ = 0 Dans ce cas, l'équation ax
2 +bx+c=0admet une unique solution donc la parabole admet son extremum sur l'axe des abscisses. Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l'axe des abscisses. Sia > 0 Si a < 0 c) Cas où Δ > 0 Dans ce cas, l'équation ax
2 +bx+c=0admet deux solutions donc la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points. Selon le signe de a, on a : Sia > 0 Si a < 0 x -∞
f(x) + x -∞ f(x) - x -∞ x 0 f(x) - 0 - x -∞ x 0 f(x) + 0 + x -∞ x 1 x 2 f(x) + 0 - 0 + x -∞ x 1 x 2 f(x) - 0 + 0 - x0 x0 x1 x2 x1 x24 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frIII. Résolution d'une inéquation du second degré Méthode : Résoudre une inéquation Vidéo https://youtu.be/AEL4qKKNvp8 Résoudre l'inéquation suivante :
3x 2 +6x-9>0 - On commence par résoudre l'équation 3x 2 +6x-9=0 . Le discriminant de 3x 2 +6x-9 est Δ = 62 - 4 x 3 x (-9) = 36 + 108 = 144. Les solutions de l'équation 3x 2 +6x-9=0 sont : x 1 -6-1442×3
-6-12 6 =-3 et x 2 -6+1442×3
-6+12 6 =1 - On dresse ensuite le tableau de signes : x -∞ -3 1 +∞ 3x 2 +6x-9 + 0 - 0 + 3x 2 +6x-9 est strictement positif sur les intervalles -∞;-3 et 1;+∞ . L'ensemble des solutions de l'inéquation 3x 2 +6x-9>0 est donc -∞;-3 ∪1;+∞. Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. -3 1 Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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