[PDF] Mathématiques Méthodes et Exercices PC-PSI-PT

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Les méthodes à retenir

Plus de 600 énoncés

d'exercices

Indications pour bien démarrer

Tous les corrigés détaillés

ISBN 978-2-10-054259-8

MATHÉMATIQUES

PC-PSI-PT

MÉTHODES ET EXERCICES

1. Espaces vectoriels normŽs 1

Les mŽthodes ˆ retenir 2

ƒnoncŽs des exercices 6

Du mal ˆ dŽmarrer ?9

CorrigŽs des exercices12

2. Fonctions vectorielles dÕune variable rŽelle23

Les mŽthodes ˆ retenir24

ƒnoncŽs des exercices 28

Du mal ˆ dŽmarrer ?35

CorrigŽs des exercices39

3. IntŽgration sur un intervalle quelconque 57

Les mŽthodes ˆ retenir 58

ƒnoncŽs des exercices 60

Du mal ˆ dŽmarrer ?68

CorrigŽs des exercices74

4. SŽries 113

Les mŽthodes ˆ retenir 114

ƒnoncŽs des exercices 117

Du mal ˆ dŽmarrer ?125

CorrigŽs des exercices129

5. Suites et sŽries dÕapplications157

Les mŽthodes ˆ retenir 159

ƒnoncŽs des exercices 165

Du mal ˆ dŽmarrer ?174

CorrigŽs des exercices 179

Les mŽthodes ˆ retenir 222

ƒnoncŽs des exercices 226

Du mal ˆ dŽmarrer ?235

CorrigŽs des exercices240

7. SŽries de Fourier283

Les mŽthodes ˆ retenir 283

ƒnoncŽs des exercices 285

Du mal ˆ dŽmarrer ?289

CorrigŽs des exercices292

8. ƒquations diffŽrentielles 307

Les mŽthodes ˆ retenir 308

ƒnoncŽs des exercices 311

Du mal ˆ dŽmarrer ?319

CorrigŽs des exercices323

V

9. Fonctions de plusieurs variables rŽelles 349

Les mŽthodes ˆ retenir 350

ƒnoncŽs des exercices 353

Du mal ˆ dŽmarrer ?355

CorrigŽs des exercices357

Les mŽthodes ˆ retenir 366

ƒnoncŽs des exercices 367

Du mal ˆ dŽmarrer ?372

CorrigŽs des exercices376

Les mŽthodes ˆ retenir 389

ƒnoncŽs des exercices 391

Du mal ˆ dŽmarrer ? 395

CorrigŽs des exercices397

12. RŽduction des endomorphismes et des matrices carrŽes 407

Les mŽthodes ˆ retenir 408

ƒnoncŽs des exercices 410

Du mal ˆ dŽmarrer ?419

CorrigŽs des exercices 423

13. Espaces prŽhilbertiens rŽels 447

Les mŽthodes ˆ retenir 448

ƒnoncŽs des exercices 451

Du mal ˆ dŽmarrer ?460

CorrigŽs des exercices465

14. GŽomŽtrie 489

Les mŽthodes ˆ retenir 490

ƒnoncŽs des exercices 493

Du mal ˆ dŽmarrer ?496

CorrigŽs des exercices499

Index alphabŽtique511

Pour bien utiliser cet ouvrage

La page dÕentrŽe de chapitre

Elle propose un plan du chapitre, les

quÕun rappel des points essentiels du cours pour la rŽsolution des exercices.

Les mŽthodes ˆ retenir

cipales mŽthodes ˆ conna"tre,dŽtaillŽes Žtape par Žtape,et indique les exercices auxquels elles se rapportent.

ƒnoncŽs des exercices

De nombreux exercices de difficultŽ croissante

sont proposŽs pour sÕentra"ner.La difficultŽ de chaque exercice est indiquŽe sur une Žchelle de

1 ˆ 4.

CorrrigŽs des exercices

Tous les exercices sont corrigŽs de faon dŽtaillŽe. nonc s des exercices

ƒnoncŽs des exercices

Exemple de dŽveloppement en sŽrie de Fourier, crŽneau Soit f:,2-pŽriodique, paire, telle que, pour tout t[0]: fOtM1si0

πtI

2fOtM0sit

2fOtM1si

2Itπ.

a)VŽrifier f

2et calculer les coefficients de Fourier (trigonomŽtriques) de f.

b)ƒtudier les convergences de la sŽrie de Fourier de fet prŽciser sa somme. c)En dŽduire les sommes de sŽries suivantes : p0 O1Mp 2p1 p0 1

O2p1M2

n1 1 n2 Exemple de dŽveloppement en sŽrie de Fourier, dent de scie continue Soit f:,2-pŽriodique, impaire, telle que : fOtMtsi 0

πtI

2fOtMtsi

2

πtπ.

© Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit.

Pour relier entre elles des sommes

de sŽries convergentes du genre n1 1 n2, et p0 1

O2p1M2

SŽparer, dans une somme partielle, les termes dÕindices pairs, dÕin- dices impairs, puis passer aux limites. ?Exercices 7.1 c), 7.2 c), 7.7 c).

Pour calculer

les coefficients de Fourier dÕune fonction, lorsque le calcul direct ne para"t pas faisable Exprimer la fonction comme somme dÕune sŽrie de fonctions et mon- trer que lÕon peut permuter intŽgrale et sŽrie par lÕune des trois mŽthodes habituelles (cf. les mŽthodes ˆ retenir du chapitre 5 ?Exercices 7.14, 7.15, 7.16, 7.17 a), 7.22 b) Ne pas confondre lÕindice dÕun terme de la sommation donnant fini- tialement, et lÕindice concernant le terme dÕune sŽrie de Fourier.

Pour obtenir une ŽgalitŽ entre

une fonction et une somme de sŽrie trigonomŽtrique fonc- tion bien choisie. ?Exercice 7.6.

Pour obtenir une inŽgalitŽ

portant sur des intŽgrales de carrŽs de fonctions Essayer de se ramener, quand cÕest possible, ˆ une inŽgalitŽ portant sur des sommes de sŽries numŽriques, en utilisant une formule de

Parseval.

?Exercices 7.9, 7.11, 7.13. 7.1 7.2

PC, PSI

PSI

Du mal

dŽmarrer ?

Des conseils m

thodologiques sont proposŽs pour bien aborder la r solution des exercices. VIII

PrŽface

Alors que, rŽcemment, je feuilletais lÕun des manuels de mathŽmatiques qui servait de rŽfŽrence lorsque Ð voici

quelques dŽcennies ! Ð jՎtais en prŽpa, me revinrent en mŽmoire certaines sensations : ˆ la lecture des ŽnoncŽs des

exercices que jÕavais jadis cochŽs, dÕune concision ˆ la fois ŽlŽgante et provocante, je me rappelais le plaisir que jÕavais

ŽprouvŽ ˆ la rŽsolution de quelques-uns dÕentre eux mais aussi, cette Žtrange amertume, pas encore totalement estom-

pŽe aujourdÕhui, que jÕavais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signalŽs dÕun simple astŽ-

Les volumes

MŽthodes et exercices(pour MP dÕune part, PC-PSI-PT dÕautre part) que J.-M. Monier nous prŽsente

aujourdÕhui semblent tout spŽcialement Žcrits pour Žviter ce traumatisme aux Žtudiants dÕaujourdÕhui et de demain. Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties Žminemment complŽ mentaires : ¥ Les mŽthodesconstituent ce guide prŽcieux qui permet ˆ lՎtudiant de pas ser, confiant, efficacement Ç coachŽ È, du cours quÕil apprend ˆ la recherche nŽcessaire et fructueuse des lÕartisan-Žtudiant, les mŽthodes et techniques proposŽes ici en sont les modes dÕem ploi. ƒvidemment, ces conseils

Monier, pŽdagogue avŽrŽ, interrogateur recherchŽ et auteur apprŽciŽ de maints ouvrages r

econnus ? est souhaitable. rŽpondent parfaitement ˆ un triple objectif :

permettre dÕassurer, dÕapprofondir et dÕaffiner, pendant son apprentissage, la comprŽhension du cours ;

consolider et enrichir ses connaissances par la rŽsolution dÕexercices plus substantiels et de questions plus dŽli-

cates ;

rŽaliser des rŽvisions efficaces et ciblŽes lors de la prŽparation des Žpreuves Žcrites ou orales des concours.

Ces exercices sont judicieusement classŽs en quatre niveaux de difficultŽ croissante, permettant ainsi aussi bien au nŽo-

phyte de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) quՈ lՎtudiant chevronnŽ de se

mesurer ˆ des exercices plus difficiles et dŽlicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitre

est couvert par des exercices des quatre niveaux. LÕabandon douloureux devant une question trop abruptement posŽe,

dont je parlais au dŽbut, ne saurait se produire avec lÕouvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique Ç Du mal ˆ

te, rappelant ici la mŽthode adŽquate, donnant lˆ une indication prŽcieuse, ouvrant ailleurs une piste de rechercheÉ e dÕun corrigŽ clair, prŽcis, dŽtaillŽ, osons

le mot, exemplaire. SÕil est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuel

permet ˆ chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en Ž prouve un indicible plaisir !), soit de sÕaider du corrigŽ pour parvenir, rassurŽ et guidŽ, ˆ cette solution.

QuÕil me soit aussi permis dÕinsister sur lÕampleur de ces volumes, liŽe ˆ la grande variŽtŽ des exercices choisis, et qui

IX lÕoutil efficace et complet qui permettra ˆ chacun,

ˆ son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de dŽvelopper son gožt pour les mathŽmatiques et ses compŽ-

Quant ˆ moi, un regret est en train de mÕassaillir : pourquoi nÕai-je pas attendu la rentrŽe prochaine pour commencer

ma prŽpa ?

H. Durand,

professeur en MathŽmatiques SpŽciales PT* © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. X

Remerciements

viser des parties du manuscrit :

Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, GŽrard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, Hermin

Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, AndrŽ Laffont, CŽcile Lardon, Ibrahim

Rihaoui, RenŽ Roy, Marie-Dominique SiŽfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier.

Jean-Marie Monier

XI © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit.

Programmes PC, PSi, PT

Chapitre 1 : Espaces vectoriels normŽs

¥Les Žtudiant(e)s de PT nÕont ˆ conna"tre que le cas de n muni de la norme euclidienne : norme euclidienne, dis- tance associŽe, boules, parties ouvertes, parties fermŽes, parties bornŽes, suites dans n ; toute suite convergente est bornŽe, opŽrations algŽbriques sur les suites. ¥Les Žtudiant(e)s de PC nÕont pas ˆ conna"tre les notions s uivantes : suite de Cauchy, point intŽrieur, caractŽrisation

sŽquentielle des points adhŽrents ou des parties fermŽes, image rŽciproque dÕune partie ouverte (resp. fermŽe) par

une application continue. Chapitre 2 : Fonctions vectorielles dÕune variable rŽelle ¥Pour les Žtudiant(e)s de PT, les fonctions de ce chapitre 2 sont ˆ valeurs dans n muni de son produit scalaire usuel et de la norme euclidienne associŽe.

Chapitre 4 : SŽries

¥La CNS de Cauchy de convergence dÕune sŽrie ˆ termes rŽels ou complexes ne concerne que les Žtudiant(e)s de PSI.

¥Les Žtudiant(e)s de PT nÕont pas ˆ conna"tre la formule de Stirling ni le produit de deux sŽries numŽriques. Chapitre 5 : Suites et sŽries dÕapplications ¥Ce chapitre ne concerne pas les Žtudiant(e)s de PT. ¥Les Žtudiant(e)s de PC nÕont pas ˆ conna"tre la notion de pendant, le programme PC comporteune Žtude de lÕapproximation uniforme. ite radiale.

Chapitre 7 : SŽries de Fourier

¥Le programme PT ne comporte pas lՎtude des coefficients de Fourier exponentiels. ¥Le programme PT comporte une dŽfinition de a 0 diffŽrente de celle figurant dans les programmes MP, PC, PSI. Nous optons pour les formules classiques qui sont celles de ces derniers prog rammes, et qui donnent comme sŽrie de

Fourier trigonomŽtrique de

f:a 0 2 n1 a n cosnOtb n sinnOt2

Chapitre 8 : ƒquations diffŽrentielles

¥Les Žtudiant(e)s de PT nÕont pas ˆ conna"tre la notion de wronskien. XII Chapitre 9 : Fonctions de plusieurs variables rŽelles ¥LÕinŽgalitŽ des accroissements finis pour une application f:Ude classe C 1 sur un ouvert convexe Ude p ne concerne que les Žtudiant(e)s de PSI. ¥La condition suffisante dÕextrŽmum local pour une application f:Ude classe C 2 sur un ouvert Ude 2 ,fai- sant intervenir lÕexpression s 2 rt, ne concerne que les Žtudiant(e)s de PT.

¥Pour les Žtudiant(e)s de PT, la notion de somme directe nÕest au programme que dans le cas de deux

sous-espaces vectoriels dÕun espace vectoriel de dimension finie. nŽaire et la dualitŽ ne sont pas au programme PT. ¥Les notions de base duale et de base prŽduale ne sont quÕau progra mme PSI.

Chapitre 11: DŽterminants

¥LՎtude du groupe symŽtrique et la dŽfinition et les propriŽtŽs de la comatrice ne sont quÕau program

me PSI. Chapitre 12: RŽduction des endomorphismes et des matrices carrŽes ¥Les notions de polyn™me dÕendomorphisme et de polyn™me de matri ce carrŽe ne sont pas au programme PT.

Chapitre 13: Espaces prŽhilbertiens rŽels

¥LՎtude des formes bilinŽaires symŽtriques et des formes quad ratiques nÕest pas au programme PC. ¥La notion dÕadjoint et la rŽduction simultanŽe ne sont quÕau programme PSI.

Chapitre 14 : GŽomŽtrie

¥LÕenveloppe dÕune famille de droites du plan, le centre de courbure, la dŽveloppŽe dÕune courbe du plan et les dŽve-loppantes dÕune courbe du plan, les surfaces rŽglŽes, les surfaces dŽveloppables, les courbes tracŽes sur une surfaceet satisfaisant une condition diffŽrentielle ne sont quÕau programme PT.

¥Les cylindres, c™nes, surfaces de rŽvolution ne sont pas au programme PSI. 1

CHAPITRE

1

Espaces vectorielsnormŽs

¥Montrer qu'une application est une norme

¥obtention dÕinŽgalitŽs portant sur des normes ¥Montrer que deux normes sont (ne sont pas) Žquivalentes ¥Montrer quÕune partie dÕun evn est (nÕest pas) fermŽe, est (nÕest pas) ouverte

¥Manipulation de fermŽs, dÕouverts

¥Calcul de la distance dÕun point ˆ une partie ¥Montrer quÕune application linŽaire fest continue, calculer f ¥Montrer quÕune partie est (nÕest pas) compacte, manipulation de parties com- pactes

¥Utilisation dÕune suite de Cauchy

¥Montrer quÕune application est un produit scalaire ¥DŽterminer lÕorthogonal dÕune partie dÕun espace prŽhilbe rtien Points essentiels du cours pour la rŽsolution des exercices ¥DŽfinition de norme, espace vectoriel normŽ, distance associŽe ˆ une norme, inŽgalitŽ triangulaire renversŽe, normes Žquivalentes ¥DŽfinition de boule ouverte, boule fermŽe, parties bornŽes ¥DŽfinition et propriŽtŽs de : ouvert, fermŽ, point adhŽrent ¥DŽfinition de la distance dÕun point xˆ une partie AdÕun evn E, caractŽrisa- tion de d∞x+A-0 ¥DŽfinition et propriŽtŽs de la convergence des suites, suites extraites

¥DŽfinition et propriŽtŽs des limites, de la continuitŽ en un point, de la conti-nuitŽ sur une partie

Les mŽthodes ˆ retenir 2

Du mal ˆ dŽmarrer ? 9

CorrigŽs12

Plan © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. Ce chapitre 1 ne concerne que les filières PC et PSI,et non la filière PT. xyE xyx y xyE x yxy

Exercices 1.1, 1.23.

Chapitre 1¥ Espaces vectoriels normŽs

2

Les mŽthodes ˆ retenir

Pour montrer quÕune application

NEest une norme sur un

-espace vectoriel E

Pour exprimer la distance d

associŽe ˆ une norme sur un -ev E

ˆ partir de cette norme, ou pour

exprimer une norme ˆ partir de la distance associŽe dsur E xENx Nx

Exercices 1.18 a), 1.19, 1.24.

xyE dxyNxy xENxdx

Pour Žtablir une inŽgalitŽ

faisant intervenir une normesur un -ev 3

Pour montrer que deux normes

NN sur un -espace vectoriel E sont Žquivalentes

Pour montrer que deux normes

NN sur un -espace vectoriel E ne sont pas Žquivalentes

Pour montrer

quÕune partie

AdÕun evn E

est fermŽe dans Equotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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