[PDF] DS n 4 - Mathématiques PCSI 10 déc. 2016 Montrer

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DS n4 - Mathematiques PCSI

Samedi 10 decembre 2016Probleme : Fonctions homographiques On etudie d'abord un premier exemple dans les questions 1 a 4.

On denit la fonctionf, pourx2Rn f2g, par :

f(x) =2x1x+ 2: 1. Justier que Rn f2gest l'ensemble de denition def. Sur quel ensemblefest-elle continue? 2. Justier que fest derivable surRnf2gest calculer sa derivee. En deduire quefest strictement croissante sur ] 1;2[ et sur ]2;+1[. 3.

D eterminerles limites de fen +1,1, 2et 2+.

4. Dresser nalemen tle tableau des v ariationsde fet tracer sa courbe representative. 5.

Quelle est l'image de f?

On traite desormais le cas general d'une fonction homographique. On appelle fonction homographique une fonction de la forme f a;b;c;d(x) =ax+bcx+d oua;b;c;dsont des reels xes etc6= 0. On considere dans la suite quatre reelsa;b;c;davecc6= 0 et f a;b;c;dune fonction homographique. Par exemple, la fonctionfetudiee precedemment est une fonction homographique aveca= 2;b=1;c=1;d= 2. 6. D eterminerle domaine de d enition,not eD(fa;b;c;d), defa;b;c;d. 7. D eterminerles limites de fa;b;c;den1et en +1en fonction dea;b;c;d. 8. Justier que fa;b;c;dest derivable sur son domaine de denition et montrer que sa derivee est de la forme : pour toutx2D(fa;b;c;d), f

0a;b;c;d(x) =adbcg(x)

ougest une fonction que l'on explicitera. 9. D eterminerla monotonie de fa;b;c;d(on distinguera trois cas). 10. On consid erantle cas particulier adbc >0, tracer l'allure de la courbe defa;b;c;d(on placera des points particuliers qui dependent dea;b;c;d). 11. Mon trerque la comp oseede deux fonctions homographiques est une fonction homographique. 12. En supp osantque adbc6= 0, determiner l'expression d'une fonctiong, dependant dea;b;c;d telle que, pour toutx2D(fa;b;c;d) : gfa;b;c;d(x) =x: 13. Mon trerque fa;b;c;drealise une bijection entreD(fa;b;c;d) et un ensemble que l'on precisera. Exprimer son application reciproque a l'aide de la question precedente. 1

Corrige du probleme

1.fest denie partout ou son denominateur ne s'annule pas, c'est-a-direD(f) =Rn f2g

2.fest derivable surD(f) comme quotient de fonctions derivables dont le denominateur ne s'annule

pas et pourx2D(f), f

0(x) =2(x+ 2) + (2x1)((2x)2=3(2x)2>0 doncfest strictement croissante sur son domaine

de denition. 3. lim x!1f(x) = limx!1x(21x )x(1 +2x )= limx!121x 1 +2x =2 et lim x!2f(x) = limx!230 =1 4.x f

0(x)f(x)12+1+jj+

22+1122La courbe representative defpossede une asymptote horizontale en1d'equationy=2 et

une asymptote verticale enx= 25.f(Rn f2g) =Rn f2g

Soita;b;c;d2Ravecc6= 0. On considere

f:x7!ax+bcx+d: 6. La fonction e std enielorsque son d enominateurne s'ann ulepas donc son domaine de d enition vaut, puisquec6= 0,

D(f) =1;dc

[dc ;+1: 7.

On p eut ecrire,p ourtout x2R,

f(x) =a+b=xc+d=x: Ora+b=x!x!1aetc+d=x!x!1cdonc par operations sur les limites f(x)!x!1ac 2

8.La fonction fest derivable surD(f) en tant que quotient de fonctions derivables dont le

denominateur ne s'annule pas surD(f). Pour toutx2D(f), on a f

0(x) =ddx(ax+b)(cx+d)(ax+b)ddx(cx+d)(cx+d)2=adbc(cx+d)2:

9.

Le signe de f0est donc celui deadbc.

Siadbc= 0, la fonction est constante egale af(0) =bd

Siadbc >0 la fonction est strictement croissante.

Siadbc <0 la fonction est strictement decroissante. 10. Av ecla question pr ecedenteet l'h ypotheseadbc >0, la fonctionfest strictement croissante sur1;dc et surdc ;+1. On obtient le tableau :x f

0(x)f(x)1

dc+1+ a ca c+11a ca c 11. Soit g:x7!mx+lnx+pune autre fonction homographique.

Soitx2D(f), on a, si c'est bien deni

gf(x) =gax+bcx+d =max+bcx+d+ln ax+bcx+d+p=m(ax+b) +l(cx+d)n(ax+b) +p(cx+d)=(ma+lc)x+ (mb+ld)(na+pc)x+ (nb+pd) est une fonction homographique ssina+pc6= 0 12. Une telle fonction gest une fonction homographiqueg:x7!mx+lnx+pqui verie 8>>< >:ma+lc= 1 mb+ld= 0 na+pc= 0 nb+pd= 1

On reconnait le produit matriciela b

c d m l n p =I2ora b c d est inversible ssiadbc6= 0 (ce qui est suppose ici) d'inverse

1adbcdb

c a Donc la fonctiongest la fonction homographiqueg:x7!mx+lnx+pavec 8>>< >:m=dadbcd l=badbcn=cadbcp=aadbc 13. La fonction fest continue et strictement monotone sur1;dc donc, par le theoreme de la bijection,frealise une bijection de1;dc surac ;+1d'apres le tableau. Par le m^eme raisonnementfrealise une bijection dedc ;+1sur1;ac

On sait de plus que1;ac

\ac ;+1=;. En conclusion,frealise une bijection deD(f) sur1;ac [ac ;+1. Sa bijection reciproque est la fonctiongdenie a la question precedente. 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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