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Puissance de Matrices - Spe Maths
Exercices
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jaicompris.com Puissance d'une matrice diagonale Soienta,betctrois reels. On considere la matriceD =0 @a0 0 0b0 0 0c1 A Determiner pour tout entiern>1l'expression deDnMethode 1 : Raisonnement par recurrenceSoitA =0 1
2 3 . Montrer que pour tout entiern>0:An=22n2n122n+12n+11Calculer A
nen utilisant les proprietes de AOn considere la matriceA =4 3 321) CalculerB = AI2
2) CalculerB2
3) En deduire pour tout entiern>0, l'expression deAnen fonction den.Calculer A
na l'aide d'une diagonalisationSoitA =0;8 0;10;2 0;9
etP =1 1 211) CalculerP2et verier quePest inversible.
2) Verier queD = P1APest une matrice diagonale que l'on precisera.
3) En deduire pour tout entiern>1, l'expression deAnen fonction den.Matrices : un calcul de puissances par recurrence
On pose :A=1 1
0 2 1.Calculer A2,A3, etA4.
2. Conjecturer l'expression de Anpour tout entier naturelnnon nul. 3. D emontrerv otreconjecture en utilisan tun raisonnemen tpar r ecurrence.1 Matrices : un calcul de puissances a l'aide d'une decompositionOn considere la matriceA=0
@1 0 0 1111 4 31
A 1. (a)D eterminerla matrice Jtelle queA=I3+J.
(b) D emontrerque p ourtout en tiernavecn>3, on a :Jn= 03. 2. D emontrerp arr ecurrenceque p ourtout en tiern>1, on a : A n=I3+nJ+n(n1)2 J2 3. En d eduirela matrice Anen fonction denpour tout entiern>1.Matrices : un calcul de puissancesOn considere les matricesA=0
@1 0 0 8 089 0 81
A ,P=0 @1 0 0 0 111 0 11
A etQ=0 @1 0 0 1 1 11 0 11
A 1. V erierque les matrices PetQsont inverses l'une de l'autre. 2.On d enitla matrice B=QAP.
CalculerBet exprimer pournentier naturel non nulBnen fonction den. 3. (a) Mon trerque p ourtout en tiernaturel non n uln, on a :An=PBnQ. (b)Calculer Anpour tout entier naturel non nuln.2
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