[PDF] [PDF] La fonction exponentielle de base e - Lycée dAdultes

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Définition et problème universel

La fonction

exp est définie surRcomme l"unique fonctionfsolution de l"équation dif- férentielle d"ordre 1 : f?=f satisfaisant à la condition f(0) =1

Remarque :On montre que cette fonction ne

peut s"annuler, donc est positive surRpuis qu"elle est unique.

Comportement asymptotique

limx→+∞ex= +∞. limx→-∞ex=0y=0 est asymptote horizontale àCexpau voisinage de-∞

Carte d"identité de la fonction " exp »

x exp ?(x) exp(x) +00 01 1e

T0:y=x+1T1:y=ex

e 1 1O T0T1 y=ex exp :R-→R?+=]0 ;+∞[ x?-→ exp(x) =ex( (notation d"Euler)

Avantage :La notation d"Euler rend les pro-

priétés algébriques " naturelles » donc faciles

à manipuler et à mémoriser

La fonction

exponentielle de base e oùe≈2,718 à 10-3près exp est une fonction dérivable sur R.

Elle est donc

continue surR. ?x?R, exp?(x) =exp(x)

Conséquence :comme ,?x?R,ex>0, la

fonction exp est strictement croissante surR

Propriétés algébriques

•?x,y?R,ex×ey=ex+y

•?x?R,n?Z(ex)n=en x

•?x,y?R,ex

ey=ex-y

Cas particulier :?x?R,1

ex=e-x

•?x?R,⎷

ex=e1 2x Limites de référence à connaître et à reconnaître!

Croissance comparée•

limx→+∞e x x= +∞ limx→-∞x ex=0

Variation en 0•

limx→0e x-1 x=1 sans ces théorèmes, on aurait des formes indéterminées

PAULMILAN

DERNIÈRE IMPRESSION LE10 octobre 2016 à 16:57TERMINALE S SPÉ

Résolution d"équations et d"inéquations

ea=eb?a=bOn dit que la fonction exp réalise une bijection deRdans]0 ;+∞[•Sia>0,ex=a?X=lna•Sia?0,ex=an"admet pas de solution•Changements de variables :les plus fréquents étant

X=exouX=e-x

Le but est de se ramener à un problème simple (second degré, ...)• ea?eb?a?bCar la fonction exp est croissante surR.

Composée avec l"exponentielle

exp◦u :xu?-→u(x)exp?-→exp[u(x)] =eu(x) exp[u(x)]existe ssix?Du exp◦u est dérivable partout où la fonctionuest dérivable. ?x?Du?,(exp◦u)?(x) =exp?[u(x)]×u?(x)

On note :(eu)?=u?eu.

Exemple :?x?R?, sif(x) =e1

xalorsf?(x) =-1 x2e1 x Culture : quelques fonctions " avatars » de exp 1)

Fonction exponentielle de basea>0

exp a :R-→]0 ;+∞[ x?-→ ax=exlna Il s"agit d"un cas particulier de fonction composée avecu:x?-→u(x) =xlna.

2)Fonction cosinus hyperboliquech

:R-→]0 ;+∞[ x?-→ chx=ex+e-x 2 3)

Fonction sinus hyperbolique

sh :R-→]0 ;+∞[ x?-→ shx=ex-e-x 2

Vous disposez en terminale S de tous les outils pour vous faire une idée précise de ces fonctions ou famille

de fonctions.

PAULMILAN

TERMINALE S SPÉ

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