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Terminale S

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SAES Guillaume

Chapitre 3 : Fonction exponentielle

La naissance de la fonction exponentielle est le fruit d'un long murissement qui n'aboutit qu'à la fin du

XVIIe siècle avec Euler. Les applications de la fonction exponentielle, nous le retrouvons en

économie (calculs des intérêts versés de façon continue), en biologie (mesure de la multiplication des

I. Définition de la fonction exponentielle

Résultat préliminaire :

Alors pour tout ݔא

Donc ݃ est définie et dérivable sur Թ comme produit de deux fonctions ݑ et ݂ définie et dérivable sur

Թ avec pour tout ݔא

Théorème et définition : Fonction exponentielle assurée par le théorème de Cauchy- ݃ qui vérifie les mêmes conditions que ݂ et

montrons que ݃ൌ݂. On suppose ݃ une autre fonction définie et dérivable sur Թ telle que ݃ᇱൌ݃ et

La fonction ݄ est définie et dérivable sur Թ comme quotient de deux fonctions ݂ et ݃ définie et

Chapitre 3 : Fonction exponentielle Terminale S

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II. Relation fonctionnelle

Propriété : Relation fonctionnelle

Pour tout ݔǡݕא

݇௔ est définie et dérivable sur Թ comme produit de deux fonctions ݑ et ݒ définies et dérivable sur Թ

Pour tout ݔא

En effet, ଵ

Propriété : Relations

Pour tout ݔǡݕא

Pour tout ݔאԹ et ݌א

Remarques : On dit que la fonction exponentielle transforme les sommes en produits, les différences

en quotients et les produits en puissances. Démonstration : La première relation est la conséquence du résultat préliminaire.

Pour tout ݔǡݕא

On démontre par récurrence que pour tout ݊א

Soit ݔאԹ, démontrons par récurrence la propriété ܲ௡ définie pour ݊א

݊ൌͲ. Donc ܲ

Hérédité : Supposons que ܲ௞ est vraie pour un certain rang ݇אԳ et montrons que ܲ

Conclusion : ܲ

récurrence ܲ௡ est vraie pour tout ݊א Donc pour tout nombre complexe z et tout nombre ݊א Soit ݌ un entier négatif alors ݌ൌെ݊ où ݊א

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exponentielle, ܽൌെͳ et ܾ bien définie de fonction dérivable avec :

Donc ݂ǯൌെ݂.

III. Une nouvelle notation : ࢋ࢞

Définition : ࢋ

A la calculatrice, on obtient ݁ en calculant ݁ଵ : ݁ൎʹǡ͹ʹ.

Remarques : ݁

On le désigne comme ߨ

Convention

Les propriétés 1 et 2 réécrites avec cette nouvelle notation gagnent en simplicité du fait de leur

analogie avec les formules connues pour les exposants entiers :

Convention : Propriétés algébriques

Pour tous réels ݔ et ݕ et pour tout entier relatif ݌,

IV. Etude de la fonction exponentielle.

Propriété : Etude

La fonction exponentielle est :

- dérivable sur Թ. - strictement positive sur Թ : ݁௫൐Ͳǡ׊ݔא - strictement croissante sur Թ.

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Propriété : Comparaison à 1

Démonstration : Par définition la fonction est dérivable sur Թ. tout ݔא Or on a vu que ݁௫്Ͳ݁௫൐Ͳ pour tout ݔא - Pour tout ݔא fonction exponentielle est strictement croissante sur Թ.

Propriété : Etude locale en ૙

Remarque : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la tangente en

݁௫൒ݔ൅ͳ pour tout ݔא

Démonstration : On utilise la définition de la dérivée en Ͳ, puisque la fonction est dérivable en

Propriété (admise) : Dérivée composée Si la fonction ݑ est définie et dérivable sur un intervalle ܫ dérivable sur ܫ

La fonction ݂ est définie et dérivable sur Թ comme produit de deux fonctions ݑ et ݒ définies et

dérivables sur Թ avec :

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Pour tout ݔא

V. La fonction exponentielle est strictement croissante, on en déduit :

Propriété : Equation et inéquation

Pour tout ݔǡݕא

Propriété : Equation et inéquation

Démonstration : Chapitre sur le logarithme népérien (voir plus tard) calculatrice).quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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