[PDF] [PDF] I Relations dAl Kashi ( Pythagore « généralisé

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1 I. Relations d'Al Kashi ( Pythagore ͨ généralisé »)

) Al Kashi (1380-1430) : mathématicien et astronome perse - auteur de " Miftah al Hisab » ( la clef de

1. Théorème

Si , dans le triangle quelconque ABC ,on note AB = c , BC = a et CA = a et l'angle de sommet A , alors ona les relations suivantes :

Démonstration

a² = BC² = ) ² (continuer la démonstration )

2. Remarque :

Si le triangle est rectangle en A on a cos(

et donc -2 bc cos(

3. Utilité :

longueurs des cotés .

4. Exemples :

Exemple 1

Déterminer les mesures en degré des trois angles ( valeurs approchées arrondies à 0.1 degré prés)

Applications du produit scalaire

a² = b² + c² - 2 bc cos( b² = a² + c² - 2 ac cos( c² = a² + b² - 2 ab cos( 2

Exemple 2

Déterminer la longueur BC et les

mesures en degré des deux autres angles .

Exemple 3

Dans le triangle ABC on a BC = 5.3 , AC = 7.8 et = 40 °

Calculer AB et les 2 autres angles .

3

II. Formule des trois sinus

Cette formule n'a pas grand chose ă ǀoir aǀec le produit scalaire mais sa place ici est justifiĠe apr

son utilisation

1. Théorème

Dans tout triangle ABC (avec les notations du début) on a :

Démonstration :

Si H est le pied de la hauteur issue de A , on a , par la trigonométrie classique dans le triangle

rectangle : sin ( et sin ( ) et h = b sin ( Avec la hauteur h' issue de B on aurait aussi h' с c sin ( ) et h' с a sin ( L'aire du triangle peut donc se calculer des plusieurs faĕons par S с

On a donc s =

Donc , en multipliant par 2 chaque membres :

c sin ( ) = a b sin ( ) = b c sin ( En enfin , en divisant chaque membre par abc et après simplification : La formule des 3 sinus est obtenue en passant aux inverses .

2. Utilité :

3. Exemple

Dans le triangle ABC on a BC = 7 ,

= 48.29° et = 15.23°

Calculer AB et AC .

4

III. Théorème de la médiane

1. Théorème

Soient deux points A et B distincts et I le milieu de [AB]

Alors , pour tout point M du plan on a :

Démonstration :

MA² + MB² =

)² ( finir la démonstration )

2. Exercice

ABC est un triangle tel que AB = 7 , BC = 9 et CA = 4

On note G le centre de gravité de ABC .

Calculer la valeur exacte de AG .

MA² + MB² = 2 MI² +

5

IV. Formules de trigonométrie

1. Formules d'addition

Pour tous nombres réels a et b on a :

Démonstration

On utilise le dessin ci-dessus .

On va calculer le produit scalaire

de 2 manières :

9 Par la définition :

On sait que (

) = a - b + 2k donc = OA OB cos( a - b) = cos( a - b) car OA = OB = 1 ( rayon du cercle trigo. )

9 Par le calcul dans une base orthonormée :

On a et Donc = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) Par identification on a donc : cos( a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

Si on traǀaille aǀec b' с tb on a :

cos(a + b) = cos( a - b') = cos(a) cos(b') + sin(a) sin(b') = = cos(a) cos(-b) + sin(a) sin(-b) or cos(-b) = cos (b) et sin(-b) = - sin(b) On retrouve la formule : cos( a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

Si on traǀaille aǀec a' с

- a on a alors a' н b с - a + b = - (a - b)

On a cos(a' н b) с cos(

- (a - b) ) = sin( a - b) car cos( ) = sin ( Et aussi cos( a' + b) = cos(a') cos(b) - sin(a') sin(b) = cos( - a) cos(b) - sin( - a) sin(b) = sin(a ) cos (b) - cos(a) sin(b) sin( ) = cos ( Par identification , on obtient la formule : sin( a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b) Si ,comme précédemment , si on utilise la formule prĠcĠdente aǀec b' с t b on obtiendra la dernière formule .

2. Formule de duplication

) Démontrer ces formules cos( a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) cos( a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin( a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin( a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b) cos(2 a ) = cos²(a) - sin²(a) cos( 2a ) = 2 cos²(a) - 1 cos( 2a ) = 1 -2 sin²(a) sin( 2a) = 2sin(a) cos(a)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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