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PRODUIT SCALAIRE - Chapitre 1/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvo La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853.

Partie 1 : Définitions et propriétés

1) Définitions

Définition : Soit deux points í µ et í µ.

La norme du vecteur í µí µ

, notée %í µí µ %, est la distance í µí µ.

Définition : Soit í µí µ

et í µí µ deux vecteurs.

On appelle produit scalaire de í µí µ

par í µí µ , noté í µí µ , le nombre réel défini par :

Propriété :

Remarques :

• 𝐵⃗.í µâƒ—se lit " 𝐵⃗ scalaire í µâƒ— ».

• Si l'un des deux vecteurs 𝐵⃗ et í µâƒ— est nul, alors 𝐵⃗.í µâƒ—=0,

Exemple :

On donne : í µí µ=2, í µí µ=5 et í µí µí µ 4

Alors : í µí µ

=2×5×cos9 4 :=10× 2 2 =5 2. Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide de la formule du cosinus

Vidéo https://youtu.be/dfxz40fK0UI

a) Soit un triangle équilatéral í µí µí µ de côté 5.

Calculer le produit scalaire í µí µ

b) Soit í µ le milieu de [í µí µ].

Calculer le produit scalaire í µí µ

2

Correction

a) í µí µ =5×5×cos9 3 =25 ×0,5 = 12,5 b) Le produit scalaire í µí µ est composé de deux vecteurs qui n'ont pas la même origine. On construit alors un point í µ tel que : í µí µ

De cette façon, le produit scalaire à calculer est composé de deux vecteurs de même origine

le point í µ (voir figure ci-contre). =2,5×5×cosC

2í µ

3 D =12,5×(-0,5) = -6,25 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple 𝐵⃗.í µâƒ—=0 est une maladresse à éviter !

2) Propriétés

Propriété de symétrie : 𝐵⃗.í µâƒ—=í µâƒ—.𝐵⃗

Propriétés de bilinéarité :

1) 𝐵⃗.

=𝐵⃗.í µâƒ—+𝐵⃗.í µí°µí°µâƒ— 2) 𝐵⃗. =í µí µí°µâƒ—.í µâƒ—, avec í µ un nombre réel.

Identités remarquables :

1) +2𝐵⃗.í µâƒ—+ 2) 3) Méthode : Appliquer les propriétés du produit scalaire

Vidéo https://youtu.be/_SDj-fG1S18

Vidéo https://youtu.be/P0nKS-cTEO0

Soit 𝐵⃗et í µâƒ— deux vecteurs de normes respectives 2 et 3 et tels que : 𝐵⃗.í µâƒ—=1.

Calculer : a)

b) 𝐵⃗. c) -2í µí°µí°µí°µâƒ—.

3𝐵⃗-í µâƒ—

3

Correction

a) c) -2í µí°µí°µí°µâƒ—.

3𝐵⃗-í µâƒ—

=𝐵⃗.𝐵⃗+𝐵⃗.í µâƒ— =-6í µâƒ—.𝐵⃗+2í µâƒ—.í µâƒ—

+𝐵⃗.í µâƒ— =-6í µâƒ—.𝐵⃗+2 =2 -3 =2 +1 =-6𝐵⃗.í µâƒ—+2 =-5 =5 =-6×1+2×3 =12

Partie 2 : Produit scalaire et norme

Propriété : Soit í µ, í µ et í µ trois points. On a : Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des normes

Vidéo https://youtu.be/iNsm05JimgA

On considère la figure ci-contre, calculer le produit scalaire

Correction

1 2 6 +7 -3

36+49-9

×76

=38 A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud Al Kashi (1380 ; 1430) vit sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394 ; 1449) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences. Dans son Traité sur le cercle (1424), Al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de 2p avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit 16 décimales exactes :

2p ≈ 6,283 185 307 179 586 5

4 Théorème d'Al Kashi : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure : -2í µí µcos(í µ

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/34OJiQ_4-N4

)=í µí µcos(í µ et

Donc :

=í µí µcos(í µ

Soit : í µ

=2í µí µcos(í µ

Soit encore : í µ

-2í µí µcos(í µ Méthode : Appliquer le théorème d'Al Kashi pour calculer une longueur

Vidéo https://youtu.be/SeFjmbOGhVc

On considère la figure ci-contre.

Calculer la longueur í µí µ. On donnera une valeur arrondie au dixième.

Correction

D'après le théorème d'Al Kashi, on a :

=4 +6 -2×4×6×cos(60°) =16+36-48× 1 2 =28

28≈5,3

5 Méthode : Appliquer le théorème d'Al Kashi pour calculer un angle

Vidéo https://youtu.be/-cQQAjHJ0Kc

On considère la figure ci-contre. Calculer la mesure de l'angle í µí µí µ au degré près.

Correction

D'après le théorème d'Al Kashi, on a :

4 =6 +5 -2×6×5×cos(í µí µí µ

16=36+25-60cos(í µí µí µ

60cos(í µí µí µ

)=36+25-16

60cos(í µí µí µ

)=45 cos(í µí µí µ cos(í µí µí µ ≈41° Même les Playmobil connaissent le théorème d'al Kashi !quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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