[PDF] COURS PREMIÈRE S LES VECTEURS

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COURS PREMIÈRE S LES VECTEURS

A. Définition et propriétés

Les définitions et propriétés suivantes sont communes aux vecteurs du plan et aux vecteurs de l"espace.

1. Définition : Un vecteur est défini par une direction, un sens et une

longueur (norme) : le vecteur ⃗u a la direction de la droite (AB), le sens de A vers B, et la longueur (ou norme du vecteur) est celle de AB.

La somme des vecteurs

⃗u et ⃗v est le vecteur ⃗u + ⃗v tel que , A, B,

C, D sont les points définis par

⃗u = ⃗AB , ⃗v = ⃗AC et ⃗AD= ⃗u + ⃗v , alors ABDC est un parallélogramme.

2. Propriétés : a) ⃗AB = ⃗CD est équivalent à ABDC est un

parallélogramme. b) ⃗AA = ⃗0 qui est le vecteur nul. c) Relation de Chasles : pour tous points A, B, C, on a ⃗AB+ ⃗BC = ⃗AC

d) Vecteur opposé : ⃗BAest le vecteur opposé au vecteur ⃗AB; on a ⃗BA + ⃗AB = ⃗0.

e) Pour k, nombre réel, on définit le vecteur k ⃗u par le vecteur de même direction que ⃗u, de norme |k| fois celle de ⃗u et de même sens que ⃗u si k > 0 et de sens opposé si k < 0.

e) Vecteurs colinéaires : deux vecteurs sont colinéaires s"ils ont la même direction ; deux vecteurs ⃗u et ⃗vsont

colinéaires si et seulement s"il existe un réel k tel que ⃗v = k⃗u .

Conséquences :

⃗AB et ⃗AC sont colinéaires équivaut à : les points A, B et C sont alignés.

⃗AB et ⃗CD sont colinéaires équivaut à : les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

f) Points particuliers : Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) I milieu du segment [AB] ; 2)

⃗IA+ ⃗IB = ⃗0; 3) ⃗AI= ½ ⃗AB ;

4) pour tout point M , on a

⃗MA+⃗MB = 2⃗MI . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) G est le centre de gravité du triangle ABC ;

2) ⃗GA+ ⃗GB +⃗GC = ⃗0 ;

3) pour tout point M, on a

⃗MA+ ⃗MB + ⃗MC = 3⃗MG . g) Caractérisation d"une droite : Soit A un point de l"espace et ⃗u un vecteur ; l"ensemble des points M tel que ⃗AM = k⃗u où k est un réel, est la droite passant par A et de vecteur directeur ⃗u (le vecteur directeur indique la direction de la droite).

B. Les vecteurs dans une base :

1. Repère du plan : Deux vecteurs non colinéaires du plan forment une base de l"ensemble des vecteurs du plan.

Tout vecteur du plan s"écrit en fonction des vecteurs de la base : soit ( ⃗i, ⃗j) une base du plan ; tout vecteur ⃗u peut s"écrire

⃗u = a⃗i+ b⃗j ; les nombres réels a et b sont les coordonnées du vecteur ⃗u dans la base (⃗i, ⃗j),

noté (a ; b ) .

Si O est un point du plan, et (

⃗i, ⃗j) une base du plan, alors (O; ⃗i, ⃗j) forme un repère du plan. La base est

orthogonale si les vecteurs sont orthogonaux ; et la base est orthonormale si elle est orthogonale et si les vecteurs

sont de norme 1. Pour tout point M du plan, il existe deux réels x, y tels que ⃗OM = x⃗i + y ⃗j. x, y sont les coordonnées du vecteur ⃗OM et les coordonnées du point M dans le repère (O; ⃗i, ⃗j).

Notations : ⃗OM(x ; y) ou ⃗OM(

x y).

2. Calculs dans un repère :

⃗AB(xB - xA ; yB - yA ) ;

I milieu du segment [AB] : I (

xA+xB

2 ; yA+yB

2) . Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : dans le plan, ⃗u(a ; b ) et ⃗v(a" ; b") sont colinéaires si et seulement si ab" - ba " = 0 .

C. Les configurations

configuration aspect vectoriel aspect analytique

ABCD est un

parallélogramme ⃗AB = ⃗DCxB - xA = xC - xD y

B - yA = yC - yD

I est le milieu du

segment [AB]pour tout point M, ⃗MA +⃗MB = 2⃗MI .x

I = (xA + xB)/2

y

I= (yA + yB)/2

G centre de gravité du

triangle ABC ⃗GA + ⃗GB + ⃗GC = ⃗0; pour tout point M, ⃗MA + ⃗MB + ⃗MC = 3⃗MG xG = ( xA + xB + xC )/3 y

G = ( yA + yB + yC )/3

Droites (AB) et (CD)

parallèles ⃗AB et ⃗CD sont colinéaires ssi il existe k tel que ⃗AB = k ⃗CD ⃗u (x , y) et ⃗v (x", y") sont colinéaires ssi xy" - x"y = 0

Alignement de trois

points A, B et C ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires ssi il existe k tel que ⃗AB = k ⃗AC Dans le plan, ⃗u (x , y) et ⃗v (x", y") sont colinéaires ssi xy" - x"y = 0

Si le repère est orthonormé :

Distance de A à B Norme du vecteur

⃗AB :

D. Équation cartésienne d"une droite

Soient A et B deux points distincts du plan. Soit M un point de la droite (AB).

Alors les vecteurs

⃗AB et ⃗AM ont colinéaires. Dans un repère du plan, si A(xA ; yA), B(xB ; yB) et M(x ; y) , alors ⃗AB(xB - xA ; yB - yA) et ⃗AM(x - xA ; y - yA) ;

les vecteurs sont colinéaires, donc (xB - xA)(y - yA) - (yB - yA)(x - xA) = 0 ; on développe et on simplifie

l"expression, on trouve une équation de la forme ax + by + c = 0, appelée équation cartésienne de la droite (AB).

Le vecteur

⃗u(a ; b) est un vecteur directeur de la droite (AB).

Exemple 1 : A(2 ; - 1) et B(- 3 ; 5) ; on trouve

⃗AB(- 5 ; 6) et ⃗AM(x - 2 ; y + 1) ; la colinéarité des vecteurs donne - 5(y + 1) - 6(x - 2) = 0 ; on développe : - 5y - 5 - 6x + 12 = 0 ; on simplifie : - 6x - 5y + 7 = 0 qui est une équation cartésienne de la droite (AB). Remarque : 6x + 5y - 7 = 0 est aussi une équation cartésienne de la droite (AB).

Le vecteur

⃗u(6 ; 5) est un vecteur directeur de la droite (AB).

Exemple 2 :

⃗u(2 ; 1) et A(- 3 ; 1) ; une équation cartésienne de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur

⃗u a pour équation 2x + y + c = 0 ; pour trouver la valeur de c, on remplace x et y par les coordonnées du point A :

2×(- 3) + 1 + c = 0 ; on résout l"équation : c = 5 ; donc une équation cartésienne de la droite (d) est 2x + y + 5 = 0.

Exemple 3 : A(2 ; 1), B(3 ; - 5) et C(- 3 ; 7) ; une équation cartésienne de la droite (d) parallèle à (AB) et passant

par C a pour vecteur directeur le vecteur ⃗AB(1 ; - 6) ; donc son équation est x - 6y + c = 0 ; pour trouver la

valeur de c, on remplace x et y par les coordonnées du point C : - 3 - 6×7 + c = 0 ; on résout l"équation : c = 45 ;

donc une équation cartésienne de la droite (d) est x - 6y + 45 = 0.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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