[PDF] Première S Cours vecteurs et droites 1 I Colinéarité de deux

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Première S Cours vecteurs et droites

1

I Colinéarité de deux vecteurs

Définition 1:

Exemples :

Les vecteurs

u -5 3 et v 15 -9 sont colinéaires car v = -3 u.

Le vecteur nul

0 est colinéaire à tout vecteur

u car 0 = 0 u Propriété 1 : condition de colinéarité : Démonstration

Dans un repère du plan, les vecteurs

u x y et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles

Exemples :

Les vecteurs

u 5 1 -1 et v -4

5 + 1 sont colinéaires car :

(5 1)(5 + 1) (-1)(-4) = 5 1 4 = 0.

Propriété 2

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et

CD sont

colinéaires.

Propriété 3

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et

AC sont colinéaires.

II

Définition 2 :

Un vecteur

u AB = u.

Remarque

distincts.

Propriété 4 Démonstration

Une droite de vecteur directeur

u et une droite de vecteur directeur v sont parallèles si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u.

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2

Propriété 5 Démonstration

Soit u v est un vecteur directeur de la droite d si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u. Propriété caractéristique 6 Démonstration

Soit A un point du plan,

u un vecteur non nul et d la droite passant par A de vecteur directeur u. Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires.

Propriété 7 Démonstration

u 1 m est un vect

III Equations cartésiennes de droites

Propriété 8 Démonstration

Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme ax + by + c = 0 Dire que d admet pour équation ax + by + c = 0 signifie que un point M(x ;y) appartient à la droite d si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.

Propriété 9 Démonstration

Dans un repère du plan, toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ;b) (0 ;0) est

Cette droite a pour vecteur directeur

u -b a.

Exemple :

;y) tels que -2x +

4y 5 = 0.

E est une droite du plan de vecteur directeur

u -4 -2.

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Les vecteurs

v 4 2 et w 2

1 sont aussi des vecteurs dire

u.

Remarque :

4y + 5 = 0 ou x 2y + 2,5 = 0.

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Démonstrations

4 Propriété 1 : condition de colinéarité

Dans un repère du plan, les vecteurs

u x y et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles

Les vecteurs

uet v sont colinéaires : si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v v u ; si et seulement si il existe un réel k tel que x'= k'x y' = k'y ; si et seulement si les coordonnées x y de u et de v sont proportionnelles ;

Propriété 4

Une droite de vecteur directeur

u et une droite de vecteur directeur sont parallèles si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u.

Propriété 5

Soit u v est un vecteur directeur de la droite d si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u.

Le vecteur

u est un vecteur directeur de d donc il existe deux points distincts A et B de d tels que u = AB. Si vest un vecteur directeur de d, il existe deux points distincts C et D de d tels que v = CD. Les points A, B, C et D sont alignés sur d, donc les vecteurs AB et

CD sont

colinéaires, donc le vecteur v est colinéaire au vecteur u.

Réciproquement, si

v est non nul et colinéaire à u, il existe un point C distinct de A tel que AC = v et un réel k tel que v = k u. Alors

AC = k

AB donc A, B et C sont

alignés, autrement dit le point C appartient à la droite d. Par suite, v est un vecteur directeur de la droite d.

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Démonstrations

5

Propriété caractéristique 6

Soit A un point du plan,

u un vecteur non nul et d la droite passant par A de vecteur directeur u. Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires.

Propriété 7

u 1 m est un vecteur directeur de la dro A(0 ;p) et B(1 ;m + p) appartiennent à d ; donc u =

AB est un vecteur directeur de d.

Propriété 8

Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme ax + by + c = 0

Soit A un point de d et

u un vecteur directeur de d.

M(x ;y) d

AM x - xA y - yA et u sont colinéaires. (x xA) - (y yA) = 0 Cette équation est de la forme ax + by + c = avec a = , b = - , c = -xA + yA. Comme u

0, on a () (0 ;0) et donc (a ;b) (0 ;0).

Propriété 9

Dans un repère du plan, toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ;b) (0 ;0) est

Cette droite a pour vecteur directeur

u -b a. Soit (E) : ax + by + c = 0 avec (a ;b) (0 ;0). On a (E) by = -ax c.

Si b 0, (E) y = -ax c

b.

En posant m = - a

b et p = - c b, on obtient une équation de droite de la forme y = mx + p, u 1 m. Comme b 0, un autre vecteur directeur de cette droite est -b u -b a. Si b = 0, alors a 0 puisque (a ;b) (0 ;0) et ax + c = 0 x = - c a. ordonnées.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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