Exercices de mathématiques

Statistiques descriptives et exercices

Courriels : abdennasser.chekroun@gmail.com / chekroun@math.univ-lyon1.fr 4 types de filaments se propose d'étudier l'influence de la nature du filament ...

exercices corrigés

Quel est le caractère statistique étudié et sa nature ? Déterminer la population le caractère étudié ainsi que la nature de ce caractère.

1 Population - Caractère 2 Nature du caractère

Le but des statistiques est de fournir une série de valeurs permettant d'étudier les individus d'une population donnée ; on appelle caractère ce que l'on

Cours 2nde 2020-2021

Imaginons que Fanny ait eut les notes suivantes en mathématiques : 12; 8; 15; Observons que le caractère étudié peut-être de nature diverse :.

Université Ferhat Abbas Sétif 1 1éreAnnée Aménagement

La population dans cette étude est les 40 personnes. Préciser la population le caractère

Cours 1ère S

Un caractère qui est la qualité étudiée dans la population. Remarque. Observons que le caractère étudié peut-être de nature diverses :.

Exercices de mathématiques - Exo7

Etudier en fonction de ? > 0 la nature de la série de terme général un. (Sn)? . Correction ?. [005699] un est défini pour n ? 1 car pour n ? 1 1?.

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

Définition : La Statistique c'est l'étude des variations observables. C'est une méthode qui répartition des individus selon le caractère étudié.

Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique

Exemple : étudier la nature de la série P. (1)n n n 2 N. 3.2 Séries de fonctions. Définition Soit (fn)n2N une suite de fonctions de ? dans R.

LES TESTS DHYPOTHÈSE

On étudie une population dont les éléments possèdent un caractère (mesurable ou qualitatif) et dont la valeur du paramètre relative au caractère étudié est

Exo7

Séries

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1Nature de la série de terme général

1) (*)lnn2+n+1n

2+n1

2) (*)1n+(1)npn

3) (**)n+32n+1

lnn4) (**)1ln(n)ln(chn)

5) (**)arccos3q11n

26) (*)n2(n1)!7)

cos1pn n1pe

8) (**)ln2p

arctann2+1n

9) (*)

Rp=2

0cos2xn

2+cos2xdx10) (**)np2sin(p4

+1n )11) (**)e1+1n n

Nature de la série de terme général

1) (***)

4pn

4+2n23pP(n)oùPest un polynôme.2) (**)1n

aS(n)oùS(n) =å+¥p=21p n.

3) (**)unoù8n2N,un=1n

eun1.

4) (****)un=1p

noùpnest len-ème nombre premier (indication : considérer

åNn=1ln

111p
n

åNn=1ln(1+pn+p2n+:::)).

5) (***)un=1n(c(n))aoùc(n)est le nombre de chiffres denen base 10.

6) (*)

(Õnk=2lnk)a(n!)ba>0 etb>0.7) (**)arctan1+1n a arctan11n a

8) (**)

1n aånk=1k3=2.9) (***)Õnk=11+kn a1.

Nature de la série de terme général

1) (***)sinpn2n+1

2) ()(1)nn+(1)n13) ()ln

1+(1)npn

4) (***)einan

,cos(na)n etsin(na)n

5) (**)(1)nlnnn

(1)nP(n)Q(n)oùPetQsont deux polynômes non nuls

7) (****)(sin(n!pe))ppentier naturel non nul.

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

1) (**)

å+¥n=0n+13

n2) (**)å+¥n=32n1n

34n3) (***)å+¥n=01(3n)!

4) (*)

å+¥n=21pn1+1pn+12pn

5) (**)

å+¥n=2ln

1+(1)nn

6) (***)

å+¥n=0lncosa2

na20;p2 textbf7)

å+¥n=0th

a2 n2 n 1 converge. Montrer queun=n!+¥o1n . Trouver un exemple de suite(un)n2Nde réels strictement positifs telle

que la série de terme généralunconverge mais telle que la suite de terme généralnunne tende pas vers 0.

2diverge.

u n)etRun0dx1+xesont de mêmes natures. terme généralpu nn

connaissant la nature de la série de terme généralunpuis en calculer la somme en cas de convergence.

Pourn2N, on poseSn=u0+:::+un. Etudier en fonction dea>0 la nature de la série de terme généralun(Sn)a.

2a,n>1.

+13 14 +:::=ln2.

A partir de la série précédente, on construit une nouvelle série en prenantptermes positifs,qtermes négatifs,p

termes positifs ... (Par exemple pourp=3 etq=2, on s"intéresse à 1+13 +15 12 14 +17 +19 +111
16 18 2

Convergence et somme de cette série.

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

1) ()un=2n33n2+1(n+3)!2) (*)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.

n!(a+1)(a+2):::(a+n)quandntend vers l"infini (aréel positif donné).

å+¥k=n+11k

2quandntend vers l"infini.

Partie principale quandntend vers+¥de

1) (***)

å+¥p=n+1(1)plnpp

2) (**)ånp=1pp.

n2N;n6=p1n 2p2 et

ån2N

p2N;p6=n1n 2p2 . Que peut-on en déduire ?

å+¥n=0(1)n3n+1.

. Montrer que si la série de terme général

(un)2converge alors la série de terme général(vn)2converge et queå+¥n=1(vn)264å+¥n=1(un)2(indication :

majorerv2n2unvn). 3

ånk=0(1)k2k+1,n>0.

Correction del"exer cice1 N1.Pour n>1, on poseun=lnn2+n+1n 2+n1 .8n>1,unexiste u n=ln1+1n +1n

2ln1+1n

2=n!+¥

1n +O1n 21n
+O1n 2=O1n 2.

Comme la série de terme général

2,n>1, converge (série de RIEMANNd"exposanta>1), la série de

terme généralunconverge. 2.

Pour n>2, on poseun=1n+(1)npn

.8n>2,unexiste et de plusunn!+¥1n . Comme la série de terme général 1n ,n>2, diverge et est positive, la série de terme généralundiverge. 3.

Pour n>1, on poseun=n+32n+1

lnn. Pourn>1,un>0 et ln(un) =ln(n)lnn+32n+1 =ln(n) ln12 +ln 1+3n ln 1+12n n!+¥ln(n) ln2+O1n n!+¥ln2ln(n)+o(1):

Doncun=eln(un)n!+¥eln2lnn=1n

ln2. Comme la série de terme général1n ln2,n>1, diverge (série de RIEMANNd"exposanta61) et est positive, la série de terme généralundiverge. 4. Pour n>2, on poseun=1ln(n)ln(chn).unexiste pourn>2. ln(chn)n!+¥lnen2 =nln2n!+¥net unn!+¥1nln(n)>0. Vérifions alors que la série de terme général

1nlnn,n>2, diverge. La fonctionx!xlnxest continue,

sur]1;+¥[). Par suite, la fonctionx!1xlnxest continue et décroissante sur]1;+¥[et pour tout entierk

supérieur ou égal à 2,

1klnk>Rk+1

k1xlnxdx

Par suite, pourn>2,

nk=2klnk>

ånk=2R

k+1 k1xlnxdx=Rn+1

Doncunest positif et équivalent au terme général d"une série divergente. La série de terme généralun

diverge. 5.

Pour n>1, on poseun=arccos3q11n

2.unexiste pourn>1. De plusun!n!+¥0. On en déduit que

u nn!+¥sin(un) =sin arccos 3r11n 2! =s1 11n 2 2=3 =n!+¥s11+23n2+o1n 2 n!+¥r2 3 1n >0

terme général d"une série de RIEMANNdivergente. La série de terme général un diverge.

6. Pour n>1, on poseun=n2(n1)!.unexiste etun6=0 pourn>1. De plus, 5 un+1u n =(n+1)2n

2(n1)!n!=(n+1)2n

3n!+¥1n

!n!+¥0<1. D"après la règle de d"ALEMBERT, la série de terme généralunconverge. 7.

Pour n>1, on poseun=

cos1pn n1pe .unest défini pourn>1 car pourn>1,1pn 20;p2 et donc cos 1pn >0. Ensuite ln cos1pn n!+¥ln

112n+124n2+o1n

2 n!+¥12n+124n218n2+o1n 2 n!+¥12n112n2+o1n 2

Puisnln

cos1pn =n!+¥12

112n+o1n

et donc u n=enln(cos(1=pn)1pe =n!+¥1pe e112n+o(1n )1 n!+¥112npe <0.

La série de terme général112npe

est divergente et donc la série de terme généralundiverge. 8. ln 2p arctann2+1n =ln 12p arctannn 2+1 n!+¥2p arctannn 2+1 n!+¥2p nn

2+1n!+¥2np<0:

Donc, la série de terme généralundiverge. 9.

Pour n>1, on poseun=Rp=2

0cos2xn

2+cos2xdx.

Pourn>1, la fonctionx7!cos2xn

2+cos2xdxest continue sur0;p2

et positive et donc,unexiste et est positif.

De plus, pourn>1,

06un6Rp=2

01n

2+0dx=p2n2.

La série de terme général

p2n2converge et donc la série de terme généralunconverge.

10.p2sin

p4 +1n =sin1n cos1n =n!+¥1+O1n puis p2sin p4 +1n lnn=n!+¥ln(n)+Olnnn =n!+¥ln(n)+o(1).

Par suite,

0 (p4 +1n )lnnn!+¥elnn=1n
La série de terme général
1n diverge et la série de terme généralundiverge.
11.nln1+1n
=n!+¥112n+o1n et donc u n=n!+¥ee112n+o(1n )=n!+¥e11+12n+o1n n!+¥e2n>0. 6
La série de terme général

e2ndiverge et la série de terme généralundiverge.Correction del"exer cice2 N1.Si Pn"estpasunitairededegré3,unnetendpasvers0etlasériedetermegénéralundivergegrossièrement.
SoitPun polynôme unitaire de degré 3. PosonsP=X3+aX2+bX+c. u n=n 1+2n 2 1=4 1+an +bn 2+cn 3 1=3! n!+¥n
1+12n2+O1n
3
1+a3n+b3n2a29n2+O1n
3 n!+¥a3 +12 b3 +a29 1n +O1n 2 • Sia6=0,unne tend pas vers 0 et la série de terme généralundiverge grossièrement. • Sia=0 et12 b3
6=0,unn!+¥
12 b3 1n .unest donc de signe constant pourngrand et est équivalent au terme général d"une série divergente. Donc la série de terme généralundiverge. • Sia=0 et12 b3 =0,un=n!+¥O1n
2. Dans ce cas, la série de terme généralunconverge (absolument).
En résumé, la série de terme généralunconverge si et seulement sia=0 etb=32 ou encore la série de terme généralunconverge si et seulement siPest de la formeX3+32
X+c,c2R.
2.
Pour n>2, posonsun=1n
aS(n). Pourn>2,
0 1p n612
å+¥p=21p
n=12 S(n) et donc8n>2,S(n)6S(2)2 n2. Par suite, u n61n aS(2)2 n2=n!+¥o1n 2. Pour tout réela, la série de terme généralunconverge.
3.8u02R,8n2N,un>0. Par suite,8n>2, 0
On en déduit que lim
n!+¥un=0 et par suiteunn!+¥1n >0. La série de terme généralundiverge. 4. On sait qu"il e xisteune infinité de nombres premiers. Notons(pn)n2Nla suite croissante des nombres premiers. La suite(pn)n2Nest une suite strictement croissante d"entiers et donc lim n!+¥pn= +¥ou encore limn!+¥1p n=0.
Par suite, 0<1p
nn!+¥ln 11p n 1 et les séries de termes généraux 1p net ln 11p n 1 sont de même nature. Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 11p n 1
Montrons que8N2N,å+¥n=1ln
11p n 1 >lnåNk=11k
Soitn>. Alors1p
n<1 et la série de terme général1p kn,k2N, est une série géométrique convergente de somme :
å+¥k=01p
kn= 11p n 1. 7
Soit alorsNun entier naturel supérieur ou égal à 2 etp1 inférieurs ou égaux àN.
Tout entier entre 1 etNs"écrit de manière uniquepb11:::pbkkoù8i2[[1;n]], 06bi6ai=Eln(N)ln(pi)
et deux entiers distincts ont des décompositions distinctes. Donc k=1ln 11p k 1! >nå k=1ln 11p k 1! (car8k2N; 11p k 1 >1)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Séries

I : Incontournable

1) (*)lnn2+n+1n

2) (*)1n+(1)npn

3) (**)n+32n+1

5) (**)arccos3q11n

26) (*)n2(n1)!7)

8) (**)ln2p

9) (*)

0cos2xn

2+cos2xdx10) (**)np2sin(p4

Nature de la série de terme général

1) (***)

4+2n23pP(n)oùPest un polynôme.2) (**)1n

3) (**)unoù8n2N,un=1n

4) (****)un=1p

åNn=1ln

åNn=1ln(1+pn+p2n+:::)).

5) (***)un=1n(c(n))aoùc(n)est le nombre de chiffres denen base 10.

6) (*)

8) (**)

Nature de la série de terme général

1) (***)sinpn2n+1

2) (**)(1)nn+(1)n13) (**)ln

1+(1)npn

4) (***)einan

5) (**)(1)nlnnn

7) (****)(sin(n!pe))ppentier naturel non nul.

1) (**)

å+¥n=0n+13

34n3) (***)å+¥n=01(3n)!

4) (*)

å+¥n=21pn1+1pn+12pn

5) (**)

å+¥n=2ln

1+(1)nn

6) (***)

å+¥n=0lncosa2

å+¥n=0th

2diverge.

2a,n>1.

Convergence et somme de cette série.

1) (**)un=2n33n2+1(n+3)!2) (***)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.

å+¥k=n+11k

2quandntend vers l"infini.

Partie principale quandntend vers+¥de

1) (***)

å+¥p=n+1(1)plnpp

2) (**)ånp=1pp.

ån2N

å+¥n=0(1)n3n+1.

ånk=0(1)k2k+1,n>0.

2ln1+1n

2=n!+¥

Comme la série de terme général

2,n>1, converge (série de RIEMANNd"exposanta>1), la série de

Pour n>2, on poseun=1n+(1)npn

Pour n>1, on poseun=n+32n+1

Doncun=eln(un)n!+¥eln2lnn=1n

1nlnn,n>2, diverge. La fonctionx!xlnxest continue,

1klnk>Rk+1

Par suite, pourn>2,

ånk=2R

Pour n>1, on poseun=arccos3q11n

2.unexiste pourn>1. De plusun!n!+¥0. On en déduit que

2(n1)!n!=(n+1)2n

3n!+¥1n

Pour n>1, on poseun=

112n+124n2+o1n

Puisnln

112n+o1n

La série de terme général112npe

2+1n!+¥2np<0:

Pour n>1, on poseun=Rp=2

0cos2xn

2+cos2xdx.

Pourn>1, la fonctionx7!cos2xn

2+cos2xdxest continue sur0;p2

De plus, pourn>1,

2) ()(1)nn+(1)n13) ()ln

1) ()un=2n33n2+1(n+3)!2) (*)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.