[PDF] Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique

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DépartementSTPI

2èmeannéeIC

IntroductionauxÉquationsauxDérivée sPart ielles

Étudethéori que

AudeRondepi erre&AdelineRouchon

Année2012- 2013

Tabledesmati ères

1Rappels.Équationsdi!érentiellesordina ires5

1.1Équati ondi!érentiellelinéairedupremier ordre.. ... ... ... ... .5

1.1.1Equationho mogène.............. .............5

1.1.2Solution générale............. ............ .. .6

1.1.3Recherch edesolutionparticulière. ...... ............6

1.1.4Exemples.. .................... ... ... ... .6

1.2Equatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordre.. ... ... ... .. ... 7

1.2.1Solution del'équationhomogène.... ...... ..........7

1.2.2Casparticu lierde sEDOhomogènesàcoe"cientsconstants. ....8

1.2.3Recherche d'unesolutionparticuli ère............. ....8

2.1E.D.P. detypetransport ...... ........... ...........11

2.1.1Définit ionetexemples............. ... .........11

2.1.2Transpor tlelongdescourbescaractéristi ques... ........ .13

2.1.3Problèmede sconditionsauxlimite s........ ..........15

2.2E.D.P. linéairesduseco ndordre................... .....1 7

2.2.1Définiti ons..................... ... ... ... ..17

2.2.2Élémentsdec lassification:E.D.P.el liptiq ues,hyperboliquesetpa-

raboliques....... ... ... ... ... ... .. ... ... ..1 8

3.1Séri esNumériques... ....................... ... ... 21

3.1.1Définiti ons..................... ... ... .. ... 21

3.1.2Nature d'unesérie....... .............. ......21

3.1.3Conditionn écessairedeconvergence. .................22

3.1.4Sériesn umériquesàtermesp ositifs................ ..22

3.1.5Sériesà termesréelsdesigneq uelcon que........ .......24

3.2Séri esdefonctions.... ...... .............. ... ... .24

3.3L'espace L

2 p (0,T 0 )................................2 6

3.3.1Définit ions..................... ... .. ... ... 26

3.3.2Convergenc eenmoyennequadratique........ ...... ...27

3.3.3Polynôm estrigonométriquesetmeilleu reapproximation.......27

3.3.4Meilleurea pproximation........... .............28

3

4TA BLEDESMATIÈRES

3.4Séries deFourier.... ...... .............. ... ... ..28

3.4.1Coe"cientsdeFourier ... ...... ... ... ... ... .. ..29

3.4.2Sériesd eFourieretpremier sexemples .............. ..30

3.5Conver gencedessériesdeFourier...... ......... ........32

3.5.1Convergence enmoyennequadratique......... ..... ...32

3.5.2ThéorèmedeD irichlet............ ...... .......33

3.5.3EgalitédeP arseval.......... ...... ...........34

4.1Préambu le:modéliserdesphénomèn esi mpulsionnels............35

4.1.1Convolutio ndedeuxfonctionsetpropriétésé lément aires...... 35

4.1.2Impulsion deDirac!

0 ..........................3 7

4.2Equati ondelachaleur........ ..... ...... ..........39

4.2.1Soluti onfondamentaledel'équationd elachaleur..........39

4.2.2Résolution del'équationdelach aleurparsép arationdesvariables.42

4.3Equatio nsdesondes............. ........ .........45

4.3.1Résolution del'équationdescordes vibrant esparséparationdesva-

riables.... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .46

4.3.2Séparati ondesvariablesdanslecas2D.. ...... ........48

4.4Général itéssurlaméthodedeséparat iondesvar iables. ..........49

4.4.1Pourdes conditionshom ogènesetsanst ermesource.........49

4.4.2Problèmesde Sturm-Liouvilleendimens ion1.. ..........50

4.4.3Lamétho dedesép arationdesvariablesenprésenced 'unterm esource53

4.4.4Méthodedesé parationdesvariab lesave cdesconditionsauxlimites

nonhomog ènes........... ... ... ... .. ... ... .54

5TransforméedeLaplaceetapplications55

5.1Défin itiondelatransforméedeLaplace. ...... ..... ........55

5.2Tran sforméedeLaplacedequelquesfonc tionsélémen taires....... ..56

5.3Condit ionsu"santed'existencedela transforméedeLaplace ... ... ..57

5.4Propri étésdelatransforméedeLapla ce.... ...... ..........59

5.5Transfor méedeLaplaceetconvolution. ...... ........... ..63

5.6Impu lsiondeDiracàdroite!

0 .........................6 4

5.7Fonct ion!....................................6 4

5.8Résolut iondeproblèmesgrâceàla transformée deLaplace.........65

5.8.1Leséquat ionsdi!érentiellesordinairesàco e"cientsconstants. ..66

5.8.2Originald 'unefractionrationnell e............. ......67

Chapitre1

Rappels

Équationsdi!érentiellesordinaires

1.1Équati ondi!érentiellelinéairedupremierordre

Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedupremier ordreestdu type : a(x)y (x)+b(x)y(x)=f(x)(1.1) oùles fonctions aetbsontdonnéesets'app ellentles coe"cientsdel'équationdi !érentielle etlafonction festdonnéeet s'appelle lesecondmem bre.

Unesolutio nde(1.1)estunefonctio nydeclasse C

1 surun intervalle Ivérifiant(1.1) pourtoutx!I.

1.1.1Equationhom ogène

Onapp elleéquationdi!érentiellehomogèneassociée à(1.1)l'équation : a(x)y (x)+b(x)y(x)=0.(1.2)

Equationàcoe"cientsconstan ts

Onsep lace danslecasoùaetbsontdesconstantes. Alorslasolution généraledel'équation homogène(1.2)est v(x)=Ce rx avecr=" b a etCestuneconstan tearbitraire.

Equationàcoe"cientsvaria bles

SoitIuninterv alleoùlesfonctionsaetbsontdéfiniesetcon tinueset telqu ea(x)#=0, v(x)=Ce u(x) 5

61. 1.Équationdi!érentiellelinéairedu premierordre

avecu (x)=" b(x) a(x) etCestuneconstan tearbitraire.

1.1.2Solutiongénér ale

Soitv 0 uneso lutionparticulièrede(1.1 );alorslessolutionsgénéra lesde (1.1)s'écrivent y(x)=v(x)+v 0 (x) oùvestlasolution généralede l'équationhomogène(1.2).

1.1.3Recherchedeso lutionparticulière

Oncomm encetoujoursparregard ers'iln'yapasdesolu tionévid ente,sinononpeut appliquerl'unedesméthodessu ivantes

Secondmembre delaforme:f(x)=e

!x P n (x) Pouruneéquationà coe"cientsconstants ,silesecondmembreestdelaformef(x)= e !x P n (x)oùP n estun polynômede degrén: 1 er cas:si "#=r=" b a alorsoncherc heu nesolutionsouslaformev 0 (x)=e !x Q n (x)oùQ n estun polynôme dedegré n. 2 eme cas:si "=r=" b a onch ercheunesolutionsouslafor mev 0 (x)=e !x xQ n (x)oùQ n estun polynômede degrén.

Méthodedevariat ion delaconstante

Siv(x)estune solutiondel'équation homogène,onc hercheune solutionparticulièresous laforme v 0 (x)=C(x)v(x)etC vérifiealors:C (x)= f(x) a(x)v(x)

1.1.4Exemples

Exemple1Résoudrey

(x)+2y(x)=2cosx.

Exemple2Résoudrexy

(x)+y(x)=xpourx!R Chapitre1.Rappels.Équa tionsd i!érentiellesordinaires7

1.2Equation di!érentiellelinéairedusecondordre

Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordreestdu type : a(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)=f(x)(1.3) oùa,betcsontdesfonctionsdonnées, appeléesco e"cientsdel'équationdi !érentielle etfestappelée seoncdmembredel'équation di!érentielle.Unesolutionde (1.3)est une fonctionydecla sseC 2 surun intervalle Ivérifiant(1.3)pourto utx!I. Lasolu tiongénéraledel'EDOde(1. 3)s'écrivent: y(x)=y h (x)+y 0 (x), oùy h estsolutionde l'équationhomogène associéeet y 0 unesolutionpa rticulièrede(1.3).

1.2.1Solutiondel 'équationhomogène

Soit: (E h )a(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)=0. ContrairementauxEDOlinéaireshomogène sdupremie rordre ,onn'apasd'expression explicitedessolutions lorsquelesco e"cientssontnoncons tants.Commenç onspardo nner lastru cturedessolutionsd'uneEDOli néaireho mogènedusecondordre: Proposition1SoitIuninterval leoùlesfonctionsa,betcsontdéfinieset continues ett elquea(x)#=0,pourtoutx!I.Lessolutionsdel'équationhomogène(E h )sontde laforme : y(x)="y 1 (x)+µy 2 (x), où"etµsontdesc onstantesar bitrairesety 1 ,y 2 deuxsolutions linéairement indépen- dantes.Autr ementdit,l'ensembledessolution sde(E h )estun espace vectorieldedimen- sion2.

Lasolutio ndel'équation(E

h )dépendainside deuxconstantesa rbitraires,so it2deg rés deliberté. Ilsu"tdoncdeconnaîtredeuxsolutionslinéairementindépendantesde(E h

pourlesconn aîtretout es.Enréalité,grâceàlaméthod ederéductiond'ordred écr iteci-

après,ilsu"tdeconnaîtreunesolutiondel'équation homogènep ourpouv oirenconstruire unedeuxième, linéairement indépendante,etainsileso btenirtoutes: Méthodederéductio nd'o rdre.C'estunevari antedelam éthodedelavariationdela constante.Leprincipe estlesuiv ant:

Étape1."Devi ner"un esolutiony

1 del'équa tion(E h ):regarderlaformedel'équation, essayerparexempledespolynômes :x,x 2 ,e x (sia(x)+b(x)+c(x)=0,y(x)=e x estsolution!), etc.

Étape2.Onche rcheun esolut iony

2 de(E h )sousla forme:y 2 (x)=C(x)y 1 (x)avecC fonctionnon constante.

81. 2.Equationdi!érentiellelinéairedu secondordre

Étape3.Lasolu tiongé néral ede(E

h )s'écritalo rs:y(x)="y 1 (x)+µy 2 (x)avec",µ!R (ouCsionc herche dessolutionscomplexes).

ExempleRésoudre:x

2 y +xy "4y=1.

1.2.2Casparticul ierdesEDOhomo gènesàcoe!cientsconstants

Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordreàco e"cientsconstantsest dutype: (E c )ay (x)+by (x)+cy(x)=0(1.4) oùles réelsa,betcsontdonnésdansR $R$R. Onapp elleéquationcaractéristi queassociéeà(E c ar 2 +br+c=0.(1.5)

Notons"=b

2 "4acsondiscriminan t. Si">0alorsl'équat ioncaractéristiqueadmetdeuxsolutio nsr 1 #=r 2 réelles.La solution généralede(E c )s'écrit: y(x)=C 1 e r 1 x +C 2 e r 2 x ,avec:C 1 ,C 2 !Rconstantesarbitraires. Si"<0alorsl'équat ioncaractéristiqueadmetdeuxsoluti onscomplexesconjuguéesr= #+i$et¯r=#"i$.Com meprécédemm entonadonc: y(x)=C 1 e rx +C 2 e

¯rx

,avecC 1 ,C 2 !C,solutionscomplexes oubi ensionveutles solut ions réellesde(E c y(x)=e "x Si"=0alorsl'équati oncaractéristiqueadmetuneuniq uesolutionr=" b 2a (racine double)etlessolutio nsde (E c )s'écrivent: y(x)=(A+Bx)e rx ,oùAetBsontdeuxconst antesarbitraires réelles.

1.2.3Recherched'unes olutionparticulière

Revenonsàl'EDOcomplète:

(E)a(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)=f(x) dontoncherche unesolutionparticulière. Oncommencetoujoursparreg arders'il n'ya pasdesolutio névidente, sinononpeutappliquerl'une desméthodessuivan tes. Chapitre1.Rappels.Équa tionsd i!érentiellesordinaires9

Casd'une EDOàcoe"cientsconsta nts

•Sileseco ndmem breestdelaforme f(x)=#cos(x)+$sin(x)alorsonpeutc herc her unesolutio nsouslaforme:y 0 (x)=c 1 cos(x)+c 2 sin(x). •Silesec ond membreestdelaformef(x)=e !x P n (x)avecP n polynômededegrén: 1 er cassia" 2 +b"+c#=0i.e."#=r 1 et"#=r 2 ,onchercheunesolutionsousla formey 0 (x)=e !x Q n (x)oùQ n estun polynômede degrén. 2 eme cassia" 2 +b"+c=0et2a"+b#=0i.e.si"=r 1 ou"=r 2 avecr 1 #=r 2 ,on chercheunesoluti onsouslaf ormey 0 (x)=e !x xQ n (x)oùQ n estun polynôme dedeg rén. 3 eme cassi"=r 1 =r 2 ,onchercheunesolutionsouslaformey 0 (x)=e !x x 2 Q n (x) oùQ n estun polynômede degrén. Casgénéral -Méthodedeva riationd esconstantesLeprincip eestlesuivan t:on h (x)=Ay 1 (x)+By 2 (x).On vach ercherunesolutionpartic ulièresou slaforme: y 0 (x)=A(x)y 1 (x)+B(x)yquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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