MODELES LINEAIRES
1.2.3 Relation entre variable quantitative et variables qualitatives . 1.2.4 Modélisation d'une variable quantitative en fonction de variables quantita-.
FONCTION EXPONENTIELLE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3. III. Propriété de la fonction exponentielle. 1) Relation fonctionnelle.
Relation
Une fonction f : E ? F associe a chaque élément de E au plus un élément de F. On peut alors définir la relation Rf définie par le graphe.
FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES
http ://math.univ-lyon1.fr/?frabetti/TMB/. FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES. 1. Définitions : Relation avec l'exponentiel : chx + shx = ex.
Opérateurs différentiels
Pour une fonction les invariants qui nous seront utiles sont le gradient (un vecteur) et le laplacien. (un scalaire). Pour un champ de vecteurs ce sont le
Fonctions : symétries et translations
27 févr. 2017 Il faut faire la différence entre la fonction f qui représente une relation et f(x) qui représente l'image de x par f qui est un nombre réel ...
Modélisation et simulation des systèmes de production: une
7 mai 2013 processus et les relations entre les processus en terme informatique. ... capacité en fonction du plan directeur de production.
Chapitre 4 : Régression linéaire
On cherche à exprimer la relation entre la variable tension et la variable âge à l'aide d'une fonction mathématique du type y = f(x).
GELE2511 - Chapitre 1
meilleure fonction mathématique `a utiliser pour représenter des signaux o `u on utilise la relation d'Euler pour changer d'une forme `a l'autre.
Chapitre V Fonctions arcsin arccos
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf
Relation
Université de Toulouse
Année 2020/2021
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Relations
Relations2 / 35
Définition
Relation binaire
Unerelation binaireRd"un ensemble de départEvers un ensemble d"arrivéeFest définie par une partieGREF. Si(x;y)2GR, on dit quexesten relation avecyet l"on notexRy.SiE=Fon dit queRest unerelation internesurE.Exemples :SoientA=fa;b;c;d;egl"ensemble des élèves etB=fMath;Info;Ang;Physg
l"ensemble des cours. On peut définir les relations suivantes :Rqui décrit si un étudiant suit un cours régulièrement :
GR=f(a;Math);(a;Phys);(b;Info);(c;Ang);(d;Ang);(e;Math);(e;Ang)gla relationSdécrit si un étudiant a acheté un cadeau à un autre étudiant définit par
GS=f(b;a);(a;a);(c;a);(a;d);(d;c)gRelations3 / 35
Mode de représentation
Diagramme cartésien et matrice de relationRMathPhysAngInfo aVV bV cV dV eVVSabcde aV bVV cVV dV eDiagramme sagittal
a b c d eMathPhysAngInfoa bcdeRelations4 / 35
Relation fonctionnelle
Une fonctionf:E!Fassocie a chaque élément deEau plus un élément deF. On peut alors définir la relationRfdéfinie par le graphe GRf=f(x;f(x)) :x2Eg EF:
Réciproquement, pour une relationRtelle que pour toutx2Eil y a au plus uny2FvérifiantxRyalors on peut lui associer une fonctionftelle quef(x) =ysi et seulement sixRy. On dit queRest unerelation fonctionnelle.Relations5 / 35Relation réflexive
Réflexivité
Une relationRestréflexivesi pour toutx2Eon axRx:Diagramme cartésien : la diagonale doit être notée.
Diagramme sagittal : chaque sommet admet une boucle. 123123
1VVV 2VV 3V Exemples :Quel que soit l"ensemble, la relation d"égalité=est réflexive. Sur?, la relation est réflexive, mais
Symétrie
Une relationRestsymétriquesi pour toutx;y2Eon axRysi et seulement siyRx:Diagramme cartésien : symétrie par rapport à la diagonale. Diagramme sagittal : quand une flèche va deaversb, il y a aussi une flèche debversa.123 1231VV 2V 3V Exemples :Quel que soit l"ensemble, la relation d"égalité=est symétrique. Sur?, la relation est n"est pas symétrique.
La relation
lsurAest symétrique.Relations7 / 35Relation transitive
Transitivité
Une relationResttransitivesi pour toutx;y;z2Etel quexRyetyRz alors nécessairement on axRz.Diagramme sagittal : tout chemin qui part d"un sommetset va à un sommets0en suivant la direction des flèches admet un raccourci, c"està dire un chemin de longueur un.1
2341234
1V 2VVVV 3 4V Exemples :Quel que soit l"ensemble, la relation d"égalité=est transitive. Sur?, la relation est transitive. La relation "est le père de" n"est pas transitive.Relations8 / 35
Relation antisymétrique
Antisymétie
Une relationRestantisymétriquesi pour toutx;y2EvérifiantxRyet yRxalors on ax=y:12341234
1V 2VV 3VV 4VVExemples :Sur?, la relationest antisymétrique.
La relation
lsurAn"est pas antisymétrique.Relations9 / 35Relations d"équivalence
RelationsRelations d"équivalence10 / 35
Définition et exemples
Définition
Une relation binaire définie sur un unique ensembleEest unerelationd"équivalencesi elle est réflexive, symétrique et transitive.Exemples :Par définition, pourx;y2?, on notexy[modn], lirexest congru àymodulo
n, si et seulement s"il existek2?tel quexy=kn. On a défini une relation d"équivalence sur?car on peut vérifier :Réflexivité :xx[modn]carxx=0:net 02?.Symétrie :sixy[modn]alors il existek2?tel quexy=k:n, on a donc
yx=k:netk2?d"oùyx[modn].Transitivité :sixy[modn]etyz[modn]alors il existek;k02?tels que xy=k:netyz=k0:n. Ainsixz=xy+yz= (k+k0):n. On en déduit que xz[modn]RelationsRelations d"équivalence11 / 35Définition et exemples
Définition
Une relation binaire définie sur un unique ensembleEest unerelation d"équivalencesi elle est réflexive, symétrique et transitive.Exemples :Sur n"importe quel ensemble la relation=est une relation d"équivalence..Sur l"ensemble des motA, la relationlest une relation d"équivalence.Sur l"ensemble des personnes, la relation "a le même âge que" est une relation
d"équivalence. Des personnes liées appartiennent à la même tranche d"âge.Sur l"ensemble des triangles, la relation "a les mêmes angles que" est une relation
d"équivalence. Des triangles liés par cette relation sont dits semblables.La relationRdéfinie sur?rf0gparxRysi et seulement sixy>0 est une relation
d"équivalence. Deux réels liés par cette relation ont le même signe.RelationsRelations d"équivalence12 / 35
Classes d"équivalence et partition
Classes d"équivalence
SoitRune relation d"équivalence sur un ensembleE. Laclasse d"équivalenced"un élémentx, notéCl(x), est l"ensemble des éléments deEqui sont en relation avecx. Autrement dit
Cl(x) =fy2E:xRyg:Proposition
Une classe d"équivalence n"est jamais vide.
L"intersection de deux classes d"équivalence distinctes est vide.RelationsRelations d"équivalence13 / 35
Classes d"équivalence et partition
Partition
SoitEun ensemble, la famille d"ensembles(Ai)i2Iindexée parIest unepartitionsi :l"union des(Ai)i2Iest égale àE, c"est à direE=[i2IAi,deux éléments de(Ai)i2Idistincts sont disjoints, c"est à dire que si
i6=jalorsAi\Aj=;.Théorème Etant donné une relation d"équivalence sur un ensemble, les classes d"équivalences forment une partition.RelationsRelations d"équivalence14 / 35
Ensemble quotient
Ensemble quotient
SoitEun ensemble munit d"une relation d"équivalenceR. L"ensemble quotient est l"ensemble des classes d"équivalence de tous les éléments deE.On le noteE=R.Théorème
Etant donné une relation d"équivalenceRsurE, la fonction suivante est surjective : f:E!E=R x7!Cl(x)RelationsRelations d"équivalence15 / 35Relations d"ordre
RelationsRelations d"ordre16 / 35
Définition
Définition
Une relation binairesur un ensembleEest unerelation d"ordresi elle est réflexive, transitive et antisymétrique. Autrement dit : réflexive :on a xxpour toutx2E. transitive :si xyetyzalorsxz. antisymétrique :si xyetyxalorsx=y.Un ordre esttotalsi pour tous élémentsx;y2Eon axyouyx. Unordre est ditpartielpour souligner qu"on n"a pas forcément cette propriété.RelationsRelations d"ordre17 / 35
Exemples d"ordres sur les nombres
etsont des relations d"ordre total sur?qui s"étendent à?,?ou?.
Ordres sur les mots
Il existe différentes notions pour ordonner l"ensemble des motsA:La relationuest préfixe dev, notéeuvperdvet définit par9w2 A
tel quev=u:w, est une relation d"ordre qui n"est pas totalSoitun ordre total surAon définit l"ordre lexicographiquesur
A ulexv()8 >:upréfixe dev ou bien9m2?tel queu1:::um=v1:::vmetum+1vm+1
C"est une relation d"ordre total surA. Par exemple : alexfa,poulelexpoulet,avionlextrain, livraisonlexlivre,footlexfort.RelationsRelations d"ordre20 / 35Mode de représentation
123123
1VVV 2VV 3V Pour simplifier la lecture du diagramme, on supprime les boucles dues à la réflexivité et les flèches déductibles par transitivité :123 L"idée est de représenter les sommets du diagramme et tracer seulement les flèches correspondant aux successeurs immédiats. On dit queyest un successeur immédiat dexsixy,x6=yet il n"existe pas deztel que xzy.RelationsRelations d"ordre21 / 35Fonctions croissantes et décroissantes
Definition
SoientAetBdeux ensembles munis respectivement des relations d"ordreAetBetf:A!Bune application. On dit quefestcroissantesixAyalorsf(x)Bf(y).festdécroissantesixAyalorsf(y)Bf(x).feststrictement croissantesixAyetx6=yalorsf(x)Bf(y)
etf(x)6=f(y).feststrictement décroissantesixAyetx6=yalors f(y)Bf(x)etf(x)6=f(y).Proposition Une application strictement croissante ou strictement décroissante dont l"espace de départ est muni d"un ordre total est injective.RelationsRelations d"ordre22 / 35
Elément minimal, borne inférieure
Soit(E;)un ensemble ordonné etAE.x2AestminimaldeAs"il n"admet pas d"élément plus petit dansA.x2EminorantdeAsi8y2Aon axyAadmet au plus un seul minorant dansA(par antisymétrique), c"est
le plus petit élémentdeA, s"il existe on le notemin(A).Le plus grand des minorants est laborne inférieure, on la note
inf(A). Autrement dit :8y2Aon ainf(A)yet8zminorant deAon azinf(A)RelationsRelations d"ordre23 / 35
Elément maximal, borne supérieure
Soit(E;)un ensemble ordonné etAE.x2AestmaximaldeAs"il n"admet pas d"élément plus grand dansA.x2EmajorantdeAsi8y2Aon ayxAadmet au plus un seul majorant dansA(par antisymétrique), c"est
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