[PDF] Calcul matriciel 1 Cours. 2. 1.1

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Université Joseph Fourier, Grenoble I

Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies1eannéeCalcul matriciel

Bernard Ycart

Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d"autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels de dimension finie. Vous y apprendrez les manipulations élémentaires de matrices, qui ne devraient pas vous poser de problème si vous avez bien compris la résolution des systèmes linéaires.

Table des matières

1 Cours 2

1.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Calcul de l"inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Entraînement 17

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Compléments 30

3.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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1gneCalcul matricielUJF Grenoble1 Cours

1.1 Opérations sur les matrices

Etant donnés deux entiersmetnstrictement positifs, unematrice àmlignes etn colonnesest un tableau rectangulaire de réelsA= (ai,j). L"indice de ligneiva de1à m, l"indice de colonnejva de1àn.

A= (ai,j) =(

(((((((a a a m,1···am,j···am,n) Les entiersmetnsont lesdimensionsde la matrice,ai,jest soncoefficient d"ordre (i,j). L"ensemble des matrices àmlignes etncolonnes et à coefficients réels est noté M m,n(R). Ce qui suit s"applique aussi, si on remplaceRparC, à l"ensemble des matrices

à coefficients complexes.

L"ensembleMm,n(R)est naturellement muni d"une addition interne (on peut ajou- ter deux matrices de mêmes dimensions terme à terme) et d"une multiplication externe (on peut multiplier une matrice par un réel terme à terme). •Addition :SiA= (ai,j)etB= (bi,j)sont deux matrices deMm,n(R), leur somme

A+Best la matrice(ai,j+bi,j). Par exemple :

(1 1 2 3 1-1) (-3 1 5-3 0 2) (-2 2 7 0 1 1) •Multiplication externe :SiA= (ai,j)est une matrice deMm,n(R), etλest un réel, le produitλAest la matrice(λai,j). Par exemple : -2( (1 1 2 3 1-1) (-2-2 -4-6 -2 2) Observons que les opérations auraient le même effet si les matrices étaient disposées comme desmn-uplets de réels (toutes les lignes étant concaténées par exemple). Donc M m,n(R), muni de son addition et de sa multiplication externe, est un espace vectoriel, isomorphe àRmn. Labase canoniquedeMm,n(R)est formée des matrices dont tous les coefficients sont nuls, sauf un qui vaut1. L"opération la plus importante est leproduit matriciel. 2

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleDéfinition 1.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoitA= (ai,j)une

matrice deMm,n(R)et soitB= (bj,k)une matrice deMn,p(R). On appelleproduit matricieldeAparBla matriceC? Mm,p(R)dont le terme généralci,kest défini, pour touti= 1,...,met pour toutk?1,...,ppar : c i,k=n j=1a i,jbj,k. Nous insistons sur le fait que le produitABde deux matrices n"est défini que si le nombre de colonnes deAet le nombre de lignes deBsont les mêmes. Observons d"abord que la définition 1 est cohérente avec la définition du produit d"une matrice par un vecteur, donnée au chapitre précédent : sip= 1, la matriceBanlignes et1 colonne, et le produitABamlignes et1colonne. D"autre part, appliquer la définition

1 revient à effectuer successivement le produit deApar chacune des colonnes deB.

Pour effectuer ce produit, nous conseillons d"adopter la même disposition que pour le produit par un vecteur, en plaçantBau-dessus et à droite deA. (((((((b

···bj,k···.........

b n,1···bn,k···bn,p) (((((((a

1,1··· ···a1,n.........

a a m,1··· ···am,n) (((((((c

1,1...c1,p...

··· ···ci,k

c m,1cm,p)

Posons par exemple :

A=( (1 1 2 3 1-1) )etB=?0 1-1-2 -3-2 0 1? La matriceAa 3 lignes et 2 colonnes, la matriceBa 2 lignes et 4 colonnes. Le produit ABa donc un sens : c"est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes. ?0 1-1-2 -3-2 0 1? (1 1 2 3 1-1) (-3-1-1-1 -9-4-2-1

3 3-1-3)

Le produit matriciel a toutes les propriétés que l"on attend d"un produit, sauf qu"il n"est pas commutatif. 3

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleProposition 1.Le produit matriciel possède les propriétés suivantes.

1.Associativité :Si les produitsABetBCsont définis, alors les produitsA(BC)

et(AB)Cle sont aussi et ils sont égaux.

A(BC) = (AB)C .

2.Linéarité à droite :SiBetCsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet

μsont deux réels et siAa autant de colonnes queBetCont de lignes, alors

A(λB+μC) =λAB+μAC .

3.Linéarité à gauche :SiAetBsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet

μsont deux réels et siCa autant de lignes queAetBont de colonnes, alors (λA+μB)C=λAC+μBC . Ces propriétés se démontrent à partir de la définition 1. La transposition est une notion importante, dont la justification provient de la dualité, qui dépasse le cadre de ce cours. Définition 2.Étant donnée une matriceA= (ai,j)deMm,n(R), satransposéeest la matrice deMn,m(R)dont le coefficient d"ordre(j,i)estai,j. Pour écrire la transposée d"une matrice, il suffit de transformer ses lignes en co- lonnes. Par exemple : A=( (1 1 2 3 1-1) ),tA=?1 2 1

1 3-1?

Observons que la transposée de la transposée est la matrice initiale. t (tA) =A . La transposée d"un produit est le produit des transposées, mais il faut inverser l"ordre des facteurs. Proposition 2.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoientA= (ai,j)une matrice deMm,n(R)etB= (bj,k)une matrice deMn,p(R). La transposée du produit deAparBest le produit de la transposée deBpar la transposée deA. t (AB) =tBtA . 4

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1gneCalcul matricielUJF GrenoblePar exemple, en reprenant les matricesAetBdéfinies ci-dessus :

?1 2 1

1 3-1?

(((0-3 1-2 -1 0 -2 1) (((-3-9 3 -1-4 3 -1-2-1 -1-1-3) Observons que le produit d"une matrice par sa transposée est toujours défini. A tA=( (2 5 0

5 13-1

0-1 2)

),tAA=?6 6 6 11? Le résultat est une matricecarrée(autant de lignes que de colonnes) etsymétrique. Définition 3.Soitnun entier strictement positif etAune matrice carrée ànlignes etncolonnes. On dit queAest symétrique si pour tousi,j= 1,...,n, ses coefficients

d"ordreai,jetaj,isont égaux, ce qui est équivalent à dire queAest égale à sa transposée.

Le produit d"une matrice par sa transposée est toujours une matrice symétrique.

En effet :

t(AtA) =t(tA)tA=AtA .

1.2 Matrices carrées

En général si le produitABest défini, le produitBAn"a aucune raison de l"être. Le produit d"une matrice par sa transposée est une exception, les matrices carrées en sont une autre : siAetBsont deux matrices ànlignes etncolonnes, les produitsAB etBAsont tous deux définis et ils ont les mêmes dimensions queAetB. En général ils ne sont pas égaux. Par exemple, ?0-1 1 0? 0 1

1 0? ?

1 0 0-1?? 0 1 1 0? 0-1

1 0? ?

-1 0 0 1? Nous noterons simplementMnl"ensembleMn,n(R)des matrices carrées ànlignes et ncolonnes, à coefficients réels. Parmi elles lamatrice identité, notéeInjoue un rôle particulier. I n=( ((((((((1 0··· ···0 0 1 ...........................1 0

0··· ···0 1)

5

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleEn effet, elle est l"élément neutre du produit matriciel : pour toute matriceA?

M n,m(R), AI n=ImA=A . On le vérifie facilement à partir de la définition 1. Définition 4.SoitAune matrice deMn. On dit queAest inversible s"il existe une matrice deMn, notéeA-1, telle que AA -1=A-1A=In.

Par exemple :

(1 0-1 1-1 0

1-1 1)

(1-1 1 1-2 1

0-1 1)

(1-1 1 1-2 1

0-1 1)

(1 0-1 1-1 0

1-1 1)

(1 0 0 0 1 0

0 0 1)

Nous verrons plus loin une méthode qui permet de savoir si une matrice est inversible, et de calculer son inverse quand elle l"est. Observons que l"inverse, s"il existe, est néces- sairement unique. En effet, soientB1etB2deux matrices telles queAB1=B1A=In etAB2=B2A=In. En utilisant l"associativité, le produitB1AB2vautB1(AB2) = B

1In=B1, mais aussi(B1A)B2=InB2=B2. DoncB1=B2.

Il suffit de trouver une matriceBtelle queAB=Inpour être sûr queAest inversible et que son inverse estB. Théorème 1.SoitAune matrice deMn. Supposons qu"il existe une matriceBtelle queAB=Inou bienB A=In. AlorsAest inversible etB=A-1. Démonstration: Supposons qu"il existe une matriceBtelle queAB=In. Consi- dérons l"application, deMndans lui-même, qui à une matriceXassocie le produit X A. D"après le point3de la proposition 1, c"est une application linéaire, donc un endomorphisme de l"espace vectorielMn. Montrons qu"elle est injective, c"est-à-dire que son noyau ne contient que la matrice nulle. SiX A= 0, alors(X A)B= 0, mais (X A)B=X(AB) =X In=Xpar hypothèse : doncX= 0. Une application linéaire entre deux espaces de même dimension qui est injective est aussi surjective. Donc il existe une matriceXtelle queX A=In. Il reste à vérifier que cette matrice estB. Si X A=AB=In, alorsX(AB) =Xet(X A)B=B. D"où le résultat. On procède de façon symétrique siB A=In, en considérant l"application qui àX associeAX. SiAetBsont deux matrices inversibles deMn, leur produit est inversible. Proposition 3.SoientAetBdeux matrices inversibles deMn. Le produitABest inversible et son inverse estB-1A-1. Démonstration: Nous utilisons le théorème 1, ainsi que l"associativité du produit : (B-1A-1)(AB) =B-1(A-1A)B=B-1InB=B-1B=In. 6

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1gneCalcul matricielUJF Grenoble1.3 Matrices et applications linéaires

SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie, munis respectivement des bases(b1,...,bn)et(c1,...,cm). Une application linéairefest déterminée par les images des vecteursb1,...,bn. Ces images sont des combinaisons linéairesc1,...,cm: pour toutj= 1,...,n, f(bj) =m i=1a i,jci. Les coordonnéesai,jde ces vecteurs dans la base(c1,...,cm), rangés enncolonnes, forment la matrice de l"applicationf, relative aux bases considérées.

1,1···a1,j···a1,nc

1..........

a i,1···ai,j···ai,nc iarrivée.......... a m,1···am,j···am,nc m Les opérations sur les applications linéaires se traduisent en des opérations analogues sur les matrices. Soientf,gdeux applications linéaires deEdansFetλ,μdeux réels. Si les matrices defetg(relatives aux mêmes bases au départ et à l"arrivée) sontA etB, alors la matrice deλf+μgestλA+μB. La composée de deux applications linéaires est encore une application linéaire. Sa matrice est le produit des matrices de fetg. Proposition 4.SoientE,F,Gtrois espaces vectoriels,fune application linéaire de

EdansFetgune application linéaire deFdansG.

f g

E-→F-→G

u?-→f(u)?-→g◦f(u) =g(f(u)). Soient(b1,...,bn)une base deE,(c1,...,cm)une base deFet(d1,...,dp)une base deG. SoitAla matrice defrelative aux bases(b1,...,bn)et(c1,...,cm). SoitBla matrice degrelative aux bases(c1,...,cm)et(d1,...,dp). Alors la matrice deg◦frelative aux bases(b1,...,bn)et(d1,...,dp)est le produitBA. Remarquez que l"ordre dans lequel s"effectue le produit est l"ordre dans lequel s"écrit la composition. matrice deg◦f= (matrice deg)(matrice def). 7

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleDémonstration: L"image parg◦fdes vecteursb1,...,bnse calcule en prenant l"image

pargdes vecteursf(b1),...,f(bn). On calcule les coordonnées de ces images dans la base(d1,...,dp)en effectuant le produit par la matrice deg, des vecteurs exprimant f(b1),...,f(bn)dans la base(c1,...,cm), qui sont les vecteurs colonnes deA. Effectuer successivement le produit deBpar chacun des vecteurs colonnes deArevient à calculer le produit deBparA. Pour les endomorphismes (les espaces de départ et d"arrivée sont les mêmes), nous conviendrons toujours de choisir la même base au départ et à l"arrivée. Proposition 5.SoitEun espace vectoriel, muni de la base(b1,...,bn), etfune application linéaire deEdans lui-même. L"applicationfest un automorphisme si et seulement si la matrice defdans la base(b1,...,bn)est inversible. Si c"est le cas, la matrice def-1est l"inverse de la matrice def. Démonstration: Observons d"abord que la matrice de l"application identique est la ma- trice identité, quelle que soit la base. Si l"applicationfest bijective, alors sa réciproque f -1est l"unique application dont la composée avecfest l"application identique. f -1◦f=f◦f-1=IE. SiAest la matrice defetBla matrice def-1, la proposition 4 entraîne queAB=

B A=In.

Réciproquement siAest inversible, alorsA-1définit une application linéaire unique deEdansE. La composée de cette application avecfa pour matriceIn: c"est l"ap- plication identique. Donc cette application est la réciproque def. Un automorphisme deEest une application linéaire qui envoie une base deE sur une autre base. Effectuer un changement de base (remplacer une base par une autre) revient à prendre l"image par l"automorphisme qui envoie la nouvelle base sur l"ancienne, donc le produit par la matrice de cet automorphisme. Proposition 6.SoitEun espace vectoriel. Soient(b1,...,bn)et(c1,...,cn)deux bases deE. NotonsPla matrice dans la base(b1,...,bn)de l"application qui àbiassocie c i(nouveaux vecteurs en fonction des anciens). Soientx1,...,xnles coordonnées de vdans la base(b1,...,bn)(anciennes) ety1,...,ynles coordonnées devdans la base (c1,...,cn)(nouvelles). Alors le vecteur(yj)j=1,...,nest le produit de la matriceP-1par le vecteur(xi)i=1,...,n. ((y 1... y n) ))=P-1( ((x 1... x n) 8

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleDémonstration: Notonsφl"automorphisme deEqui àbiassocieci, pour touti=

1,...,n. Ecrivons :

v=y1c1+···+yncn =y1φ(b1) +···+ynφ(bn). Par définition, les coordonnées deφ(bj)dans la basebiforment laj-ième colonne de la matriceP= (pi,j). Donc : v=n? j=1y j? n? i=1p i,jbi? n i=1( (n? j=1p i,jyj) bi Comme les coordonnées dans la base(b1,...,bn)sont uniques, on en déduit, pour tout i= 1,...,n: x i=n j=1p i,jyj, donc(xi) =P(yj), d"où le résultat en multipliant à gauche parP-1. La matricePs"appelle lamatrice de passage. Dans un changement de base, nous conviendrons toujours de noterPla matrice qui donne les nouveaux vecteurs en fonc- tion des anciens. Voici un exemple. MunissonsE=R3, des deux bases suivantes. (b1,b2,b3) = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))et(c1,c2,c3) = ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)).

Voici la matrice de passagePet son inverse.

P=( (1 1 1 0 1 1

0 0 1)

), P-1=( (1-1 0 0 1-1

0 0 1)

Si un vecteurva pour coordonnéesx,y,zdans la base canonique(b1,b2,b3), alors ses coordonnées dans la base(c1,c2,c3)s"obtiennent en effectuant le produit : (1-1 0 0 1-1

0 0 1)

(x y z) (x-y y-z z)

Constatez que :

(x-y)(1,0,0) + (y-z)(1,1,0) +z(1,1,1) = (x,y,z). On peut appliquer ce qui précède pour trouver la matrice d"un endomorphisme quel- conque dans la nouvelle base : c"est laformule de changement de base. 9

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleThéorème 2.SoitEun espace vectoriel, soient(b1,...,bn)et(c1,...,cn)deux bases

deE. Soitfun endomorphisme deE, etAsa matrice dans la base(b1,...,bn). Soit Pla matrice de l"application linéaire qui àbiassocieci, pour touti= 1,...,n.

La matrice defdans la base(c1,...,cn)estP-1AP.

Démonstration: Notonsφl"application qui àbiassocieci. La matrice defdans la base (c1,...,cn)a pour vecteurs colonnes les images des vecteursc1,...,cn. Pour calculer f(ci), on peut calculerf(φ(bi)) =f◦φ(bi). Donc les coordonnées des vecteursf(ci) dans la base(b1,...,bn)sont les colonnes de la matrice def◦φ, qui estAP. D"après la proposition 6, pour obtenir les coordonnées de ces vecteurs dans la base(c1,...,cn), il faut multiplier à gauche par la matriceP-1, d"où le résultat. Reprenons l"exemple en dimension 3 des deux bases : (b1,b2,b3) = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))et(c1,c2,c3) = ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)). Considérons l"application deR3dansR3définie par : f: (x,y,z)?-→(x-z,2x-3y+z,y-2z).

Sa matrice dans la base canonique(b1,b2,b3)est :

A=( (1 0-1 2-3 1

0 1-2)

La matrice defdans la base(c1,c2,c3)est :

P -1AP=( (-1 2 0 2-2 1

0 1-1)

L"image parfdu vecteurc2= (1,1,0)est le vecteur(1,-1,1) = 2c1-2c2+c3. Les coordonnées2,-2,1figurent dans la seconde colonne deP-1AP. Définition 5.Deux matricesAetBdeMnsont dites semblables si et seulement si il existe une matrice inversibleP? Mntelle que :

B=P-1AP .

Le théorème 2 affirme que deux matrices sont semblables si et seulement si elles

représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. Il se généralise à des

applications linéaires quelconques, comme suit. 10

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleThéorème 3.SoitEun espace vectoriel, soient(b1,...,bn)et(b?1,...,b?n)deux bases

deE. SoitFun autre espace vectoriel, soient(c1,...,cm)et(c?1,...,c?m)deux bases de F. Soitfune application linéaire deEdansF, etA? Mm,nsa matrice relative aux bases(b1,...,bn)et(c1,...,cm). SoitP? Mnla matrice de l"application linéaire qui àbiassocieb?i, pour touti= 1,...,n. SoitQ? Mmla matrice de l"application linéaire qui àciassociec?i, pour touti= 1,...,n. La matrice defrelative aux bases(b?1,...,b?n)et(c?1,...,c?n)estQ-1AP. La démonstration est pratiquement la même que celle du théorème 2, avec des notations plus lourdes. Nous l"omettons. Définition 6.Deux matricesAetBdeMm,n(R)sont diteséquivalentessi et seule- ment si il existe deux matrices inversiblesP? MnetQ? Mmtelles que :

B=Q-1AP .

Le théorème 3 affirme que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la même application linéaire, à un changement de base près dans les espaces de départ et d"arrivée.

1.4 Rang d"une matrice

Nous avons déjà défini la notion de rang pour une famille de vecteurs et pour une application linéaire :

1. le rang d"une famille de vecteurs est la dimension du sous espace vectoriel qu"elle

engendre,

2. le rang d"une application linéaire est la dimension de son image.

SoientEetFdeux espaces vectoriels, etfune application linéaire deEdansF. Si (b1,...,bn)est une base deE, l"image defest le sous-espace vectoriel deFengendré par(f(b1),...,f(bn)). Donc le rang defest aussi le rang de la famille(f(b1),...,f(bn)) et ce, quelle que soit la base(b1,...,bn). Ce rang ne dépend pas non plus de la basequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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