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Calcul matriciel

PTSI B Lycée Eiffel

28 février 2013

Le possible est une matrice formidable.

Victor Hugo

Unfortunately, no one can be told what the Matrix is.

You have to see it for yourself.

Tagline du filmMatrix(traduction en exercice).

Introduction

Avant de rentrer dans le vif du sujet en algèbre linéaire (les fameux espaces vectoriels), un chapître

plus orienté calcul sur un outil qui sera fondamental dans la suite du cours : les matrices. Il s"agit

ici simplement d"apprendre à calculer avec les matrices, mais aussi de voir le lien entre ces nouveaux

objets et quelques autres notions que vous maîtrisez déjà : les systèmes d"équations linéaires, pour

lesquelles nous verrons une méthode de résolution systématique, et les déterminants que nous avons

utilisés en géometrie en début d"année.

Objectifs du chapitre :

maîtriser le calcul matriciel, calculs de puissances ou de déterminants notamment. comprendre le fonctionnement de l"algorithme du pivot de Gauss, et savoir l"appliquer effica- cement dans le vadre de l"inversion de matrices comme dans celui de la résolution de systèmes.

1 Un exemple amusant

Pour introduire le concept de matrice, intéressons-nous au problème tout à fait concret suivant :

dans un jeu video débile (qui a dit pléonasme?), on peut composer des armées consituées de trois

types de créatures, trolls, orcs et gobelins. Un élève de PTSI ayant trop de temps à perdre contitue

lors d"une même soirée les trois armées suivantes :TrollsOrcsGobelins

Armée1358

Armée26212

Armée35515

1

Les bêbêtes en question étant assez gourmandes, il faudra les nourrir quotidiennement d"une certaine

quantité de poulet, de bananes, et de lasagnes surgelées (garantis100%viande de cheval). La quantité

de nourriture ingurgitée par chaque type de créature est donnée, en kilos par jour, dans le tableau

suivant :PouletBananesLasagnes

Troll1038

Orc8410

Gobelin262

La question est fort simple : quelle quantité de chaque aliment le larbin chargé de faire les courses

doit-il se procurer pour nourrir chacune des armées? La réponse est la suivante :PouletBananesLasagnes

Armée1867790

Armée21009892

Armée3120125120

Le remplissage du dernier tableau découle d"un calcul assez simple. Pour trouver par exemple la

valeur86de la première case, on a multiplié deux à deux les éléments de la première ligne du

premier tableau par ceux de la première colonne du deuxième tableau, et additionné le tout :3

10 + 58 + 82 = 86. De même pour les autres éléments, on effectue à chaque fois le " produit »

d"une ligne du premier tableau par une colonne du deuxième tableau. eh bien, ce qu"on vient de faire,

c"est exactement un produit de matrices. Cette opération en apparence peu naturelle quand on la

présente de façon formelle (ce qu"on ne va pas tarder à faire) est donc en réalité très concrète. elle

interviendra systématiquement dès qu"on possède trois lots de données, deux tableaux exprimant la

première donnée en fonction de la deuxième et la deuxième en fonction de la troisième, et qu"on

cherche à exprimer directement la première donnée en fonction de la troisième.

2 Structure et opérations

2.1 Somme et produits

Définition 1.Unematriceànlignes etpcolonnes à coefficients dansK(comme dans le cas des polynômes,Kdésignera pour nous soitRsoitC;netpsont deux entiers naturels non nuls) est un tableau rectangulaire (ànlignes etpcolonnes) contenantnpéléments deK. On note un tel objet

M= (mij)16i6n

16j6pou de façon plus complète

M=0 B BBB@m

11m12::: m1n

m

21...m2n.........

m n1::: ::: mnn1 C CCCA Autrement dit,mijest le terme de la matriceMse trouvant à l"intersection de laième ligne et de lajème colonne. Définition 2.L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest noté M n;p(K). Dans le cas oùn=p, on dit que la matrice estcarréeet on note plus simplement l"ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnesMn(K). 2 Remarque1.Dans le cas oùn= 1, la matrice se réduit à une ligne, et on parle effectivement de matrice-ligne. De même, lorsquep= 1, on parlera de matrice-colonne. La notation est alors

extrêmement similaire à celle utilisée pour désigner un élément deKnpar ses coordonnées dans une

base, et on identifiera de fait souventKnàMn;1(K). Définition 3.SoientAetBdeux matrices dansMn;p(K), lasommedeAet deBest la matrice

A+B=C, oùci;j=ai;j+bi;j.

Exemple:A=0

@2 31 0 6 3 4 121 A ;B=0 @3 0 0 52 7
4111
A ;A+B=0 @1 31

5 4 10

0 031 A Proposition 1.(Mn;p(K);+)est un groupe commutatif. Définition 4.Lamatrice nulle0n;p(ou plus simplement0si les dimensions de la matrice sont

claires dans le contexte) est la matrice ànlignes etpcolonnes dont tous les coefficients sont nuls.

L"opposéd"une matriceApour l"opération de somme sera notéA, il s"agit de la matrice obtenue en prenant les opposés de tous les termes de la matriceA. Démonstration.Il faut bien faire attention que chaque ensembleMn;p(K)constitue un groupe, sé-

parément les uns des autres. D"ailleurs, la matrice nulle qui contitue l"élément neutre est différente si

on modifie les dimensions des matrices considérées. Toutes les propriétés sont en tout cas évidentes,

elles découlent immédiatement des propriétés de la somme de réels, puisque la somme se fait terme

à terme.Définition 5.Leproduit d"une matriceApar un réelest la matrice, notéeA, obtenue à

partir deAen multipliant chacun de ses coefficients par.

Proposition 2.Le produit par un réel est distributif par rapport à l"addition de matrices : ((A+

B) =A+B). On a également les propriétés suivantes :8A2 Mn(K);1:A=Aet8(;)2 K

2; (A) = ()A.

Remarque2.Ces propriétés du produit " extérieur » (par opposition au produit intérieur, le produit

par un réel n"est pas une lci), cumulées au statut de groupe commutatif, font deMn;p(K)unespace

vectorielsur le corpsK. Définition 6.SoitA2 Mn;p(K)etB2 Mp;q(K), alors leproduitdes deux matricesAetBest la matriceAB=C2 Mn;q(K)où8i2 f1;:::;ng,8j2 f1;:::;qg,cij=pX k=1a ikbkj.

Remarque3.Cette définition correspond exactement à ce qu"on a vu dans notre exemple introductif :

on multiplie terme à terme lai-ème ligne deApar laj-ème colonne deBet on somme le tout. Il faut

faire très attention à ce que les tailles des matrices soient compatibles pour que le produit existe.

Définition 7.Lamatrice identitédansMn(K)est la matriceIn=0 B

BBBBB@1 0::: :::0

0 1 0:::0

.........0

0::: :::0 11

C

CCCCCA.

Proposition 3.Propriétés élémentaires du produit de matrices : Le produit de matrices est associatif :(AB)C=A(BC). Le produit de matrices est distributif par rapport à l"addition :A(B+C) =AB+AC; (A+B)C=AC+BC. La matrice identité est un élément neutre pour le produit :8A2 Mn;p(K),InA=AIp=A. 3

Le produit d"une matrice par une matrice nulle (de taille compatible), à gauche comme à droite,

est toujours nul.

Démonstration.

Pour prouver l"associativité, il faut juste un peu de courage : considéronsAetBayant les dimensions indiquées dans la définition du produit, etC2 Mq;r(K), qu"on peut donc mul- tiplier à droite parB. Si on noteD= (AB)C, on peut alors écriredij=qX k=1(AB)ikCkj= q X k=1(pX l=1a ilblk)ckj. On peut écrire ceci plus simplement sous la formeqX k=1p X l=1a ilblkckj. De même, en notantE=A(BC), on auraEij=pX k=1a ik(BC)kj=pX k=1a ik(Xl= 1qbklclj) = p X k=1p X l=1a ikbklclj. Les deux formules sont bien les mêmes puisque les indices dans une somme double sont muets. C"est un calcul assez élémentaire sur les sommes :pX k=1a ik(bkj+ckj) =pX k=1a ikbkj+pX k=1a ikckj.

L"autre calcul est essentiellement identique.

Pour cette propriété, on notera justeIet pasInpar souci de lisibilité. Soitmijle terme d"indice

i;jde la matrice produitIA. On a par définitionmij=nX k=1I ikAkj. Mais le seul terme non nul parmi lesIikestIii, qui vaut1. On a donc bienmij=Aij. Pour le produit à droite parIp, la démonstration est essentiellement la même.

Laissée en exercice!Remarque4.L"ensemble(Mn(K);+;)est donc un anneau (non commutatif). Attention aux pièges

suivants quand on manipule le produit matriciel : Le produit de matrices n"est pas commutatif. En fait, l"existence du produitABn"implique même pas celle deBA, mais même dans le cas des matrices carrées, par exemple, on a en généralAB6=BA. Dans le cas contraire, on dit queAetBcommutent. Parler de division de matrice n"a en général aucun sens.

L"anneauMn(K)n"est pas intègre. Plus généralement, même si les matrices ne sont pas carrées,

AB=ACn"implique en général pasB=C.

On peut écrire les systèmes d"équations linéaires à l"aide de produits de matrices, mais on

reviendra là-dessus un peu plus tard.

Exemple 1:A=3 41

2 0 5 ;B=0 @2 6 11 2 31 A ;AB=4 11 6 27

Exemple 2:A=42

2 1 ;B=13 26
;AB= 0

2.2 Transposition

Définition 8.Latransposéed"une matriceA2 Mn;p(K)est la matriceM2 Mp;n(K), oùmij= a ji. On la notetA. Autrement dit, les lignes deAsont les colonnes detAet vice-versa. Proposition 4.La transposition vérifie les propriétés suivantes :8A;B2 Mn;p(K), t(tA) =A t(A+B) =tA+tB t(A) =tA 4 8C2 Mp;m(R),t(AC) =tCtA.

Démonstration.Les trois premières propriétés ne posent aucun problème, mais la dernière est net-

tement plus complexe. Écrivons ce que vaut le terme d"indiceijà gauche et à droite de l"éga-

lité. Pour t(AC), il est égal au terme d"indicejideAC, c"est-à-dire àpX k=1a jkcki. À droite, on a p X k=1( tC)ik(tA)kj=pX k=1c kiajk. Les deux quantités sont bien égales.Exemple:A=0 @4 32 0 5 1

1 1 81

A ;tA=0 @4 01 3 5 1

2 1 81

A Définition 9.Une matriceA2 Mn(R)estsymétriquesitA=A, c"est-à-dire si8i;j2 f1;:::;ng2, a ij=aji. Elle est antisymétrique sitA=A.

2.3 Matrices carrées

Remarque5.Puisque l"ensembleMn(K)est un anneau, on peut définir des puissances de matrices

carrées vérifiant les propriétés usuelles de calcul des puissances entières. Attention tout de même aux

pièges découlant de la non-commutativité du produit matriciel, pas exemple, on ne peut pas dire en

général que(AB)2=A2B2, et les identités remarquables du genre(A+B)2=A2+2AB+B2sont fausses.

Définition 10.Une matrice carrée estdiagonalesi seuls ses coefficientsaiisont (éventuellement)

non nuls (on les appelle d"ailleurs coefficients diagonaux deA), ou encoreA=0 B BBB@a

110:::0

0a22......

.........0

0:::0ann1

C CCCA.

Une matrice carrée esttriangulaire supérieuresi seuls les termes "au-dessus» de sa diagonale sont

non nuls, c"est-à-dire8i;j2 f1;:::;ng; i > j)aij= 0, ou encore siA=0 B BBB@a

11a12::: a1n

0a22......

0:::0ann1

C CCCA. On définit de même des matrices triangulaires inférieures. Proposition 5.Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. Le produit de

deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure (et de même pour les

matrices triangulaires inférieures). Démonstration.Pour les matrices diagonales, prenons deux matrices diagonales (de taillen)Aet

B. Le terme d"indiceijdeABvautnX

k=1a ikbkj. Parmi tous les termes intervenant dans cette somme, seul un des termes de gauche est non nul, quandk=i, et seul un des termes de droite est non nul, quandk=j. Sii6=j, on n"a donc que des produits nuls, ce qui prouve bien que les seuls termes qui peuvent être non nuls pourABsont les termes diagonaux.

C"est un peu le même principe pour les matrices triangulaires supérieures. Prenons deux telles ma-

tricesAetBet supposonsi > j. Le terme d"indiceijdeABvautnX k=1a ikbkj=i1X k=10bkj+nX k=ia ik0 =

0. La matriceABest donc triangulaire supérieure.5

Remarque6.La transposée d"une matrice triangulaire supérieure est triangulaire inférieure (et vice

versa).

Exemple:A=0

@2 31 0 6 3 0 021 A ;B=0 @15 2 0 33

0 0 11

A ;AB=0 @216

0 1815

0 021 A . Remarquez au passage que les termes diagonaux deABsont obtenus comme le produit de ceux deApar ceux deB.

Remarque7.On déduit aisément des remarques précédentes que les puissances d"une matrice dia-

gonale sont simplement obtenues en prenant les puissances correspondantes de ses coefficients dia- gonaux. Définition 11.Une matrice carréeAest ditenilpotentes"il existe un entierntel queAn= 0.

Remarque8.Si une matrice carrée d"ordrenest nilpotente, elle vérifie nécessairementAn= 0(pour

l"entierncorrespondant à l"ordre de la matrice). Théorème 1.(formule du binôme de Newton) SiAetBsont deux matrices qui commutent dans M n(K),(A+B)k=kX i=0 k i A iBki.

Démonstration.La démonstration a déjà été faite dans le cadre d"un anneau quelconque.Exemple:A=0

@1 2 3 0 1 2

0 0 11

A . On remarque queA=I+B, oùB=0 @0 2 3 0 0 2

0 0 11

A vérifieB2= 0 @0 0 4 0 0 0

0 0 01

A , puisBk= 0à partir dek= 3(autrement dit, la matriceBest nilpotente). Les matriceIetBcommutent certainement, on peut donc appliquer la formule du binôme :Ak= (I3+B)k=kX i=0 k i I iBki=Ik+kIk1B+k(k1)2

Ik2B2=I3+kB+k(k1)2

B2= 0 @1 2k3k+ 2k(k1)

0 1 2k

0 0 11

A =0 @1 2k k(2k+ 1)

0 1 2k

0 0 11

A

Exemple: Il est également fréquent de calculer les puissances successives d"une matrice par ré-

currence. Posons par exempleA=0 @22 1 23 2

1 2 01

A . On calculeA2=0 @1 42 4 94 24 31
A , et on constate queA2=2A+ 3I. Il existe alors deux méthodes pour terminer les calculs. Première méthode :Prouvons par récurrence que8k2N,9(uk;vk)2R2,Ak=ukA+vkI. C"est vrai pourk= 2comme on vient de le voir, mais aussi pourk= 1puisqueA= 1A+0I(on pose donc u

1= 1etv1= 0) et pourk= 0puisqueA0= 0A+1I(doncu0= 0etv0= 1). Supposons le résultat

vrai au rangk, on a alorsAk+1=AAk=A(ukA+vkI) =ukA2+vkA=uk(2A+ 3I) +vkA= (vk2uk)A+ 3ukI. En posantuk+1=2uk+vketvk+1= 3uk, on a bien la forme demandée au rangn+ 1, d"où l"existence des coefficientsuketvk. Nous avons de plus obtenu des relations de récurrence qui permettent de faire le calcul suivant : u k+2=2uk+1+vk+1=2uk+1+ 3uk. La suite(uk)est donc récurrente linéaire d"ordre2. Son équation caractéristique estx2+ 2x3 = 0, elle a pour discriminant = 4 + 12 = 16, et admet donc deux racinesr=242 =3, ets=2 + 42 = 1. On en déduit queuk=(3)k+, avec u

0=+= 0etv0=3+= 1, dont on tire=14

en faisant la différence des deux équations, puis=14 . On a doncuk=14 (1(3)k)etvk=34 (1(3)k1). 6

On peut alors écrire explicitement les coefficients de la matriceAk(ce qui n"a pas grand intérêt en

soi...). Deuxième méthode :Une fois obtenue la relationA2=2A+3I, on peut poserP=X2+2X3

et travailler avec des polynômes. Le polynômePse factorise sous la forme(X1)(X+3)(il possède

une racine évidente), cherchons à déterminer le reste de la division euclidienne deXkparP. On sait

queXk=PQ+R, oùRest un polynôme de degré1, autrement dit de la formeakX+bk. Évaluons

l"égalité précédente pour chacune des deux racines du polynômeP, ce qui permet de se débarasser du

termePQ:1k=P(1)Q(1)+ak+bk, soitak+bk= 1; de même,(3)k=3ak+bk. En soustrayant les deux équations trouvées, on trouveak=1(3)k4 , puis on en déduit quebk= 1ak=3 + (3)k4 CommeXk=P(X)Q(X) +akX+bk, on peut appliquer cette égalité à la matriceA(rien ne l"interdit) qui annule le polynômePpour retrouverAk=akA+bk, avec les mêmes coefficients que par la première méthode. Définition 12.Latraced"une matrice carréeA2 Mn(K)est le nombreTr(A) =nX i=1a ii. Proposition 6.La trace est une application linéaire :Tr(A+B) =A+B. La trace vérifie la formuleTr(AB) = Tr(BA)(quandAetBsont de même taille).

Démonstration.La première propriété est complètement évidente. La deuxième l"est un peu moins.

Calculons doncTr(AB) =nX

i=1(AB)iin X i=1n X j=1a ijbji. De même,Tr(BA) =nX i=1n X j=1b ijaij. Quitte à

échanger le rôle des deux variables muettesietj, c"est bien la même chose.3 Inversion et systèmes

3.1 Inversion de matrices

Définition 13.Une matrice carréeA2 Mn(K)estinversibles"il existe une matriceB2 Mn(K) telle queAB=BA=In. La matriceBest alors notéeA1et on l"appellematrice inversede la matriceM. On note par ailleursGLn(Kl"ensemble des matrices inversibles d"ordren. Remarque9.La notion n"a pas bien sûr de sens dans le cas de matrices qui ne sont pas carrées.

Remarque10.L"inverse d"une matrice, quand il existe, est unique. C"est une conséquence de l"étude

générale de la symétrisabilité faite dans le chapître sur les structures algrébriques.

Exemple: L"inverse de la matriceInest bien sûrInelle-même. La matrice nulle n"est pas inversible.

Exemple: Cherchons à déterminer de façon très rudimentaire l"inverse de la matriceA=2 1 3 2

On cherche donc une matriceB=x y

z t telle queAB=I(dans ce cas, le produit dans l"autre

sens sera automatiquement égal àI, comme on pourra le vérifier facilement). On trouve donc le

système8 >:2x+z= 1

2y+t= 0

3x+ 2z= 0

3y+ 2t= 1. La deuxième équation donnet=2y, ce qui en reportant dans la

dernière amèney=1, et donct= 2. La première équation donnez= 12x, soit en reportant dans la troisièmex+ 2 = 0, doncx= 2, puisz=3. Finalement, la matriceAest inversible, et son inverse estB=21 3 2 . On va très vite essayer de trouver des méthodes de calcul d"inverse plus efficace, car je doute que vous ayez envie de calculer l"inverse d"une matrice d"ordre5de cette façon. 7 Remarque11.Une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. On a alors, siA=0 B BBB@a

110:::0

0a22......

.........0

0:::0ann1

C

CCCA,A1=0

B BBB@a

1110:::0

0a122......

.........0

0:::0a1nn1

C

CCCA. Nous

verrons plus loin que cette caractérisation s"étend aux matrices triangulaires. Proposition 7.Principales propriétés calculatoires de l"inversion de matrices.

SiAest inversible, alorsM1aussi et(A1)1=A.

SiA;B2 Mn(K)2sont deux matrices inversibles, le produitABest inversible et(AB)1= B 1A1. SiAest une matrice inversible,Akest inversible pour tout entierk2N, et(Ak)1= (A1)k. SiA;B2 Mn(K)vérifientAB=I, alorsAetBsont inversibles et inverses l"une de l"autre. Remarque12.On peut déduire de ces propriétés que(GLn(K);)est un groupe.

Démonstration.Rien à prouver, tout a déjà été fait dans un cadre plus général sur les anneaux.Remarque13.Un des principaux intérêts de travailler avec des matrices inversibles est qu"on peut

simplifier un peu plus naturellement certains calculs, notammant : siMest une matrice inversible et

MA=MB, alorsA=B(il suffit de multiplier l"égalité à gauche parM1pour obtenir le résultat).

Autre remarque utile : siAetBsont deux matrices non nulles telles queAB= 0, alors aucune des

deux matrices n"est inversible (sinon, par l"absurde, en multipliant à gauche par l"inverse deAou à

droite par l"inverse deB, on constaterait que l"autre matrice est nulle).

Exemple: Le calcul d"inverse de matrices être grandement simplifié si on connait un polynôme

annulateur de la matriceA: soitA=0 @3 4 2 2 3 1 22 01
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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