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Commutantd'unematriceoud'un endomorphisme

Larech ercheducommutantd'u nematr iceoud'unendomorphismees tun problèmeimportant, parfoissous-jacentàcertains énoncés:parexemple, sion donneunematr icec arré eA,sioncherchelesmatricesXtellesque X 2 nécessairementavecA.

1.Casdesend omorphismesdia gonalisables

SoitEunespace vecto rieldedimensionn,funendo mor-

phismedeE.LecommutantdefestC f ,ensembledesendo- morphismesdeEquicom mutentavecf.C'estunsous-espace vectorieldeL(E). (a)Trouverlesmatricesq uicommut entavecunematricecar- réedia gonaleàcoe ffi cientsdistincts.

SoitDunema tricediagonale deM

n (K)àcoefficientsdiagonaux distincts(on lesnoterad i plutôtqued i,i ).So itA?M n (K).Alors

AD=DA??(i,j)?{1,...,n}

2 (AD) i,j =(DA) i,j ??(i,j)?{1,...,n} 2 a i,j d j =d i a i,j Onobt ientdoncassezfacilement(end istinguantci -dessus lescas i=jeti?=j):

AD=DA?(Adiagonale)

(b)Sifestdiagonalis able,déterminerladimensiondeC f enfonction desdimensionsdes sous-es pacespropresde 10 f(onpou rraremarquerqu'u nendomorphismequicom- muteavecflaissestableslessou s-espacespropresde f, etéven tuellementposerleproblèmematriciellement).

Soitfdiagonalisable,λ

1 p sesv aleurspropres(distinctes); pourchaquei,onnoteE i lesous-espa cepropreE i =Ker(f-λ i Id), etn i ladimensio ndeE i (quiesta ussilam ultiplicitédeλ i ,fétant diagonalisable). Sig?C f ,gcommuteavecf,doncavecf-λ i

Id,doncglaisse

stableE i (cours). Maislaréci proque estvraie:supposonsqueglaissestablec haque E i ;six?E k ,(f◦g)(x)=f g(x) k g(x)(carg(x)?E k );et (g◦f)(x)=g(λ k x)=λ k E k ,or p k=1 E k =E(carfestdiagonalisable),donc f◦g=g◦f.

Onam ontr é:

Sifestdiagonalisa ble,lesendomorphismesquicommutent avecfsontlesendom orphismesquil aissentstablesles sous-espacespropresdef Maintenant,ilresteàutilisercec ipourc alculerladimen sio nde C f Unepremièreméth ode(matricielle) :SoitBunebase adap- téeàla décompo sition E=E 1 ?E 2 ?...?E p (lesn 1 premiers vecteursdeBsontunebasede E 1 ,lesn 2 suivantsunebasedeE 2 etc...).Onvientdev oirque gétaitdansC f sietseulemen tsig laissaitstablestousles E k ,doncsietseulementsilamatricedeg 11 danslabaseBétaitdiagonalepar blocs delaforme : A 1 A 2 A p oùch aqueA k estcarrée d'ordren k .Orl'espaceFdesma tricesde cetteforme estdedimension n 2 1 +...+n 2 p [onpeutendo nnerunebase,o udireq uel'application quià (A 1 ,...,A p )associelamatr iceconstru iteci-dessusestunisomor- phismede M n 1 (K)×...×M np (K)dansF,orladimensionde M n 1 (K)×...×M np (K)est p k=1 n 2 k

Commel'applic ationg?→M

B (g)estun isomorphismede L(E) dansM n (K)(etdonc préserveladimension), onconclut: dim(C f p k=1 n 2 k Unedeux ièmeméthode:SoitGleso us-espacedeL(E)consti- tuédesendo morphismesqui laissentstableslesE k ;l'application deGdansL(E 1 )×...×L(E p )quià g?Gassocie(g 1 ,...,g p ),oùg k désignel'endomorphismeindu itpargsurE k ,estunisomorphisme (lalin éaritéestsimple,ilsu ffi tdel'écrire. Labije ctivitéestun co- rollairedurésultatsur"la définition d'uneapplicationlinéa ire parsesrestrictions auxfa cteursd'unesommedirectesu pplémen- taire»).Ordim L(E 1 )×...×L(E p p k=1 dim(L(E k p k=1 n 2 k cequi donnelaconclusion. 12 (c)Sifadmetnvaleurspropresdist inctes,démontrerque C f =K[f].

Unp olynômedefcommuteave cf.DoncK[f]?C

f .Mai sle nepeut êtrededegré>n).Donc dim(K[f])=n.Or,parce quiprécède, sifestdiago nalisableàvaleurspropresdistinctes, dim(C f )=n.Ceq uic onclut

2.Casgénéral

On"r appel le»(ouplutôtonadmet)que ,siFestunespace endomorphismesdeFder angsupérieuro uégalàpestun ouvertdeL(F). (a)SoitEunespace vecto rieldedimensionn,funendom or- phismedeE.OnnoteΦ f l'élémentsuiva ntdeL L(E) f :g?→g◦f-f◦g

Démontrerquel' applicationf?→Φ

f estcontinue. Elleestlin éaire,etL(E)estdedimension finiecarEl'est. (b)SoitEunespacev ector ieldedimensionn,funendom or- phismedeE.Exprimerdim(C f )enfonction derg(Φ f

CommeC

f =Ker( f ),onpeutappliquerlethéorèmedurang pourobten ir dim(C f )=n 2 -rg(Φquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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