Processus stochastiques modélisation PDF

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Puissance n-ième d'une matrice carrée. Convergence vers un état stable. 7) Matrices et études asymptotiques de processus discrets. Système proies/prédateurs.

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1.1.7. Matrices stochastiques. Cette famille de matrices carrées jouent un rôle important dans l'étude des processus stochastiques à temps discret.

Processus stochastiques modélisation

Chapitre 1 : PROCESSUS DE MARKOV. 1.1 Généralités p05. 1.2 Cha?nes de Markov `a temps discret p06. 1.2.1 Matrice de transition et graphe d'une cha?ne de

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Chaînes de Markov

Une chaîne de Markov est un processus aléatoire (Xn)n2N sa transformée de Fourier discrète avec ? = e2i?/N . D'autre part

Signaux aléatoires

Z ? N(mZQZ): vecteur gaussien de moyenne mZ et de matrice de covariance QZ. 1 Introduction `a l'étude des processus stochastiques.

´Etude de la stabilité et de la stabilisation des syst`emes `a retard et

un point d'équilibre globalement asymptotiquement stable s'il est stable et globale- ment attractif. avec ou supervisés par des processus discrets.

Thèse présentée pour lobtention du grade de Docteur de lUTC

2.4.1 Matrice de transition de la chaîne de Markov immergée . . . 38 tré sur l'étude des processus semi-markoviens à temps discret mais nous nous sommes.

Processus stochastiquesmodelisation

Responsable UE :Agnes Lagnoux(lagnoux@univ-tlse2.fr)

Conception polycopie :Claudie Hassenforder

ISMAG

MASTER 2 - MI00451X

SOMMAIRE

INTRODUCTIONp01

Chapitre 1 : PROCESSUS DE MARKOV

1.1 Generalitesp05

1.2 Cha^nes de Markov a temps discret p06

1.2.1 Matrice de transition et graphe d'une cha^ne de Markov p06

1.2.2 Exemples classiques de cha^nes de Markov p06

1.2.3 Classication des etats p07

1.2.4 Absorption par les classes recurrentes dans le cas ni p10

1.2.5 Distribution stationnaire p11

1.2.6 Comportement asymptotique p15

1.3 Processus de Markov continus p16

1.3.1 Regime transitoire p16

1.3.2 Regime permanent p18

Chapitre 2 : PROCESSUS DE POISSON

2.1 Introductionp19

2.2 Denitions et description du processus p20

2.3 Caracterisation d'un processus par ses temps d'arrivee p23

2.4 Proprietes supplementaires p24

2.4.1 Decomposition, superposition p24

2.4.2 Processus de Poisson et loi binomiale p25

2.4.3 Processus de Poisson et loi uniforme p26

2.5 Processus de Poisson composes p26

2.6 Processus non homogenes p27

Chapitre 3 : PROCESSUS DE NAISSANCE ET DE MORT

3.1 Etude generalep29

3.1.1 Regime transitoire p29

3.1.2 Regime permanent p30

3.2Etude de quelques cas particuliers p30

3.2.1 Croissance pure, par immigration p31

3.2.2 Croissance pure, par naissance p31

3.2.3 Decroissance pure, par deces p32

3.2.4 Processus de Yule-Ferry p32

3.2.5 Modele logistique, a taux non lineaires p34

3.3 Probleme de l'extinction de l'espece p35

Chapitre 4 : PROCESSUS DE RAMIFICATION

4.1 Processus discret a 1 type p40

4.2 Processus permanent a 1 type p41

4.3 Processus discret a 2 types p43

4.4 Processus permanent a 2 types p44

Chapitre 5 : PREMI

ERES NOTIONS SUR LES FILES D'ATTENTE

5.1 Introductionp47

5.2 La le simplep47

5.2.1 Processus d'arrivee p47

5.2.2 Temps de service p48

5.2.3 Structure et discipline de la le p48

5.2.4 Notation de Kendall p49

5.2.5 Notion de classe de clients p50

5.3 Les reseaux de les d'attente p50

5.3.1 Les reseaux ouverts p50

5.3.2 Les reseaux fermes p51

5.3.3 Les reseaux multiclasses p51

5.3.4 Les reseaux de les d'attente a capacite limitee p52

5.3.5 Les reseaux de les d'attente ouverts a contrainte de population p52

5.4 Quelques exemples de systemes d'attente p53

5.5 Parametres de performances operationels p53

5.5.1 Parametres de performances en regime transitoire p53

5.5.2 Parametres de performances en regime stationnaire p55

5.5.3 Stabilitep56

5.5.4 Ergodicite p56

5.5.5 La loi de Little p58

Chapitre 6 : FILE D'ATTENTE UNIQUE

6.1 Files d'attente markoviennes p60

6.1.1 Processus de naissance et de mort general p60

3.1.2 La leM=M=1 p61

3.1.3 La leM=M=1=Kp63

3.1.4 La leM=M=Cp66

3.1.5 La leM=M=1p68

3.2Etude de la leM=G=1 p69

3.2.1 Introduction p69

3.2.2 Analyse du regime permanent : methode de la cha^ne de Markov incluse p70

3.2.3 Mise en oeuvre de l'analyse de la valeur moyenne p72

3.3 La leG=M=1p74

3.4 Extension a la leG=G=1 p76

Chapitre 7 : FIABILIT

7.1 Introductionp79

7.1.1 Denitions p79

7.1.2 Lois utilisees p79

7.2 Systemes non reparables p80

7.2.1 Generalites p80

7.2.2 Systemes sans redondance p80

7.2.3 Systemes avec redondance p80

7.3 Systemes reparables p81

7.3.1 Introduction p81

7.3.2 Methode des processus stochastiques p81

Introduction

L"origine des ´etudes sur les ph´enom`enes d"attente remonte aux ann´ees 1909-1920 avec les

travaux de A.K. Erlang concernant le r´eseau t´el´ephonique de Copenhague. La th´eorie math´ema-

tique s"est ensuite d´evelopp´ee notamment grace aux contributions de Palm, Kolmogorov, Khint-

chine, Pollaczek,... et fait actuellement toujours l"objet de nombreuses plublications scientifiques.

Cette th´eorie s"est ensuite ´etendue `a de nombreux champs d"application comme la gestion de stocks, les t´el´ecommunications en g´en´eral, la fiabilit´edesyst`emes complexes,...

Les probl`emes li´es `a l"attente dans un centre de service sont omnipr´esents dans notre soci´et´e.

Les exemples ne manquent pas :

- attente `a un guichet (caisse dans un supermarch´e, administration), - traffic urbain ou a´erien, -r´eseaux t´el´ephoniques, - circulation de pi`eces dans un atelier, - programmes dans un syst`eme informatique,... Il est devenu inconcevable de construire un syst`emequelconque(quecesoitunsyst`eme in- formatique, un r´eseau de communication, un syst`eme de production ou un syst`eme de la vie quotidienne) sans avoir auparavant fait d"analyse des performances. La pression des enjeux ´economiques est telle actuellement que l"on ne peut aboutir `aunsyst`eme sous-dimensionn´e et que l"on doit ´eviter au maximum le surdimensionnement. Construire un syst`eme adapt´e, respectant le plus possible les objectifs du cahier des charges est une d´emarche qui passe obli- gatoirement par une ´etapedemod´elisation et d"analyse des performances. En plus des mod´elisations analytiques, les simulations sur calculateurs permettront des

´evaluations relativement pr´ecises, mais demandant parfois des temps de calcul qui peuvent etre

importants si l"on veut reproduire correctement les ph´enom`enes al´eatoires et avoir atteint un

r´egime permanent. Une condition n´ecessaire pour dimensionner un centre de service est qu"il soit capable

d"absorber le d´ebit moyen de clients pr´evu, condition tr`es facile `av´erifier par de simples calculs

de d´ebits moyens. Mais, meme avec un syst`eme correctement dimensionn´e, le caract`ereal´eatoiredes arriv´ees et des temps de service rend les attentes impossibles `a´

eviter compl`etement.

La th´eorie desprocessus al´eatoiresconcerne l"´etude math´ematique de ph´enom`enes physiques,

biologiques ou ´economiques ´evoluant dans le temps, et dont l"´evolution est de caract`ere al´eatoire,

c"est-`a-dire non pr´evisible avec certitude. Pour d´efinir un processus al´eatoire, il faut :

1- Un espace des tempsT(T?IR

Les deux espaces des temps les plus utilis´es sont :

T=IN

: le processus est ditdiscret; on regarde ce qu"il se passe `a chaque unit´edetemps,

ou bien on fait une suite d"op´erations et on regarde ce qu"il se passe `achaqueop´eration (ex :

lancer d"une pi`ece). 1

T=IR

: le processus est ditcontinu: on garde les yeux fix´es sur un syst`eme qui ´evolue dans le temps `a partir d"un instantt 0 que l"on prend pour origine des temps (t=0).

2- Un espace des ´etatsE

L"ensembleEpeut etre :

discret :

cest-`a-dire ni ou d´enombrable. Il sera, dans ce cas, souvent pratique didentierE

avec une partie de IN ou de ZZ.

non discret :

par exempleE=IRouE?IR 2 (partie du plan) ouE?IR 3 (partie de l"espace)

3- Une famille de variables al´eatoires

(X t t?T

Ces variables al´eatoires sont toutes d´efinies sur un meme espace probabilis´e(Ω,A,P)et`a

valeurs dans l"espace des ´etatsE. Ainsi, `a chaque instantt?T, on associe, non pas une valeur d´eterministe (comme dans le

calcul d"une trajectoire m´ecanique) mais une valeur al´eatoire d´ecrite par une variable al´eatoire

X t `a valeurs dansE.

La variable al´eatoireX

t peut repr´esenter les r´esultats d"essais successifs comme par exemple,

le jet d"une pi`ece `a pile ou face, ou des observations successives sur une caract´eristiques d"une

population. Le processus al´eatoire est la famille de variables al´eatoires (X t t?T

Un processus al´eatoire est une g´en´eralisation dun vecteur al´eatoire. Comme dans le cas du

vecteur al´eatoire, la connaissance de la loi deX t pour toutt?Test loin de caract´eriser le processus. En particulier, elle ne donne aucune information sur le passage det`at+Δtet donc, sur l"´evolution du processus.

Ce qui jouera le plus grand role dans l"´etude des processus al´eatoires, ce sont les probabilit´es

de transition. SiB 1 etB 2 sont des parties deE,onnoteP([X t+Δt ?B 2 ]/[X t ?B 1 ]) la probabilit´ede transition deB 1 aB 2 entretett+Δt(c"est-`a-dire la probabilit´ed"etre dansB 2 a l"instant t+Δtsachant qu"on ´etait dansB 1 a l"instantt).

Les ´el´ements principaux qui diff´erencient les processus al´eatoires g´en´eraux sont l"espace des

´etatsE, l"espace des tempsTet les relations de d´ependance entre lesX t

4- Quelques relations de d´ependance.

Processus de comptage :

Un processus de comptage (N

t t?T 2 N s t ), `a valeurs dansE=IN. Processus `a accroissements ind´ependants :

Un processus croissant (X

t t≥0 est dit `a accroissements ind´ependants si pour toutn?IN et pour toust 1 ,···,t n tels quet 1 ···,X tn -X t n-1 sont des variables al´eatoires ind´ependantes.

Processus homog`ene dans le temps :

Le processus (X

t t≥0 est dit homog`ene, si pour touttet pour touts,laloideX t+s -X s ne d´epend pas des.

Processus de Markov :