[PDF] Signaux aléatoires Z ? N(mZQZ): vecteur gaussien

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Signaux al´eatoires

Notes de cours

Version 2.0

D. Arzelier

Avertissement:Ce document est constitu´e de notes de cours et ne pr´etend donc ni `a l"exhaustivit´eni`a l"originalit´e. Ces notes doivent en effet beaucoup aux emprunts faits aux ouvrages r´ef´erenc´es en bibliographie. 3

Notations

-R: corps des nombres r´eels. -A : matrice transpos´ee de la matriceA. -A>0:Amatrice d´efinie positive. -A≥0:Amatrice semi-d´efinie positive. -?•?: norme Euclidienne pour un vecteur et induite par la norme Eu- clidienne pour une matrice. -P[•]: probabilit´esimple. -P[•/•] : probabilit´e conditionnelle. - v.a.: variable al´eatoire. - V.A.: vecteur al´eatoire. -E[•]:esp´erance math´ematique. -E[x/y]:esp´erance conditionnelle dexsachanty. -p x (α): densit´e de probabilit´edelav.a.x. -p x 1 ,···,xn 1 n ): densit´e de probabilit´e conjointe. -p x/y (α/β): densit´e de probabilit´e conditionnelle. -Z≂N(m Z ,Q Z ): vecteur gaussien de moyennem Z et de matrice de covarianceQ Z -R(t,τ): matrice d"autocorr´elation. -P(t,τ): matrice d"autocovariance. 4 kl : symbole de Kronecker. -δ(t): impulsion de Dirac. -1 n : matrice identit´ededimensionn. -0 n×m : matrice nulle de dimensionsn×m.

TABLE DES MATI`ERES5

Table des mati`eres

1 Introduction `al"´etude des processus stochastiques 11

1.1 Introduction et d´efinition..................... 11

1.2 Caract´erisations probabilistes des processus stochastiques . . . 13

1.2.1 Loidedistribution .................... 13

1.2.2 Processusdusecondordre................ 14

1.2.3 Caract´eristiquesstatistiques............... 14

1.3 Caract´eristiquesimportantes................... 16

1.3.1 Stationnarit´eausensstrict................ 16

1.3.2 Stationnarit´eausenslarge................ 16

1.3.3 Ergodicit´e......................... 17

1.3.4 La densit´espectraledepuissance ............ 18

1.3.5 Ind´ependance et d´ecorr´elation.............. 22

1.3.6 Densit´e spectrale crois´ee................. 23

2 Processus stochastiques remarquables 25

2.1 Processusgaussien ........................ 25

2.2 Processusmarkovien ....................... 26

2.3 La marche al´eatoire........................ 28

2.4 Bruitblanc ............................ 29

2.5 Bruit blanc `a bande limit´ee ................... 31

2.6 Processus al´eatoire `a bande ´etroite ............... 31

2.7 ProcessusdeWiener ....................... 33

2.8 ProcessusdePoisson....................... 35

3Syst`emes lin´eaires et processus stochastiques: th´eorie fr´equentielle 37

3.1 Filtrage lin´eaire des signaux al´eatoires ............. 37

3.1.1 Moyenne et corr´elationdusignaldesortie ....... 38

3.1.2 Densit´e spectrale de puissance du signal de sortie . . . 38

3.2 Repr´esentation spectrale des signaux al´eatoires......... 40

6TABLE DES MATI`ERES

4Syst`emes lin´eaires et processus gaussiens-markoviens 43

4.1 Syst`emesdiscrets......................... 43

4.1.1 La moyenne ou esp´erance math´ematique ........ 44

4.1.2 Lamatricedecovariance................. 44

4.1.3 Nature du processus stochastiquex

k .......... 46

4.1.4 Processusstationnaires.................. 47

4.1.5 Fonction densit´e de probabilit´e de transition . . . . . . 48

4.2 Syst`emescontinus......................... 49

4.2.1 Esp´erance math´ematique................. 50

4.2.2 Matricedecovariance................... 50

4.2.3 Nature du processus stochastiquex(t).......... 51

4.2.4 Processusstationnaires.................. 52

4.3 Processus g´en´erateur - repr´esentation de markov . . . . . . . . 53

4.3.1 D´efinition ......................... 53

4.3.2 Quelquesexemples .................... 54

4.3.3 Constante al´eatoire.................... 54

4.3.4 La marche al´eatoire.................... 54

4.3.5 Variable al´eatoire exponentiellement corr´el´ee...... 55

A Rappels de la th´eorie des probabilit´es 59 A.1 Approche empirique des ph´enom`enes al´eatoires......... 60 A.2 Th´eorie axiomatique des probabilit´es .............. 63 A.2.1 Espace probabilis´e .................... 63 A.2.2 Probabilit´esconditionnelles ............... 65 A.2.3 Variables al´eatoires.................... 67 A.2.4 Propri´et´esstatistiquesdesv.a............... 72 A.2.5 Exemplesdeloisdedistribution............. 75 A.3 Vecteurs al´eatoires ........................ 78 A.3.1 Loi de distribution conjointe . . . . . . . . . . . . . . . 78 A.3.2 Loi de distribution marginale . . . . . . . . . . . . . . 81 A.3.3 Propri´et´esstatistiques .................. 82 A.3.4 Un th´eor`emeimportant ................. 84 A.4 Distributions conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.4.1 D´efinition ......................... 84

A.4.2 La rˆegledeBayes..................... 86

A.4.3 Propri´et´esstatistiques .................. 86 A.4.4 Propri´et´e d"ind´ependance ................ 87

A.5 Vecteursgaussiens ........................ 87

A.5.1 D´efinition ......................... 87

A.5.2 Propri´et´es......................... 88 7

B Rappels sur la transform´ee de Fourier 91

B.1 D´efinition ............................. 91 B.2 Propri´et´es de la transform´eedeFourier............. 92 B.2.1 Lin´earit´e.......................... 92

B.2.2 D´erivation......................... 92

B.2.3 D´ecalagetemporel .................... 92

B.2.4 Convolution........................ 92

B.2.5 RelationdeParseval ................... 92

B.3 Table de transform´ee....................... 93

8Tables des mati`eres

Introduction g´en´erale9

Introduction g´en´erale

La n´ecessit´e d"introduire la notion de signal al´eatoire ou de processus stochastique provient de la constatation facile `a´etablirquelecadred´efini par les signaux d´eterministes est insuffisant pour d´ecrire et ´etudier l"en- semble des probl`emes rencontr´e en Automatique, en th´eorie de l"estimation et en traitement du signal. En effet, partant du fait qu"un signal "natu- rel" est plus ou moins impr´evisible et `a ce titre transporte de l"informa- tion, la limitation du mod`ele d´eterministe des signaux apparaˆıt clairement sachant qu"il ne comprend aucun ´el´ement d"incertitude et ne transporte donc aucune information. Si l"on ajoute qu"en tout ´etat de cause aucun mod`ele math´ematique ne peut pr´etendre repr´esenter exactement la r´ealit´e, qu"il est ´egalement n´ecessairedepr´evoiretdemod´eliser les perturbations non pr´evisibles de mani`ere d´eterministe et que tout syst`emedemesurefournitdes donn´ees incompl`etes et bruit´ees, il semble alors naturel de souhaiter disposer d"un mod`ele compl´ementaire refl´etant l"aspect al´eatoire entrant dans toute repr´esentation et mod´elisation des signaux et syst`emes. Dans le cadre de ce cours, nous nous limiterons volontairement `al"´etude de la mod´elisation des signaux al´eatoires et `a leur transmission par des syst`emes lin´eaires. Afin de mieux circonscrire math´ematiquement l"objet en question, nous nous pla¸cons volontairement dans un cadre probabiliste. Nous utilise- rons donc de mani`ere privil´egi´ee le cadre math´ematique de la th´eorie axioma- tique des probabilit´es d´evelopp´ee par Kolmogorov. Il sera donc suppos´eque nous disposons de suffisamment de connaissance a priori sur le signal pour permettre une description appropri´ee de ses propri´et´es moyennes. La majeure partie du cours sera donc consacr´ee `alad´efinition des caract´eristiques sta- tistiques essentielles ainsi qu"aux caract´eristiques temporelles. Les propri´et´es de ces caract´eristiques et les rapports qu"elles entretiennent permettront de d´efinir les notions essentielles d"ergodicit´e et de stationnarit´e. Un chapˆıtre sera ´egalement consacr´e`al"´etude de signaux al´eatoires remarquables. Fina- lement, la transmission des signaux al´eatoires par les syst`emes lin´eaires sera

´etudi´ee en d´etails. Dans tout ce qui pr´ec`ede, seul le terme de signal al´eatoire a

´et´eemploy´e. Le terme de processus stochastique est ´egalement fr´equent dans

10Introduction g´en´erale

la litt´erature. Un signal al´eatoire est l"image d"une grandeur associ´ee `aun ph´enom`ene physique al´eatoire g´en´eralement appel´e processus stochastique. Dans la suite, ces deux termes seront confondus et utilis´es indiff´eremment. 11

Chapitre 1

Introduction `al"´etude des

processus stochastiques

1.1 Introduction et d´efinition

La notion de processus stochastique est une notion fondamentale qui va servir d"une part `alad´efinition de mod`eles pour les perturbations, les ph´enom`enes de bruit mais´egalement `alad´efinition des´equations aux diff´erences et ´equations diff´erentielles stochastiques. Les solutions de ces ´equations sto- chastiques d´efiniront ´egalement des processus stochastiques poss´edant des propri´et´es particuli`eres.

D´efinition 1.1.1: processus stochastique

Un processus stochastique(scalaire ou vectoriel) est d´efini comme une famille de variables ou vecteurs al´eatoires index´ee par un ensemble de param`etrest?T, que l"on va consid´erer dans la suite du cours comme ´etant le temps. La notation est{x t (ω)|t?T}.Tpeut ˆetre un ensemble discret ou continu. C"est donc une fonction de deux param`etres: le temps etωparam`etre al´eatoire (r´esultat d"une exp´erience). -Pourchaquet,x t (•)estune variable al´eatoire´egale `al"´etat du processus consid´er´e`a l"instantt. -Pourωfix´e,x (ω)estune r´ealisation du processusqui est une fonction du temps. -Pourtetωfix´es,x t (ω)estun nombre.

12Introduction `al"´etude des processus stochastiques

Si la variable (vecteur) al´eatoire prend ses valeurs dans un espace discret, on dira que c"estune chaˆıne,ouun processus stochastique `a´etat dis- cret, qui peut ˆetre d´efini en temps discret ou en temps continu. Dans le cas contraire, le processus sera d´efini commeun processus stochastique `a ´etat continuen temps discret ou continu. Dans le cadre de ce cours, nous nous int´eresserons principalement aux processus `a´etat continu qui, en temps discret sont appel´ess´equences al´eatoireset dans le cas continu plus sim- plementprocessus stochastiquessi aucune confusion n"est possible. La notation est alors simplifi´ee enx(t) pour un processus en temps continu et x t pour une s´equence.

Exemple:

Soit un satellite en orbite p´eriodique autour de la terre pour lequel on souhaite connaˆıtre les param`etres orbitaux afin d"analyser et de corriger d"´eventuelles phases de d´erive. On dispose pour cela de plusieurs instruments de mesure fonctionnant en parall`ele. La restitution de l"altitudex(t) du satellite par l"ensemble de ses capteurs d´efinit un signal al´eatoire analogique en temps continu.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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