Mécanique du solide UE MEC24a PDF

Ce manuel est un cours de base de la mécanique des systèmes de solides indéformables particulièrement destiné aux étudiants de la deuxième année de l'École

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Mecanique du solide, UE MEC24a

Jean-Philippe Matas

fevrier 2013 2

Introduction

A Motivation

Le but de la m ecaniqueest d' etudierle lien en treforce set mouv ement. On va voir que comme en mecanique du point le lien s'eectue plus precisement entre la force et l'acceleration. Les deux grandes id eesdu cours : le princip efondamen talde la dynamique, et la conservation de l'energie. En mecanique du point on ne voit qu'une partie du PFD : ici il faudra rajouter le theoreme du moment cinetique qui decrit larotation.

B Outils mathematiques

Les outils math ematiquesn ecessaires: torseurs, alg ebrev ectorielle(ma- trices et vecteurs), equations dierentielles (ordre 2). En m ecaniquedu p ointon p eutse d ebrouillera vecdes v ecteursli es: la force (ou la vitesse, l'acceleration, etc.) sur un point M est modelisee par un vecteur passant par ce point M. En m ecaniquedu solide on c herche acaract eriserla force sur un ob jet(S) qui a une etendue spatiale nie : il faut donnerV,aouFsur une innite de points. Ces vecteurs sont des fonctions continues de l'espaceV(x,y,z), a(x,y,z) ouF(x,y,z) : ce sont deschamps vectoriels. De facon analogue, si on donne la temperature, la pression ou la masse volumique : champs scalaires. Il existe un c hampv ectorielqui s'a vereindisp ensableen m ecaniquedes mi lieuxcon tinus, alors qu'il ne jouait aucun r^ole en mecanique du point. Pour un objet d'extension nie il peut exister un mouvement de rotation, et la force seule ne sut pas a decrire cette rotation : pour caracteriser la rotation, on va utiliser le momentMassocie a une force :

Pour une forcefs'exercant en M :

M(A) =AM^f

Le moment est necessaire pour decrire la rotation : exemple du tourniquet avec m^eme

Fmais deuxMdierents.

P ourun s olideind eformable,il existe un outil math ematiquep ermet- tant de caracteriser le champ de vitesse de facon concise : les torseurs. La donnee de quelques elements cibles permet d'acceder a l'ensembledu champ de vitesse. 3 4

Chapitre 1

Cinematique

A Champ de vitesse d'un solide indeformable

A.1 Torseur cinematique

Denition: un solide indeformable est un ensemble de points pour lequel les distances relatives sont independantes du temps. On se place dans un referentielR. Pour deux couples de points (A,B) et (A1,B1) d'un solide indeformable, on aura donc au cours du temps :

AB:A1B1= constante

Avec le cas particulierA=A1etB=B1,AB2= constante. On peut deriver cette relationddt

R(AB:A1B1) = 0

ddt

ABR:A1B1=AB:ddt

A1B1 R

Cette relation etablit que l'application

ddt

Rappliquee aux points d'un solide

indeformable est une application antisymetrique. Or on peut montrer que si une application est antisymetrique, elle peut toujours ^etre ramenee a un produit vectoriel : ddt

Rantisymetrique, 9

=ddt R=

DemonstrationL'applicationddt

Rest lineaire :

ddt

R(A+B) =ddt

RA+ddt

RB On peut donc lui associer une matrice dans un repere lie aR: 5

6CHAPITRE 1. CINEMATIQUE

ddt R2 4X 1 X 2 X 33
5 =2 4a

11a12a13

21a22a23

31a32a333

52
4X 1 X 2 X 33
5 ou les coecientsaijdependent a priori du temps. On va montrer que plusieurs de ces coef- cients sont necessairement nuls. Par denition :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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