Cours de Mécanique des Systèmes de Solides Indéformables
Ce manuel est un cours de base de la mécanique des systèmes de solides indéformables particulièrement destiné aux étudiants de la deuxième année de l'École
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COURS DE MÉCANIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES
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COURS DE MECANIQUE. 2ème année. Catherine POTEL Philippe GATIGNOL. Chapitre 4. DYNAMIQUE DU SOLIDE. Université du Maine - UFR Sciences et Techniques.
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Mécanique des solides. Cours + Exercices. 2eédition. Yves Berthaud. Professeur à l'UPMC. Cécile Baron. Chargée de recherche CNRS Aix-Marseille Université.
MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE
ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE
UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
LA 201 SECTION B
ANNEE 2006-2007
UPMCA. ALLICHE
2 CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL - RAPPELS DE MATHEMATHIQUES1 Espace vectoriel et représentation d'un vecteur.
Soit E un espace vectoriel de dimension n = 3, en fait 3 , de base 123(,,)beee formée de 3 vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur de E peut être représenté par une combinaison linéaire des vecteurs de base de b :
112233
vveveve e ou bien sous la forme 3 1 ii i vv Une autre notation peut être adoptée, appelée aussi convention de l'indice muet ou convention d'Einstein : ii vveL'indice répété i est l'indice muet sur lequel se fait l'opération. Cette convention n'est
applicable que dans le même monôme.L'espace vectoriel E est souvent représenté par un repère R possédant une origine O et une
base. On notera : 123(,,)beee 122
(;,,)ROeee
2 Opérations sur les vecteurs
2 - 1 Produit scalaire
Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique de ExE sur telle que la forme quadratique associée soit définie positive. Par définition une forme bilinéaire f est une application qui à deux vecteurs de E associe le réel et uv (,)fuv . Par ailleurs f est une application linéaire par rapport à chacun des arguments.Notation :
(,).fuvuv La symétrie du produit scalaire est définie par la propriété : UPMCA. ALLICHE
3 (,)..(,)fuvuvvufvu Une forme est dite définie positive si le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est positif et ne s'annule que si le vecteur .uu 0uRemarques :
On définie le produit scalaire de 2 vecteurs et uv dans une base par : 123(,,)beee 33
11 iijjijijiijj ij uvueveuveeueve Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : .0uv
Cette dernière propriété nous permet d'écrire que dans le cas d'une base orthonormée nous
avons : 1 si 0 si ijij ij ee ij D'où une autre écriture possible pour le produit scalaire :112233
iijjii uvueveuvuvuvuv Norme d'un vecteur : Parmi les définitions possibles de la norme on retiendra celle de la norme euclidienne : 1/22 iii i uuuuuu On se sert de cette dernière définition pour introduire une nouvelle notation du produit scalaire impliquant l'angle entre les deux vecteurs : ..cos(,uvuvuv)2 - 2 Produit mixte
Soit E un espace vectoriel de base
123(,,)beee . On appelle produit mixte des vecteurs de E, leur déterminant dans la base, et uvw 123
(,,)beee . On le note : UPMC
A. ALLICHE
4 (,,)(,,)uvwDetuvw On démontre que le déterminant est invariant par changement de la base b.Propriétés :
Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette propriété est directement liée à celle des déterminants : (,,)(,,)(,,)uvwwuvvwu Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul : (,,)0,, liésuvwuvw Les autres cas de nullité du produit mixte se vérifient dans le cas où deux des trois vecteurs sont colinéaires, et lorsque un des vecteurs est nul.2 - 3 Produit vectoriel :
Théorème :
Soient deux vecteurs de E. et uv
l'application ER wuvw est une forme linéaire.Il existe un unique vecteur
de E tel que : ,()(,,).wEwuvwwDémonstration :
est linéaire puisque le déterminant est linéaire par rapport au dernier argument. unicité de la deuxième proposition :Supposons qu'il existe deux vecteurs et '
tel que : ,()(,,).'.wEwuvwww alors et donc le vecteur (').0wEw est orthogonal à tout vecteur de E. C'est un vecteur nul 'Existence :
Notons P la matrice constituée des vectrices colonnes de , et uvw UPMCA. ALLICHE
5 111222
333
uvw Puvw uvw
Nous aurons
123322133131221
(,,)det()()()uvwPwuvuvwuvuvwuvuvSi l'on pose pour
233211331212213
()()(uvuveuvuveuvuve)Nous obtenons alors :
(,,).uvwwLe vecteur
ainsi défini est le produit vectoriel des deux vecteurs ,uv et on note : uvRetour au produit mixte :
Nous pouvons donc aisément écrire le produit mixte de la manière suivante : (,,).uvwuvwLes propriétés du déterminant et la symétrie du produit scalaire permettent d'écrire :
(,,).(,,)(,,).uvwuvwvuwvwuuvwExpression du produit vectoriel :
Le produit vectoriel uv
peut s'écrire de divers manières, en particulier en se servant de l'expression du déterminant précédente, on aura :223311
12331122
uvuvuv uveee uvuvuv 3 esPropriétés du produit vectoriel :
a) L'application de EE dans E est anticommutative, bilinéaire et non associative. b) et uvuuvv c) 0, colinéairuvuvFormule du double produit vectoriel
UPMCA. ALLICHE
6 ()(.)(.)uvwuwvuvw (démonstration en TD)2 - 4 Division vectoriel :
Soient deux vecteurs et vw
connus, existe-t-il un vecteur x tel que : vxwRemarque :
doit être non nul v doivent être orthogonaux et vw vSi existe, alors x x est aussi solution. Recherchons maintenant le vecteur en fonction de x et vw En multipliant vectoriellement par , on obtient : v ()vvxvw En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à l'expression suivante : 2 1 (.)(.)vxvvvxvwxvvw v On peut démontrer, à ce niveau la deuxième remarque ci-dessus : 2 1( vvw vxvvvw vv 2 en développant ce double produit vectoriel, on obtient : 2 (.)vww vxw vCette solution n'est valable que si .0vw
3 - Identité de Lagrange
Théorème :
Soient deux vecteurs de E. et uv
L'identité de Lagrange est définie par la relation suivante : 222 (.).uvuvuv 2
Démonstration :
2 ().()(,,)(,,)(().)uvuvuvuvuvvuvuvuvu UPMCA. ALLICHE
7 En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient : ()(.).(.).vuvvvuvuvD'où :
2222 .(.uvuvuv L'identité de Lagrange nous permet d'écrire une autre formulation du produit vectoriel : ().sin(,uvuvuv
Démonstration :
2222222
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