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Première L cours croissances

1

1 Croissance linéaire

G est une grandeur évoluant dans le temps et mesurée à intervalles réguliers. 1.1

Définition

G suit une croissance linéaire quand la variation absolue entre deux mesures consécutives reste constante dans le temps. On dit aussi que G suit une progression arithmétique. 1.2

Exemple

Le tableau suivant donne les tirages moyens d"un quotidien sur 12 mois. mois jan fév mar avr mai juin juil aout sept oct nov déc tirages 18200 18000 17800 17600 17400 17200 17000 16800 16600 16400 16200 16000 variations absolues -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 Le tirage mensuel suit une croissance linéaire. 1.3

Remarques

Un phénomène décroissant peut suivre une " croissance » linéaire. Les fonctions qui suivent une croissance linéaire sont les fonctions affines. Si t et t" sont des valeurs quelconques distinctes, G(t") - G(t) t" - t est constant : c"est le coefficient directeur de la droite représentant G.

Première L cours croissances

2

2 Croissance exponentielle

G est une grandeur évoluant dans le temps et mesurée à intervalles réguliers. 2.1

Définition

G suit une croissance exponentielle quand la variation relative entre deux mesures consécutives reste constante dans le temps. Autrement dit, entre deux mesures consécutives, la grandeur G est multipliée par un même nombre. On dit aussi que G suit une progression géométrique. Si t

1 et t2 sont deux dates consécutives, G(t2) - G(t1)

G(t

1) = k

2.2

Exemple

Une population de bactéries double toutes les heures.

Temps (heures) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Population 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

Variations relatives

100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%

Coefficient

multiplicateur

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Population

0

100200300400500600

0 2 4 6 8 10

2.3

Remarques

A chaque intervalle de temps, la grandeur G est multipliée par le même nombre. Un phénomène décroissant peut suivre une " croissance » exponentielle.

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3

3 Autres types de croissance

Un plongeur se jette d"une falaise. Sa chute est enregistrée et, à chaque seconde, on mesure la longueur de sa chute.

A B C D E

Temps

écoulé (s)

Longueur de

la chute

Variation

relative "Différence première" : variation absolue des valeurs de la colonne B "Différence seconde" : variation absolue des valeurs de la colonne D 0 0

1 4,9 4,9

2 19,6 300% 14,7 9,8

3 44,1 125% 24,5 9,8

4 78,4 78% 34,3 9,8

5 122,5 56% 44,1 9,8

La longueur de la chute ne suit ni une croissance exponentielle, ni une croissance linéaire. La distance parcourue par seconde (colonne D) suit une croissance linéaire. La loi mathématique de la chute des corps a été établie par Galilée. La formule reliant distance de chute d au temps écoulé t s"écrit : d = 1 2 gt² avec g » 9,8

Longueur de

la chute 0

20406080100120140

0 1 2 3 4 5 6

4

Généralités sur les suites

4.1

Définition

Une suite est une fonction définie sur l"ensemble des entiers naturels.

Exemple

La suite u : n  2n est la suite des nombres pairs.

Notations

Première L cours croissances

4

L"image du nombre n par u est notée :

soit un : notation indicielle soit u(n) : notation fonctionnelle u n est le terme d"indice n ou de rang n. u n+1 est le terme suivant de un. u n-1 est le terme précédent de un.

Dans l"exemple : u

0 = 0, u1 = 2, u2 = 4, u4 = 8

4.2

Représentation graphique

La représentation graphique de la suite u de terme général un dans un repère (O ; i ; j) est l"ensemble des points de coordonnées (n, un) pour n Î .

Exemple

: Soit v la suite des carrés des entiers naturels, v : n  n² 4.3

Détermination explicite

Une suite est déterminée de façon explicite quand chaque terme est exprimé en fonction de son rang.

Exemple

: Pour la suite v définie par v(n) = n², le calcul des termes est direct : v(100) =

100² = 10 000

4.4

Détermination récurrente

Quand chaque terme est exprimé en fonction du terme précédent et que l"on connaît le premier terme, on dit que la suite est déterminée de façon récurrente.

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Exemple

: Soit la suite u définie par u0 = 3 et un+1 = un² + 1

Pour calculer u

10, on doit d"abord calculer u9 et donc calculer u8, u7,..., u1.

u

1 = 3² + 1 = 10, u2 = 10² + 1 = 101, u3 = 101² + 1 = 10 202, etc ....

5

Suites arithmétiques

5.1

Définition

Une suite arithmétique est une suite qui suit une croissance linéaire. La suite u est une suite arithmétique si et seulement si la variation absolue un+1 - un est constante pour tout n.

Exemple

La suite définie par les termes " 1,4,7,10, .... » est une suite arithmétique v qui vérifie v

n+1 - v n = 3. 5.2 Détermination récurrente d"une suite arithmétique La suite u est arithmétique si et seulement si, pour tout rang n, un+1 -= un + r où r est une constante appelée raison de la suite.

Une suite arithmétique est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u0

et de sa raison r. 5.3 Détermination explicite d"une suite arithmétique

Exemple

: Soit w la suite arithmétique définie par son premier terme 3 et sa raison 0,4.

Calculons les premiers termes de cette suite.

w 0 = 3 w

1 = w0 + 0,4 = 3,4

w

2 = w1 + 0,4 = w0 + 0,4 + 0,4 = w0 + 2 ´0,4

w

3 = w2 + 0,4 = w0 + 0,4 + 0,4 + 0,4 = w0 + 3 ´0,4

Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r : un = u0 + n ´ r pour tout rang n.

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6

Exemples

Pour la suite v citée auparavant, on a : vn = 1 + 3n Pour la suite w définie ci-dessus, on a : wn = 3 + 0,4n Pour la suite arithmétique t de premier terme 20 et de raison -3, on a : t n = 20 - 3n 5.4

Représentation graphique

On a représenté les premiers termes de la suite w précédente :

Puisque w

n = 3 + 0,4n, les points représentant la suite w appartiennent à la droite d"équation y = 0,4x + 3.

Dans un repère (O ;

i ; j ), la représentation graphique d"une suite arithmétique est constituée de points alignés.

6 Suites géométriques

6.1

Définition

Une suite géométrique est une suite qui suit une croissance exponentielle. La suite u est une suite géométrique si et seulement si la variation relative un+1 - un un est constante pour tout n.

Première L cours croissances

7

6.2 Détermination récurrente d"une suite géométrique

Soit k =

u n+1 - un un le nombre constant.

On a : u

n+1 - un = kun u n+1 = (k+1) un.

En posant q = k +1, u

n+1 = q un.est la détermination récurrente de la suite u.

La suite u est géométrique si et seulement si, pour tout rang n, un+1 -= q ´ un où q est une

constante appelée raison de la suite.

Une suite géométrique est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u0

et de sa raison q.

Exemple

La suite définie par les termes consécutifs " 1 ;3 ;9 ;27 » est une suite géométrique v de

premier terme 1 et de raison 3.

Pour tout rang n, on a v

n+1 = 3vn. 6.3 Détermination explicite d"une suite géométrique Exemple : Soit w la suite définie par son premier terme 7 et sa raison 1,4

Calculons les premiers termes de cette suite.

w 0 = 7 w

1 = 1,4 ´ w0 = 9,8

w

2 = 1,4 ´ w1 = 1,4 ´ 1,4 ´ w0 = 1,4² ´ w0

w3 = 1,4 ´ w2 = 1,43 ´ w0 Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q : un = qn ´ u0 pour tout rang n.

Exemples

Pour la suite v citée auparavant, on a : vn = 3n Pour la suite w définie ci-dessus, on a : wn = 7 ´ 1,4n

Première L cours croissances

8 6.4

Exemple de représentation graphique

On a représenté les premiers termes de la suite w précédente :quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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