Mathématiques pour physiciens
30 janv. 2014 [8] Laurent Schwartz Méthodes mathématiques pour les sciences physiques
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pour représenter des phénom`enes physiques que les fonctions classiques s'av`erent incapables de transcrire. Thomas Cluzeau. Mathématiques pour l'ingénieur
Formation Interuniversitaire de Physique
Annee 2013-2014
Mathematiques pour physiciens
Jean-Bernard Zuber
Figure1 {
6 mathematiciens qui ont laisse des contributions fondamentales dans le sujet de ce cours.
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) et (Jean-Baptiste) Joseph Fourier (1768 - 1830); Simeon Denis Poisson (1781 - 1840) et Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857); Henri Lebesgue (1875 - 1941) et Laurent Schwartz (1915 - 2002)J.-B. Z L3 FIP 201330 janvier 2014
Bibliographie
[1] W alterApp el,Mathematiques pour la physiqueet les physiciens!, H& KEditions [2] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Cours et Exercices, de Broeck, 2011 [3] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Exercices corriges, de Broeck, 2013 [4] Henr iCartan, Theorie elementaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Hermann 1961 [5] Jac quesGapaillard, Integration pour la licence, Dunod 2002 [6]Joh nLamp erti,Probability, Benjamin 1966
[7] W. Rudin, Analyse reelle et complexe, Masson 1977. [8] Lau rentSc hwartz,Methodes mathematiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965. [9] Lau rentSc hwartz,Theorie des distributions, Hermann, 1966. [10] La urentSc hwartz,Analyse I. Topologie Generale et Analyse Fonctionnelle, Hermann, 1991. Parmi ces ouvrages, certains sont ecrits dans un esprit assez proche de celui du present cours, en particulier [1], dont je me suis beaucoup inspire. Le lecteur trouvera d'innombrables applications et exercices dans [2] et [3]. ii BIBLIOGRAPHIEPlan du cours
{1 Rappels, convergence, series, fonctions 1 cours {2 Integration 2 cours {3 Distributions 112 cours {4 Transformation de Fourier 112 cours {5 Probabilites 212 cours {6 Series entieres. Fonctions d'une variable complexe 1 cours {7 Fonctions holomorphes. Theoreme de Cauchy 212 cours {8 Fonctions de variables complexes, applications 112 cours {9 Transformation de Laplace 112 cours {10 Aspects de la theorie des groupes 1 coursTable des matieres
1 Rappels, convergence, series, fonctions 1
1.1 Topologie de la droite reelle (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Suites convergentes. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Ouverts, fermes. Points d'accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.1.3 Les deux proprietes fondamentales deR. . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2 Bribes de topologie generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2.1 Petit glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2.2 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.2.3 Suites convergentes, suites de Cauchy dans un espace norme . . . . . . .
61.3 Suites et series de fonctions. Convergence simple, uniforme, en norme. . . . . . .
71.3.1 Convergence d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.3.2 Continuite d'une limite de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . .
81.3.3 Derivabilite d'une limite de fonctions derivables. . . . . . . . . . . . . . .
81.3.4 Integrabilite d'une limite de fonctions integrables. . . . . . . . . . . . . .
91.3.5 Series. Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92 Integration 17
2.1 Integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.1.1 Rappels sur l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.1.2 Integrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.1.3 Problemes avec l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.2 Integrale de Lebesgue. Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.2.1 Idee intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.2.2 Mesure (Bribes de theorie de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.2.3 Retour a l'integrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.2.4 Integrales de Lebesgue surR2ouRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 6
iv TABLE DES MATI ERES2.2.5 EspacesLpetLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.2.6 Comparaison entre integrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . .
282.3 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313 Distributions 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353.1.1 Distributions de charges electriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353.1.2 Diusion coherente par un reseau. Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . .
363.1.3 Choc elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373.1.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383.2 Denitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383.2.1 Espace des fonctions-tests. Denition des distributions. . . . . . . . . . .
393.3 Operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423.3.1 Translation, dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423.3.2 Derivation d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.4 Distribution delta et distributions reliees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.4.1 Fonction de Heaviside, fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.4.2 Relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.4.3sur une courbe, une surface, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
3.5 Produit de distributions. Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
483.6 Exemple : Fonction de Green et potentiel de Coulomb en dimensiond. . . . . .51
4 Transformation de Fourier 55
4.0 Preambule physique.
Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .554.1 Series de Fourier. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
574.2 Transformation de Fourier dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
4.2.1 Denition. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
584.2.2 Existence et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
594.2.3 Autres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
614.2.4 Transformation de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4.2.5 Transformation de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
654.2.6 Diraction par une fente, par un reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
664.3 Transformees de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
665 Probabilites 71
5.1 Evenements. Espace des epreuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715.2 Probabilites et mesure. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72TABLE DES MATI
ERESv5.2.1 Axiomes de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
725.2.2 Probabilite conditionnelle.
Evenements independants . . . . . . . . . . .73
5.3 Variables aleatoires. Distributions de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
745.3.1 Denition d'une variable aleatoire; loi de probabilite . . . . . . . . . . .
745.3.2 Les quantites et fonctions importantes attachees a une v.a. . . . . . . . .
755.3.3 Plusieurs variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
805.3.4 Changement de variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
835.3.5 Fonction caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
845.4 Distributions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
855.4.1 Distribution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
855.4.2 Distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
875.4.3 Distribution normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
885.4.4 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
915.4.5 Quelques autres lois rencontrees dans les sciences naturelles . . . . . . . .
935.4.6 Limites de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
945.4.7 Quelques exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
965.5 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 005.5.1 Convergence presque s^urement, convergence en probabilite, convergence
en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.5.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1015.5.3 Theoreme limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1035.5.4 Marche aleatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1086 Series entieres. Fonctions analytiques 115
6.1 Series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1156.1.1 Series formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1156.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1166.1.3 Continuite, integrabilite et derivabilite de la somme . . . . . . . . . . . .
1186.1.4 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1196.2 Les fonctions exp et log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1196.3 Series de Taylor. Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1216.3.1 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1216.3.2 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1216.3.3 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1236.4 Lacunes de ce chapitre... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1256.4.1 Series divergentes. Series asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125vi TABLE DES MATI ERES
6.4.2 Produits innis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1267 Fonctions holomorphes. Theoreme de Cauchy 127
7.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1277.1.1 Rappel : fonctions dierentiables deRndansRp. . . . . . . . . . . . . .127
7.1.2 Holomorphie. Conditions de Cauchy{Riemann . . . . . . . . . . . . . . .
1287.1.3 Derivations@,@. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
7.2 Integrales sur des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1317.2.1 Chemins et lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1317.2.2 Integrales de formes sur des chemins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1337.2.3 Integration sur des chemins dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
7.3 Theoreme de Cauchy et consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 397.3.1 Theoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1397.3.2 Integrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1407.4 Autres proprietes des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 417.4.1 Fonctions holomorphes et fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . .
1417.4.2 Fonctions entieres. Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1427.5 Zeros et singularites des fonctions de variable complexe . . . . . . . . . . . . . .
1437.5.1 Zeros d'une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1437.5.2 P^oles, singularites essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1447.5.3 Series de Laurent. Fonctions meromorphes. Residus . . . . . . . . . . . .
1458 Fonctions de variables complexes, applications 153
8.1 Calcul d'integrales, de transformees de Fourier, de sommes etc . . . . . . . . . .
1538.1.1 Calcul pratique des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1538.1.2 Lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1538.1.3 Integrales sur l'axe reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1548.1.4 Integrales de fractions rationnelles trigonometriques . . . . . . . . . . . .
1558.1.5 Transformees de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1558.1.6 Sommes innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1568.1.7 Integrales sur un arc. P^oles sur l'axe reel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1578.2 Fonctions multivaluees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 588.2.1 Points de branchement, feuillets, surface de Riemann . . . . . . . . . . .
1588.2.2 Integrales de Cauchy de fonctions multivaluees . . . . . . . . . . . . . . .
1618.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1628.4 Methode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163TABLE DES MATI
ERESvii
8.4.1 Methode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1648.4.2 Commentaires et variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1658.4.3 Fonction . Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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