[PDF] MATHÉMATIQUES 1 S 97 Traduction. Deux dindes. « Ensemble

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COLLECTION ODYSSÉE

MATHÉMATIQUES 1

re S

Livre du professeur

Nouveau programme

Sous la direction de

Éric SIGWARD

IA-IPR de mathématiques de l'académie de Strasbourg

Auteurs

François BRISOUX

Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de Munster

Christian BRUCKER

Professeur de mathématiques au lycée Théodore Deck de Guebwiller

Isabelle SANCHEZ

Professeur de mathématiques au lycée Bartholdi de Colmar

Pierre SCHWARTZ

Professeur de mathématiques au lycée international de Strasbourg

Suivi éditorial : Dominique Colombani

Maquette : Nicolas Balbo

Mise en page : Pierre Florette (Domino)

Infographies : Domino

HATIER, PARIS, 2011

ISBN 978-2-218-95348-4

Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation

préalable, est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf. : loi du 11 mars 1957, alinéas 2 et 3 de l"article 41.

Une représentation ou reproduction sans autorisation de l"Éditeur ou du Centre Français d"exploitation du droit de Copie (20, rue des

Grands-Augustins 75006 Paris) constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code Pénal.

3 3

Introduction ................................................................................................................................. 5

PARTIE A Analyse ..................................................................................................................... 7

chapitre 1. Second degré ........................................................................................................ 9

chapitre 2. Étude de fonctions ............................................................................................ 37

chapitre 3. Dérivation ............................................................................................................. 67

chapitre 4. Les suites .............................................................................................................. 99

PARTIE B Géométrie ........................................................................................................... 119

chapitre 5. Vecteurs et droites ........................................................................................... 121

chapitre 6. Trigonométrie .................................................................................................... 143

chapitre 7. Produit scalaire ................................................................................................. 161

PARTIE C Statistiques et probabilités .................................................................... 183

chapitre 8. Statistiques ........................................................................................................ 185

chapitre 9. Probabilités ........................................................................................................ 197

chapitre 10. Loi binomiale. Échantillonnage ................................................................. 207

SOMMAIRE

5 Le manuel reprend les trois parties du programme de la classe de première : les fonctions, la

géométrie et les statistiques et probabilités. Dans chacune de ces parties, il s"agit de former les

élèves à la démarche scientifique afin de les rendre capables de conduire un raisonnement.

Le programme de la première peut être abordé selon plusieurs angles, mais il ne faudrait surtout pas le concevoir comme une succession de chapitres cloisonnés. Il conviendra donc

de concevoir, dès le début de l"année, une progression alternant les différentes notions à

traiter, de telle sorte que les concepts abordés soient repris tout au long de l"année. Vous retrouverez d"ailleurs dans le manuel notre volonté de varier au maximum les situations

problèmes au sein de chaque chapitre, afin de réinvestir les différents thèmes, ainsi que les

notions du collège comme le calcul algébrique et la géométrie plane. Chaque chapitre de ce manuel propose des travaux pratiques que nous avons choisis les plus diversifiés possibles. Ils sont classés en trois catégories : les activités utilisant l"outil informatique ou la calculatrice ; les activités qui mettent en œuvre une démarche algorithmique ;

les problèmes plus ouverts qui exigent davantage d"initiative de la part des élèves. Certains

d"entre eux nécessitent l"utilisation de logiciels pour conjecturer. Dans chacun de ces problèmes, les élèves auront l"occasion de chercher, d"appliquer des techniques, d"effectuer des essais, de conjecturer avec les TICE puis d"élaborer des démons- trations. L"utilisation des TICE est tout à fait adaptée à l"acquisition de nombreuses notions du programme de première. Il s"agit d"exploiter toutes les possibilités offertes afin d"enrichir l"apprentissage et les méthodes d"investigation. L"outil informatique permet en effet d"ob-

tenir rapidement une représentation concrète du problème étudié. Des modifications des

configurations en jeu peuvent mettre en évidence les propriétés à démontrer et toute l"atten-

tion peut alors se porter sur la démonstration elle-même. Les problèmes ouverts proposés dans ce manuel ne font pas appel directement aux TICE. Nous proposons cependant dans

certains cas soit une illustration, soit une vérification du résultat obtenu à l"aide de la calcu-

latrice ou d"un logiciel adapté à la situation étudiée. Il importe que la diversité de ces activités se retrouve aussi dans la nature des travaux

proposés aux élèves : des travaux dirigés en groupe, des travaux en autonomie, des activités

en salle informatique ou des devoirs personnels réalisés à la maison. Des commentaires dans ce sens aideront les professeurs dans leur choix. Nous avons essayé de proposer, au sein de chaque chapitre, des problèmes de difficultés progressives, en particulier dans le domaine de l"algorithmique. À l"issue de la classe de

seconde, les élèves ont déjà acquis une certaine expérience avec les logiciels usuels : tableur

et un logiciel de géométrie dynamique. L"algorithmique, et plus particulièrement la program-

mation dans un certain langage, est quant à elle une activité nouvelle depuis la classe de seconde et doit se poursuivre dans les classes du cycle terminal. 5

INTRODUCTION

Nous n'avons privilégié aucune syntaxe particulière, ce qui vous permet d'utiliser ce guide

avec ses fichiers quel que soit le matériel et les logiciels utilisés dans votre établissement. La

plupart des travaux pratiques peuvent cependant être réalisées assez simplement à l"aide d"une calculatrice. Ce qui permet une très large utilisation de ce guide.

Vous trouverez dans ce livre du professeur, des éléments de correction pour les activités, les

exercices et problèmes, ainsi que des indications sur la mise en œuvre des travaux pratiques

avec les élèves. Un nombre important de ces activités peut être réalisé avec l"outil informa-

tique. En complément, vous trouverez sur le CD d"accompagnement, des fichiers sous de nombreuses versions :

Excel et OpenOffice pour les fichiers tableurs ;

Casio et Texas pour les tracés et la programmation à l"aide de la calculatrice ; GeoGebra, TI Nspire pour les exercices de géométrie plane ; Cabri3D et Geospace pour les exercices de géométrie dans l"espace ; AlgoBox, Python, Scilab et Xcas pour les programmes qui illustrent les algorithmes ;

Xcas, TI Nspire pour le calcul formel.

Ces fichiers vous permettront d"une part de visualiser les résultats demandés, de tester les algorithmes ou les figures dynamiques, mais également d"illustrer vos explications lors de

synthèses collectives avec les élèves. Certains de ces fichiers sont à la disposition des élèves

sur le site compagnon, intégralement ou partiellement complétés, plus particulièrement

lorsque le problème consiste, soit à modifier, compléter ou corriger un algorithme, soit à

réaliser des conjectures sur une configuration géométrique relativement complexe, ou bien encore à effectuer des simulations sur une feuille de calcul d"un tableur. Ils serviront ainsi de base de travail pour une activité en autonomie ou pour un devoir à réaliser à la maison.

Nous espérons que ce livre répondra à vos attentes et qu"il vous apportera des pistes intéres-

santes pour une présentation efficace du programme de première S.

Les auteurs.

7 7

PARTIE A ANALYSE

1. Second degré 9

1. Second degré

Objectifs et pré...requis

Le programme de première s'inscrit, comme celui de la classe de seconde, dans le cadre de la réso-

lution de problèmes. Les situations proposées ici répondent à des problématiques d"origine mathé-

matique ou en lien avec d"autres sciences.

Un des objectifs de ce chapitre est de doter les élèves d"outils mathématiques permettant de traiter

de problèmes du second degré. Extrait du programme (Bulletin officiel spécial n° 9 du 30 septembre 2010)

Contenus Capacités attendues

Forme canonique d"une fonction polynôme de

degré deux.

Équation du second degré, discriminant.

Signe du trinôme.

Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d"une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d"un problème : développée, factorisée, canonique.

Corrigés des activités

1 Représentation graphique dun trinôme

1 a. Voici une copie d'un écran

obtenu avec GeoGebra. b. Pour tout réel x, 3 ffŠx()=Š 1 3

Šx()

2 1 3 x 2 =f 3 ffx(). Ainsi, la courbe 3 est symétrique par rapport

à l"axe des ordonnées.

Par un raisonnement analogue, on montre que les courbes , 1 2 4 et 5 sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées. c. La courbe 4 est la symétrique de la courbe par rapport à l'axe des abscisses. d. On passe de la parabole à la parabole représentant la fonction x ax 2 par une " dilatation » suivant l"axe des ordonnées dont le réel a est le coefficient.

10 1. Second degré

Si a est strictement positif, la parabole obtenue est " tournée vers le haut » ; si a est strictement

négatif, elle est " tournée vers le bas ».

2 a. Voici une copie d'un écran

obtenu avec GeoGebra. b. La courbe 1 est symétrique par rapport à la droite d"équation x = 3. c. On peut obtenir 1 à partir de par une translation de vecteur 3ai + 2aj. La courbe 1 a la même nature que la courbe : c'est une parabole. Son sommet est le point de coordonnées (3 ; 2), image du point O(0 ; 0) par la translation de vecteur 3ai + 2aj . d. La courbe 2 est l"image de la parabole par la translation de vecteur - 2ai - aj. e. Une fois le changement de courbure effectué, la translation permettant d'obtenir 3 est la trans- lation de vecteur -ai - 3aj. Les coordonnées du sommet de 3 sont (- 1 ; - 3). f. Le sommet de la parabole représentant la fonction g 4 est de coordonnées (2 ; - 1), donc g 4 (x) peut s"écrire sous la forme : g 4 (x) = a(x - 2) 2 - 1. De plus, g 4 (3) = 3.

On en déduit : g

4 (x) = 4(x - 2) 2 - 1. (a = 4 ; = 2 ; = - 1).

3 a. Pour tout réel x, h(x) = 3(x - 1)

2 + 2 (a = 3 ; = 1 ; = 2). Les coordonnées du sommet de la para- bole h représentant h sont donc (1 ; 2) et une équation de son axe de symétrie est x = 1.

Construction à partir de la parabole : on procède à un changement de courbure (les ordonnées

des points de sont multipliées par 3), puis on effectue une translation de vecteur ai + 2aj. b. En posant = - b 2a et = - b 2

Š4ac

4a , on obtient : pour tout réel x, ax 2 + bx + c = a(x - ) 2

Le sommet de la parabole d"équation y = ax

2 + bx + c est de coordonnées - b 2a b 2

Š4ac

4a

Son axe de symétrie a pour équation x = -

b 2a

2 Forme canonique dun trinôme

PARTIE A : Étude d'un exemple " historique»

1 (E') (x + 5)

2 - 64 = 0 (x + 5 - 8)(x + 5 + 8) = 0 (x - 3)(x + 13) = 0 x = 3 ou x = - 13.

Les solutions de (E) sont - 13 et 3.

2 a. L'aire du carré ABCD additionnée à celle des deux rectangles le bordant vaut x

2 + 2 × 5x, c'est-à- dire x 2

+ 10x. Elle est aussi égale à l"aire du grand carré AEIH diminuée de celle du carré CFIG. On a

donc : (x + 5) 2 - 25 = 39. b. Le mathématicien Al Khwarizmi retrouve ainsi la solution 3 (seule valeur positive). c. Cette méthode permet de résoudre des équations du type " x 2 + ax = b » . 3 x 2 + 12x = 85 (x + 6) 2 - 36 = 85 (x + 6) 2 - 121 = 0 (x - 5)(x + 17) = 0 x = 5 ou x = - 17.

Les solutions de x

2 + 12x = 85 sont - 17 et 5.

1. Second degré 11

PARTIE B : Autres exemples d'utilisation de la forme canonique

1 a. f(x) = xŠ

5 2 2 1 4 et g(x) = (x - 3) 2 + 4. Les minimums sur ? des fonctions f et g sont Š 1 4 et 4. b. On a : f(x) = (x - 3)(x - 2) ; ainsi l'équation f(x) = 0 admet deux solutions : 2 et 3. c. g(x) = 0 (x - 3) 2 = - 4, or un carré est toujours positif. L"équation g(x) = 0 n'a pas de solution.

2 a. Pour tout réel x : h(x) = 2x

2 1 2 x

Š10) = 2xŠ

1 4 2 81
8 et i(x) = Š3x+ 1 2 2 1 4 +7 = Š3x+ 1 2 2 31
4

Le minimum sur ? de h est -

81
8 et le maximum sur ? de i est 31
4 b. h(x) = 0 2xŠ 5 2 x+2()=0 x= 5 2 ou x=Š2 i(x) = 0 Š3x+ 1 2 31
12 x+ 1 2 31
12 =0 x =

Š3+93

6

1,11) ou x =

Š3Š93

6 - 2,11).

3 Les résultats sont confirmés par les représentations graphiques des fonctions f, g, h et i à l'aide

d"une calculatrice graphique.

Corrigés des Travaux pratiques

TICE 1 Paraboles et équations

On munit le plan d'un repère (O ; ai, aj).

PARTIE A : Forme canonique

1

2 € Lorsque l'on modifie uniquement le paramètre a, seule la " courbure » de la parabole est modifiée.

Le sommet S reste inchangé.

€ Lorsque l'on modifie uniquement le paramètre , la parabole subit une translation de vecteur

colinéaire à ai.

€ Lorsque l'on modifie uniquement le paramètre , la parabole subit une translation de vecteur

colinéaire à aj.

12 1. Second degré

3 En manipulant les paramètres a, et , on conjecture que :

€ l'équation f(x) = 0 admet deux solutions si, et seulement si, les réels a et sont strictement de

signes contraires (c"est-à-dire (a > 0 et < 0) ou (a < 0 et > 0)).

€ l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution si, et seulement si, le réel est nul.

€ l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution si, et seulement si, les réels a et sont strictement de même

signe (c"est-à-dire (a > 0 et > 0) ou (a < 0 et < 0)). Le signe de f(x) est alors celui du réel a.

On remarque que le réel n'a aucune influence sur le nombre de racines du trinôme.

PARTIE B : Forme développée

1

2 a. En manipulant le paramètre a, on conjecture que :

€ l'équation f(x) = 0 admet deux solutions si, et seulement si, le réel non nul a est strictement inférieur à 1.

€ l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution si, et seulement si, a = 1.

L"équation f(x) = 0 n'a pas de solution si, et seulement si, le réel a est strictement supérieur à 1.

b. =4Š4a=4(1Ša). L'étude du signe de donne bien les résultats conjecturés en 2.a.

3 a. En manipulant le paramètre c, on conjecture que :

€ l'équation f(x) = 0 admet deux solutions si, et seulement si, le réel non nul c est strictement inférieur à 4.

€ l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution si, et seulement si, c = 4.

€ l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution si, et seulement si, le réel c est strictement supérieur à 4.

b. 16Š4c=4(4Šc). L'étude du signe de donne bien les résultats conjecturés en 3.a.

4 a. En manipulant les paramètres a et c pour plusieurs valeurs de b, on conjecture que, si a et c sont

de signes strictement différents, l"équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions. b. Si a et c sont de signes strictement différents, alors ac < 0, puis =b 2

Š4ac>0, d'où la

conjecture.

5 a. En manipulant le paramètre b, on conjecture que :

€ l'équation f(x) = 0 admet deux solutions si, et seulement si, le réel non nul b appartient à

]Š3; - 2[]2 ; +3[. € l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution si, et seulement si, b = - 2 ou b = 2.

€ l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution si, et seulement si, le réel b appartient à ]- 2 ; 2[.

L"étude du signe de =b

2 Š4=bŠ2()b+2()mène au résultat conjecturé ci-dessus. b. et c. Le sommet S semble se déplacer sur une parabole.

Le point S a pour coordonnées Š

b 2 ;fŠ b 2 b 2 ;1Š b 2 4

On constate que y

S = 1 - x S 2 ; ainsi, le point S est sur la parabole d"équation y = 1 - x 2

1. Second degré 13

TICE 2 Deux disques dans un carré

1 a. On considère la diagonale [AC] du carré ABCD. En utilisant le théorème de Pythagore ou la trigo-

nométrie, on obtient :

AC = = AE + EI + IG + GC = r

1 rr2+r 1 rr+r 2 rr+r 2 rr2 d"où r 1 rr+r 2 rr= 2 1+2 =2Š2 b. Les cercles 1 et 2 sont entièrement inclus dans le carré, donc leur rayon maximal est 1 2 D"après 1.a, si le rayon d'un des cercles est maximal, l'autre est minimal et vaut alors :

2Š2Š

1 2

3Š22

2

2 a. b. Pour construire le cercle

1 , on peut commencer par tracer le pied de la perpendiculaire à (AB)

passant par E. Il est intéressant de laisser les élèves analyser la figure et les outils disponibles avant

d"opter pour une solution. c. Le centre de 2 est à la même distance de la droite (IK) et de la droite (CK). Il appartient donc à la bissectrice de l"angle KC

D"autres méthodes de construction sont possibles. Si les élèves connaissent les propriétés géométri-

ques de la parabole, on peut aussi définir le centre de 2 comme le point d"intersection de la droite

(AC) avec la parabole de foyer I et de directrice (CD). Une autre possibilité est d"utiliser la relation

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