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Math I Analyse

Feuille 1 : manipulation des nombres reels

1 Inegalites, puissances, valeur absolue

Exercice 1.Soient deux nombres reelsaetbveriant :1< a <4 et3< b <1. Donner un encadrement deabet dea=b. Exercice 2.Montrer, pour tous reels positifsxetyet tout entier naturel non nulnla formule : n px+ynpx+npy Exercice 3.Soientx1;:::;xndes reels compris entre 0 et 1. Montrer que : n Y i=1(1xi)1nX i=1x i Exercice 4.Soientx;yetzdes nombres reels. Montrer que l'on ax2+y22xy. En deduire l'inegalite x

2+y2+z2xy+yz+zx

Montrer que l'on a (x+y)24xy. En deduire que six;yetzsont positifs ou nuls, alors on a (x+y)(y+z)(z+x)8xyz Exercice 5.Soitxun nombre reel. Demontrer que pour toutn2,nentier : [x >1 ,x6= 0])[(1 +x)n>1 +nx]: Exercice 6.SoitAune partie deR. A-t-on equivalence entre les deux propositions suivantes? 9 >08x2A x 8x2A x >0 Exercice 7.Pour toutes les fonctionsfsuivantes, tracer l'allure des courbes def,jfj,f+= max(f;0) et f =min(f;0). f(x) =x33x; f(x) = cos(x); f(x) = ln(2x+ 1); f(x) = exp(3x6): Exercice 8.Soientxetydeux reels. Montrer que l'on a : max(x;y) =x+y+jxyj2 et min(x;y) =x+y jxyj2 Trouver une formule du m^eme type pour max(x;y;z).

Exercice 9.Soitx2R. Montrer que :8 >0jxj )x= 0.

1

2 Partie entiere

Pour un nombre reelx, on noteraE(x) sa partie entiere et [x] sa partie fractionnaire. Exercice 10.Tracer l'allure des courbes des fonctions suivantes.

E(x); E1x

; E(x2); E(sin(x));[x]:

Exercice 11.Montrer pour tout reelxl'egalite :

E x2 +Ex+ 12 =E(x) Exercice 12.1. Montrer que8(x;y)2R2; E(x) +E(y)E(x+y)E(x) +E(y) + 1.

2.8(x;n)2RZ; E(x+n) =E(x) +n.

3. Montrer que8n2N f0g;8x2R,E(x) =EE(nx)n

4. Determiner limE(x) et lim[x] lorsquextend vers1+et lorsquextend vers1. Ces fonctions

ont-elles une limite lorsquextend vers1?

3 Entiers, rationnels et reels

Exercice 13.1. Rappeler la denition d'un groupe.

2. Chercher des exemples de sous-groupes de (Z;+).

3. Trouver tous les sous-groupes de (Z;+).

Exercice 14.Soientnetmdeux entiers naturels, avecmnon nul. On noteqle quotient etrle reste de la division euclidienne denparm, de sorte quen=q:m+r, avec 0r < m(ce qui a un sens puisquem6= 0).

Six=nm

, montrer queq=E(x) etrm = [x].

Exercice 15.Soientr2Qetx2RnQ.

1. Montrer quer+x =2Q.

2. Montrer que, sir6= 0,rx =2Q.

Exercice 16.1. Soientx,y2Q+, tels quepxoupy =2Q. Montrer quepx+py =2Q.

2. En deduire quep2 +

p3 + p562Q. Exercice 17.Dire si les enonces suivants sont vrais ou faux :

1. (x2Q;y2Q))(x+y2Q)

2. (x2RnQ;y2RnQ))(x+y2RnQ)

3. (8x2RnQ)(8y2RnQ)x < y) 9z2Qjx < z < y

4. (8x2RnQ)(8y2RnQ)x < y) 9z2RnQjx < z < y

5.8n2N;n3(nimpair)pn2RnQ)

Exercice 18.Soitf:R!Rune fonction croissante veriant :

8(x;y)2R2,f(x+y) =f(x) +f(y):

On veut montrer quefest une homothetie,i.e.il existe un reeltel que, pour tout reelx,f(x) =x. Pour cela, montrer que

1.8n2N,f(n) =nf(1) etf(n) =nf(1).

2.8x2Q,f(q) =q f(1).

3. Conclure.

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