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Exo7 Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (moyenne arithmétique),g=pxy(moyenne géométrique) et 1h =12 (1x +1y )(moyenne harmonique). Montrer quex6h6g6m6y. qu"avec les deux opérations+et) que pourn2N,(1+1n )n<3.

Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn

ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12

Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a

1+:::+1a

n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k:

(Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances

décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat

de l"exercice 4 inférieur ou égal à 14 1

2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).

3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap;

oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen

fonction den. 2. 1. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 1 et n? entre 1 etx? 2. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 0 et n? entre 0 etx? 3.

Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0

etx? 4.

Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?

5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7.

(***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle

de couples solutions ? ) =E(nx)(poser la division euclidienne deE(nx)parn). (n+2E(n25 ))) =E(8n+2425 1. Montrer qu"il e xiste(an;bn)2(N)2tel que(2+p3)n=an+bnp3, puis que 3b2n=a2n1. 2. Montrer que E((2+p3)n)est un entier impair (penser à(2p3)n)). 2 ) =E(x).

Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24

(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a déjà x=x+x2 6x+y2 =m6y+y2 =yet doncx6m6y. (on peut aussi écrire :mx=x+y2 x=yx2 >0). 2.

On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.

3.mg=x+y2

pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4.

D"après 1), la mo yennearithmétique de

1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique.

Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C.

On se sert de cette remarque pour construireget la comparer graphiquement àm. Onaccolledeuxsegmentsdelongueursrespectivesxety. Onconstruitalorsuntrianglerectangled"hypothénuse

ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur

(BC)vérifiantBA0=xetCA0=y.x+ym g x y A

B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2

, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA

0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4

Pourn2N,(1+1n

)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12

12n<12

Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612

uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1:

En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,

(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j!

16i;j6na

ia j=nå i=1a ia i+å

16i j+aja i) =n+å

16i j+aja i)

Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x

.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x

2=(x1)(x+1)x

2.f

est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en

1. Par suite,

8x>0;f(x)>f(1) =1+11

=2:

(Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat :

12 (x+1x )>rx:1x =1:)

On en déduit alors que

nå i=1a inå j=11a j>n+å

16i

=n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn

carrés, on obtient, f(x) =nå k=1(b2kx2+2akbkx+a2k) = (nå k=1b2k)x2+2(nå k=1a kbk)x+(nå k=1a2k):

1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est

alors négatif ou nul. Ceci fournit 5

0>D0= (nå

k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k:

2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.

Finalement, dans tous les cas,

j

ånk=1akbkj6qå

nk=1a2kqå

nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les

inégalités intermédiaires.

Retrouvons alors l"inégalité de l"exercice

4 . Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : nå i=1a i! nå i=11a i! nå i=1pa i2! nå i=1r1 a i2 nå i=1pa ir1 a i! 2

=n2:Correction del"exer cice6 NSi l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que 1, alors l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c),

c(1a)est négatif (puisquea,betcsont positifs) et donc inférieur ou égal à14 Sinon, les trois réelsa,betcsont dans[0;1]. Le produit des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)vaut a(1a)b(1b)c(1c): Mais, pourx2[0;1],x(1x)est positif et d"autre part,x(1x) =(x12 )2+14 614
. Par suite, a(1a)b(1b)c(1c)614 3: Il est alors impossible que les trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)soient strictement plus grand que14 , leur produit étant dans ce cas strictement plus grand que 14 3.

On a montré dans tous les cas que l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)est inférieur ou

égal à

14

.Correction del"exer cice7 N1.Soit x2R. Alors,E(x)6x on a bienE(x+1) =E(x)+1. 2.

Soient (x;y)2R2. On aE(x)+E(y)6x+y. Ainsi,E(x)+E(y)est un entier relatif inférieur ou égal à

x+y. CommeE(x+y)est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx+y, on a doncE(x)+E(y)6

E(x+y).

Améliorons.E(x)6xSoit (x;y)2R2. Posonsk=E(x)etl=E(y).

6

1er cas.Six2[k;k+12

[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l;k+l+1[et doncE(x+y) =k+l, puisE(x)+ E(y)+E(x+y) =k+l+k+l=2k+2l. D"autre part, 2x2[2k;2k+1[et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y) =E(2x)+E(2y).

2ème cas.Six2[k+12

;k+1[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l+12 ;k+l+32 [et doncE(x+y) =k+lou k+l+1,puisE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2lou 2k+2l+1. D"autre part, 2x2[2k+1;2k+2[ et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l+1. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y)6

E(2x)+E(2y).

3ème cas.Six2[k;k+12

[ety2[l+12 ;l+1[, on a de mêmeE(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y).

4ème cas.Six2[k+12

;k+1[ety2[l+12 ;l+1[, on aE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2l+2=E(2x)+E(2y).

Finalement, on a dans tous les casE(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y).Correction del"exer cice8 Npest déterminé par l"encadrement : 10p6n<10p+1qui s"écrit encorep6lnnln10

p=E(log10(n)):Le nombre de chiffres d"un entiernen base 10 est doncE(log10(n))+1.Correction del"exer cice9 NSoientx2Retn2N. Pour 16k6n, on a

kx1En sommant ces inégalités, on obtient

E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n

26x+2x+:::+nxn

2=n(n+1)x2n2=(n+1)x2n;

et aussi,

E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n

2>(x1)+(2x1)+:::+(nx1)n

2=n(n+1)x=2nn

2=(n+1)x2n1n

Finalement, pour tout naturel non nul,

(n+1)x2n1n 26(n+1)x2n:

Les deux membres extrêmes de cet encadrement tendent vers x2 quandntend vers+¥. D"après le théorème des gendarmes, on peut affirmer que

8x2R;limn!+¥E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n

2=x2

:Correction del"exer cice10 N1.P ardéfinition d"un entier ,il y a nentiers entre 1 etn. Ensuite, pour tout entier naturelk, on a

16k6x,16k6E(x):

Il y a doncE(x)entiers entre 1 etx.

7

2.Il y a n+1 entiers entre 0 etnetE(x)+1 entiers entre 0 etx.

3. Les entiers naturels pairs sont les entiers de la forme 2 k,k2N. Or,

062k6x,06k6x2

Le nombre des entiers pairs compris entre 0 etxest encore le nombre des entierskcompris au sens large

entre 0 et x2 . D"après 2), il y aE(x2 )+1 entiers pairs entre 0 etx. De même, il y aE(x3 )+1 multiples de

3 entre 0 etx.

De même,

062k+16x, 12

6k6x12

,06k6E(x12

Il y a doncE(x12

)+1=E(x+12 )entiers impairs entre 0 etx. 4.

Il y a E(x3

)+1 multiples de 3 entre 0 etx. 5.

Soient n2Net(x;y)2N2. On a

x+2y=n,x=n2y: Donc,(x;y)est solution si et seulement siy2Netn2y2Nou encore si et seulement si 062y6n. Il y a doncE(n2 )+1 couples solutions. 6.

Si xetysont respectivement le nombre de pièces de 10 centimes d"euros et le nombre de pièces de 20

centimes d"euros, le nombre cherché est le nombre de couples d"entiers naturels solutions de l"équation

10x+20y=1000 qui s"écrit encorex+2y=100. D"après 5), il y aE(1002

)+1=51 façons de payer 10 euros avec des pièces de 10 et 20 centimes d"euros. 7.

Soient n2Net(x;y)2N2. On a

2x+3y=n,x=n3y2

Donc, (x;y)solution,x=n3y2 ety2Netn3y22N: Maintenant, commen3y= (ny)2yet que 2yest un entier pair,n3yest pair si et seulement si nyest pair ce qui revient à dire queya la parité den. Ainsi, (x;y)solution,x=n3y2 ety2Net 06y6n3 etya la parité den:

1er cas.Sinest pair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d"entiers pairsycompris au sens

large entre 0 et n3 . Il y aE(n6 ))+1=E(n+66 )tels entiers.

2ème cas.Sinest impair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d"entiers impairsycompris au

sens large entre 0 et n3 . Il y aE(n3 12 ))+1=E(n+36 )tels entiers.

Finalement, le nombre cherché estE(n+66

)sinest pair etE(n+36 )sinest impair.Correction del"exer cice11 N8

1.P ardéfinition d"un entier ,il y a nentiers entre 1 etn. Ensuite, pour tout entier naturelk, on a

16k6x,16k6E(x):

Il y a doncE(x)entiers entre 1 etx.

2. Il y a n+1 entiers entre 0 etnetE(x)+1 entiers entre 0 etx. 3. Les entiers naturels pairs sont les entiers de la forme 2 k,k2N. Or,

062k6x,06k6x2

Le nombre des entiers pairs compris entre 0 etxest encore le nombre des entierskcompris au sens large

entre 0 et x2 . D"après 2), il y aE(x2 )+1 entiers pairs entre 0 etx. De même, il y aE(x3 )+1 multiples de

3 entre 0 etx.

De même,

062k+16x, 12

6k6x12

,06k6E(x12

Il y a doncE(x12

)+1=E(x+12 )entiers impairs entre 0 etx. 4.

Il y a E(x3

)+1 multiples de 3 entre 0 etx. 5.

Soient n2Net(x;y)2N2. On a

x+2y=n,x=n2y: Donc,(x;y)est solution si et seulement siy2Netn2y2Nou encore si et seulement si 062y6n. Il y a doncE(n2 )+1 couples solutions. 6.

Si xetysont respectivement le nombre de pièces de 10 centimes d"euros et le nombre de pièces de 20

centimes d"euros, le nombre cherché est le nombre de couples d"entiers naturels solutions de l"équation

10x+20y=1000 qui s"écrit encorex+2y=100. D"après 5), il y aE(1002

)+1=51 façons de payer 10 euros avec des pièces de 10 et 20 centimes d"euros. 7.

Soient n2Net(x;y)2N2. On a

2x+3y=n,x=n3y2

Donc, (x;y)solution,x=n3y2 ety2Netn3y22N: Maintenant, commen3y= (ny)2yet que 2yest un entier pair,n3yest pair si et seulement si nyest pair ce qui revient à dire queya la parité den. Ainsi, (x;y)solution,x=n3y2 ety2Net 06y6n3 etya la parité den:

1er cas.Sinest pair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d"entiers pairsycompris au sens

large entre 0 et n3 . Il y aE(n6 ))+1=E(n+66 )tels entiers.

2ème cas.Sinest impair, le nombre de couples solutions est encore le nombre d"entiers impairsycompris au

sens large entre 0 et n3 . Il y aE(n3 12 ))+1=E(n+36 )tels entiers. 9

Finalement, le nombre cherché estE(n+66

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