[PDF] [PDF] Les nombres réels — - Pascal Delahaye

View - Download [PDF] Les nombres réels — - Pascal Delahaye

Previous PDF

Next PDF

Les nombres r´eels

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal DELAHAYE

16 novembre 2017

1 Historique de la construction deR

C"est environ au VI`eme si`ecle avant JC que l"intuition de l"existence de nombres non rationnels apparaˆıt. Hyppase de

M´etaponte, un Pythagoricien affirme alors que⎷

2 n"est pas un nombre rationnel. Cette id´ee r´evolutionnaire est alors

rejet´ee par la communaut´e de math´ematiciens et Hyppase de M´etaponte est jet´e `a la mer...

Il faut attendre 200 ans plus tard, pour qu"Euclide prouve par l"absurde qu"Hyppase de M´etaponte avait raison.

L"ensemble des nombres est d´esormais constitu´e des rationnelsQ(rapport de deux entiers) et des irrationnels (les

autres). Cet ensemble est appel´e l"ensemble des nombres r´eelsR.

Cependant, il faut attendre la deuxi`eme partie du XIX`eme si`ecle pour qu"une d´efinition formelle deRsoit propos´ee.

Le math´ematicien allemand D´edekind d´efinit alors un nombre r´eelcommeun ensemble de rationnels major´e et tel

que tous ses ´el´ements soient inf´erieurs `a tous les ´el´ements de son compl´ementaire dansQ. Ces ensembles sont com-

mun´ement appel´es lescoupures de D´edekind. Ainsi par exemple,⎷

2 est d´efini par l"ensemble :⎷

A la mˆeme ´epoque, une autre d´efinition deRest propos´ee par Cantor et M´eray. Pour eux,Rest l"ensemble des li-

mites des suites de Cauchy (cf le cours de Sp´e). On dit alors queRest complet (il n"y a plus de trou dans l"axe des r´eels).

structure deCORPS totalement ordonn´e(Voir le cours sur les structures alg´ebriques). Nous n"utiliserons les in´egalit´es

strictes que lorsqu"elles sont r´eellement n´ecessaires.

Soitx?R.

1. Six?Qon dira que x est unrationnel

2. Six?R\Qalors on dira que x est unirrationnel.

1 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

2 Propri´et´e de la borne sup´erieure

Dans les d´efinitions suivantes, con consid`ereAune partie non vide deR. D´efinition 1 :Majorants, minorants d"une partie

2. Un r´eelm?Rest unminorantde la partieAssi tout ´el´ement deAest sup´erieur `am:?x?A, x≥m

Remarque1.Existence et unicit´e?

D´efinition 2 :Parties born´ees

ou encore : D´efinition 3 :Plus grand (maximum), plus petit ´el´ement (minimum) d"unepartie S"il existe, le plus grand ´el´ement est unique et on le note a= maxA

2. Un r´eelb?Rest unplus petit ´el´ementde A ssi :b?Aet?x?A, x≥b

S"il existe, le plus petit ´el´ement est unique et on le note : b= minA

Remarque2.

1. Le plus grand ´el´ement deAest aussi appel´e lemaximumet le plus petit ´el´ement leminimumdeA.

2. Le maximum deAest un majorant qui appartient `aAtandis que le minimum deAest ...

3. Existence et unicit´e?

D´efinition 4 :Borne sup´erieure (ou inf´erieure) d"une partie

1. Si l"ensemble des majorants deAadmet un plus petit ´el´ementM, alors on dit queMest laborne

sup´erieuredeA. Dans ce cas,Mest unique et l"on note

M= supA

2. Si l"ensemble des minorants deAadmet un plus grand ´el´ementm, alors on dit quemest laborne

inf´erieuredeA. Dans ce cas,mest unique et l"on note m= infA

Remarque3.Existence et unicit´e?

Remarque4.

Lorsqu"il existe, le plus grand ´el´ement d"un ensemble est aussi la borne sup´erieure de l"ensemble.

En revanche, la r´eciproque est fausse :A= [0,1[. Th´eor`eme Fondamental 1 :Propri´et´e FONDAMENTALE de la borne sup´erieure

SiAv´erifie???A?R

A?=∅

Preuve 1 :Cette propri´et´e fait partie des axiomes de d´efinition deR.

Pour prouver que?supAexiste

A?=∅

Remarque6.Le th´eor`eme de la borne sup´erieure sera en particulier utilis´e plus tard pour :

2 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

1. d´efinir la notion d"int´egrale de Riemann.

2. d´emontrer le th´eor`eme de la limite monotone (suites et fonctions).

3. d´emontrer le th´eor`eme de convergence des suites adjacentes

4. d´emontrer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Exercice : 1

(?) SoitAest une partie deRnon vide et born´ee telle queA=A1?A2,A1et?A2´etant ´egalement non vides.

Montrer que?infA= min(infA1,infA2)

supA= max(supA1,supA2). Proposition 2 :Existence d"un plus grand ´el´ement dans une partie deZ Toute partie non vide et major´ee deZadmet un plus grand ´el´ement. Toute partie non vide et minor´ee deZadmet un plus petit ´el´ement.

Preuve 2 :Th´eor`eme admis car il d´ecoule des axiomes de construction deNqui sont hors-programme.

Remarque8.Ce th´eor`eme sert en particulier `a : •prouver l"existence du PPCM et du PGCD de deux nombres entiers

•d´efinir la partie enti`ere d"un r´eel.

Th´eor`eme 3 :Caract´erisation de la borne sup parε

SoitA?Reta?R. Alors :

?ε >0,?xε?A∩[a-ε, a] Caract´erisation parεde la borne sup´erieure

Preuve 3 :

?: C"est la traduction de la d´efinition. ?: On montre facilement par l"absurde deaest le plus petit des majorants.

Remarque9.Sauriez-vous ´enoncer et d´emontrer un th´eor`eme ´equivalent pour la borne inf´erieure?

Corollaire 4 :Caract´erisation s´equentielle de la borne sup

SoitA?Rnon vide eta?R.

a= supAssi?aest un majorant il existe une suite (xn)?ANtelle que (xn)→a. Caract´erisation s´equentielle de la borne sup´erieure 3 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 4 :On construit la suite recherch´ee en prenant pour toutn≥1,ε=1n Exemple 2.Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :

1.E1={1/n|n?N?}2.E2={1/n+ (-1)n|n?N?}3.E3={x2+y2|xy= 1,(x,y)?R2}

Exercice : 2

(?) SoientA?RetB?Rdeux parties non-vides et major´ees deR.

Exercice : 3

(??) SoientAetBdeux parties deRnon vides et major´ees.

On note :A+B={x?Rtq?(a, b)?A×B, x=a+b}

Montrez queA+Bposs`ede une borne sup´erieure et que : sup(A+B) = supA+ supB

3 Partie enti`ere d"un r´eel

Th´eor`eme 5 :D´efinition de la Partie Enti`ere d"un r´eel

Soit un r´eelx?R.

nest appel´e lapartie enti`eredexet est le plus souvent not´ee :n=?x?.

Exemple 3.On a :?6,34?= 6 et?-23,56?=-24

Python

>>> floor(6.34) # A importer depuis la biblioth`eque math >>> int(6.34) # uniquement pour les nombres positifs

Proposition 6 :Encadrements

Pour toutx?R, on a les encadrements suivants :

Preuve 6 :Imm´ediat!

Encadrements

Exercice : 4

(?) Soitx?R. Prouver que pour toutp?]1,+∞[, la suite d´efinie parun=?pnx?pnconverge versx. M´ethode :Pour calculer une partie enti`ere, on pourra :

1. soit transformer la variablexsous la formex=?x?+ravecr?[0,1[ et effectuer les calculs

2. soit proc´eder `a un encadrement pr´ecis de la valeur dont on cherche la partie enti`ere.

4 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 7 :Une propri´et´e calculatoire utile :?x?R?n?Z:?x+n?=?x?+n Preuve 7 :Il suffit d"encadrerx+npar deux entiers... ou d"exprimerxsous la formex=?x?+r.

Exemple 4.(?) D´eterminer le nombre de chiffres que comporte l"´ecriture d´ecimale d"un entiern?N?.

Proposition 8 :Pi`eges dans les calculs :

La fonction "Partie enti`ere" n"est pas lin´eaire!!

Ainsi, en g´en´eral :

1.?x+y? ?=?x?+?y?2.?n.x? ?=n?x?(n?Z)

Preuve 8 :Trouvez des contres-exemples!!

Graphe de la fonction Partie Enti`ere

Exercice : 5

(?) Soitx?Retn?N?. Prouver par deux m´ethodes diff´erentes que :??nx? n?=?x?.

Exercice : 6

(?) Etudier la continuit´e de la fonctionfd´efinie surRparf(x) =?x?+ (x- ?x?)2.

Corollaire 9 :Rest archim´edien

Siαest un r´eel strictement positif, alors : Preuve 9 :Par ´equivalences successives on obtient :k=?xα?.

Rest archim´edien

Remarque10.Ce r´esultat s"´ecrit aussi de la fa¸con suivante : 5 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Corollaire 10 :Valeurs d´ecimales approch´ees

Soit un r´eelx, et un entier natureln≥1.

Alors, il existe un unique entier relatifptel que :

On dit que :

1.p.10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar d´efaut`a la pr´ecision 10-n.

2. (p+ 1).10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar exc`es`a la pr´ecision 10-n.

Preuve 10 :C"est une application imm´ediate du fait queRest archim´edien en prenantα=110n.

Exemple 5.

3.14159 est une valeur d´ecimale approch´ee par d´efaut deπ`a la pr´ecision 10-5

3.14160 est une valeur d´ecimale approch´ee par exc`es deπ`a la pr´ecision 10-5

Exercice : 7

(??) Soitp?N?. D´eterminer une formule donnant lap`eme d´ecimale d"un nombre r´eelx.

4 Densit´e

D´efinition 5 :Densit´e

SoitAune partie deR.

On dit que la partieAest dense dansRlorsque?(x1, x2)?R2avecx1?=x2,A∩]x1, x2[?=∅

Cela signifie qu"entre 2 ´el´ements quelconques deR, on pourra toujours trouver un ´el´ement deA.

Remarque11.En fait, cette d´efinition implique qu"entre deux r´eelsx1etx2quelconques distincts, il existe une infinit´e

d"´el´ements distincts deA.

Adense dansR

Proposition 11 :Caract´erisation parε(de la densit´e)

SoitA?R.

Cela signifie que l"on peut trouver un ´el´ement deAaussi proche que l"on veut de n"importe quel r´eelx.

Preuve 11 :Pas de difficult´e.

Caract´erisation de la densit´e deAdansRparε

Exemple 6.

6 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

1.Zn"est pas dense dansR

2. Si Δ est une partie deRde cardinal fini,R\Δ est dense dansR

Proposition 12 :Caract´erisation s´equentielle (de la densit´e)

SoitA?R.

Aest dense dansR?? ?x?R,il existe une suite (an) d"´el´ements deAtelle que (an)→x Preuve 12 :Pas de difficult´e en prenant pour toutn?N?,ε=1n Caract´erisation de la densit´e deAdansRpar les suites

Remarque12.Important!

On peut adapter la d´emonstrationpr´ec´edentepour prouver que l"on peut choisir (an)?major´ee parx

croissanteou?minor´ee parx d´ecroissante.

Exemple 7.(?) Montrer que si?A?B?R

Adense dansRalorsBest aussi dense dansR.

Th´eor`eme Fondamental 13 :Qest dense dansR

Preuve 13 :Avec la caract´erisation s´equentielle : Pour toutx?R, on peut par exemple, introduire la suite (xn)?QNd´efinie par :xn=?10nx? 10n.

Remarque13.Comme le montre la d´emonstration pr´ec´edente, l"ensemble des nombres d´ecimaux relatifs est lui-aussi

dense dansR Exemple 8.(?) Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :E={sinx|x?Q}.

Th´eor`eme 14 :R\Qest dense dansR

Preuve 14 :Utilisons la d´efinition de la densit´e.

Lorsque (x, y)?Q2, on prouve quez=x+ (y-x).⎷

2

2est un irrationnel de [x, y].

Sauriez-vous d´emontrer le r´esultat `a l"aide de la caract´erisation s´equentielle?

Remarque14.On peut r´esumer les 2 th´eor`emes pr´ec´edents en disant qu"entre deux r´eels distincts on pourra toujours

trouver un rationnel et un irrationnel.

Exemple 9.(?)

1. D´eterminer les applications croissantes deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.

2. D´eterminer les applications continues deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.

Exercice : 8

(? ? ?) On souhaite d´emontrer que l"ensembleZ+πZ={a+bπ|(a, b)?Z2}est dense dansR.

1. D´emontrer que l"application?:n?Z?→n.π- ?nπ?(la partie fractionnaire denπ) est injective.

7 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

2. On noteF={?(n), n?Z}

(a) Montrer queFest de cardinal infini. (c) En d´eduire queZ+πZest dense dans [0,1]. Vous pourrez pour cela utiliser le caract`ere archim´edien deRavecα=|f1-f2|

3. En d´eduire queZ+πZest dense dansR.

5 Connaissez-vous votre cours?

Vous devez imp´erativement savoir r´epondre aux diff´erentes questions suivantes :

QuestionsR´eponses attendues

1.Connaissez-vous les notions deminorantetmajorantd"une partie deR?Cf cours

Connaissez-vous les notions deplus petitetplus grand´el´ement d"une partie deR? Connaissez-vous les notions deborne inf´erieureetborne sup´erieured"une partie deR?

2.Donner s"ils existent des minorant, majorant, plus petit ´el´ement, plus grand ´el´ement,min, ppe et binf : 0

borne sup et borne inf de l"ensemble suivant : Δ ={1 +1n|n?Z?}.maj, pge et bsup : 2

3.Connaissez-vous le th´eor`eme d"existence de la borne sup? de la borne inf?cf cours

4.Comment caract´eriser avec?le fait quea= supA?cf cours

Comment caract´eriser s´equentiellement le fait quea= supA?

5.Comment prouver qu"une partie deZadmet un ´el´ement maximal?cf cours

12.Comment est d´efinie lapartie enti`ered"un r´eel? A quoi ressemble son graphe?cf cours

13.Encadrerx`a l"aide de sa partie enti`ere. Inversement?cf cours

14.A-t-on?x+y?=?x?+?y??Non en g´en´eral

Oui six?N

15.Que signifie la proposition "Rest archim´edien"? Illustration graphique?cf cours

16.D´efinir les notions de "valeurs approch´ees" `a l"aide de la partie enti`ere.cf cours

17.Donner la d´efinition et les deux caract´erisations de la densit´e.cf cours

18.Pouvez-vous justifier la densit´e deQet deR\QdansR?cf cours

19.Donner des exemples d"application de la densit´e.cf cours

8 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

6 Exercices de TD

Codage

1. Les exercices avec des coeurs♥sont `a traiter en priorit´e.

2. Le nombre d"´etoiles?ou de coeurs♥correspond `a la difficult´e des exercices.

6.1 Borne sup´erieure d"une partie

Le th´eor`eme le plus utilis´e est l"axiome de d´efinition de la borne sup (ou inf).

1. il s"applique lorsque la partie ´etudi´ee est une partie deR, non vide et major´ee.

2. il permet de prouver l"existence d"une borne sup.

3. il permet aussi d"en otenir une majoration puisque la brone sup est major´e par tout majorant de la

partie ´etudi´ee, et donc par le majorant qui nous a permis d"utiliser le th´eor`eme. L"autre th´eor`eme fondammental est la caract´erisation de la borne sup.

Il nous dit en particulier que la borne sup peut ˆetre consid´er´ee comme la limite d"une suite d"´el´ements de la

partie ´etudi´ee. En introduisant de telles suites, on peut faicelement obtenir des majorations ou des minorations

utiles par passage `a la limite.

Exercice de TD : 1

(♥) SoitAune partie non vide et born´ee deR. Montrer que [infA,supA]est le plus petit segment (au sens de l"inclusion) tel queA?[infA,supA].

Exercice de TD : 2

(?) D´eterminer les bornes sup et inf deA={un|n?N}o`u?un= 2nsinest pair u n= 2-nsinest impair.

Exercice de TD : 3

(??) SoitXune partie non vide et major´ee deR.

Montrer que si supX=Malors pour toutε >0, il existe une infinit´e d"´el´ements de X dans [M-ε, M]

Exercice de TD : 4

(?) On se propose d"´etablir?n?N?,?(p, q)?N2tel quen= 2p(2q+ 1).

Pourn?N?fix´e, on poseA={m?N|2mdivisen}.

1. Montrer queAadmet un plus grand ´el´ementp

2. Montrer que pour cet ´el´ementp, on peut ´ecriren= 2p(2q+ 1) avecq?N.

Exercice de TD : 5

(♥♥) SoitAune partie non vide et born´ee deR. On appelle diam`etre deAle r´eel positif d´efini par :δ(A) = sup{|x-y|,(x,y)?A2}. Justifier l"existence de ce r´eel et montrer queδ(A) = supA-infA.

Exercice de TD : 6

(♥♥) SoitAune partie deRnon vide et minor´ee. On note-Al"ensemble des oppos´es des ´el´ements deA.

Prouver que : sup(-A) =-infA.

Exercice de TD : 7

(??) Etudier l"existence et pr´eciser la valeur lorsqu"elles existent des quantit´es supA, infA, maxAet minAlorsque :

Exercice de TD : 8

(?) SoitIun intervalle deRetfetgdeux fonctions r´eelles born´ees d´efinies surI.

Montrer que :

sup x?I|f(x)|+ sup x?I|g(x)| 9 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

6.2 Partie enti`ere

1. La d´etermination de la partie enti`ere deA(x) se fait en g´en´eral par deux m´ethodes :

(b) soit par calculs en rempla¸cantxparx=?x?+ravecr?[0,1[.

2. Deux encadrements sont souvent tr`es utiles lorsqu"on travailleavec des parties enti`eres :

Exercice de TD : 9

(♥) Montrer que pour tout r´eel x on a :?x2?+?x+ 12?=?x?

Exercice de TD : 10

(♥) Soitxetydeux entiers relatifs. Calculer?x+y2?+?x-y+ 12?. Aide : il semble assez naturel de proc´eder `a une disjonction de cas...

Exercice de TD : 11

(??) Montrer que pour tout r´eelx≥1 on a : 2(⎷x+ 1-⎷x)<1⎷x<2(⎷x-⎷x-1)

En d´eduire un encadrement de la partie enti`ere de :x=100? k=11 ⎷k

Exercice de TD : 12

(♥♥) R´esoudre dansR:

1.?2x+ 1?=?x+ 4?. 2.?1-x?=?3-2x?.

On pourra recherchexsous la formex=?x?+ravecr?[0,1[

Exercice de TD : 13

(♥♥) R´esoudre dansR(par analyse/synth`ese) l"´equation :x?x?=x2-(?x?)2

Exercice de TD : 14

(? ? ?) Soitx?R+.

Prouver que??

Exercice de TD : 15

(? ? ?) Soitxun r´eel etp?N?.

1. Prouver l"existence et l"unicit´e deq?Z,r?[[0,p-1]] etα?[0,1[ tels quex=pq+r+α.

2. En d´eduire l"´egalit´e :

p-1?k=0?x+k p?=?x?

Exercice de TD : 16

(? ? ?) Soitn?N?. Calculern

2?k=1?⎷k?.

Exercice de TD : 17

2. Montrer qu"il n"existe pas de r´eelsxtels que?x?+?2x?+?4x?+?8x?+?16x?+?32x?= 12345.

Aide : on envisagera d"utiliser le th´eor`eme de division euclidienne.

Exercice de TD : 18

(? ? ?) Montrer que :?x?R,?n?N?,n-1?k=0?x+kn?=?nx?. Aide : On commencera par repr´esenter les valeursx+k nsur un axe. 10 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

Exercice de TD : 19

(♥♥) Soitpqune fraction irr´eductible telle queq >0.

1. Pourx?R, calculer :?x?+?-x?.

2. Montrer que

q-1? k=1?kp q?=(p-1)(q-1)2.On utilisera le fait quen-1?k=1a k=n-1? k=1a n-k

6.3 Densit´e

1. Le plus simple pour prouver la densit´e dansRd"une partie est, pour toutx?R, de trouver une suite

d"´el´ements de cette partie qui converge versx.

2. La densit´e est souvent utilis´ee pour g´en´eraliser `aRdes propri´et´es vraies surAdense dansR.

Exercice de TD : 20

(?) Soitf:R→Rune fonction monotone v´erifiant?a?R,?r?Q,f(ra) =rf(a).

Montrer quefest une fonction lin´eaire.

Exercice de TD : 21

(♥♥) SoientAetBdeux parties deRtelles queAest dense dansBetBest dense dansR.

Montrer queAest dense dansR.

Exercice de TD : 22

(♥♥) On appellenombre dyadiquetout rationnel de la formem2no`um?Zetn?N. Montrer que l"ensemble des nombres dyadiques est dense dansR.

Exercice de TD : 23

(?) Montrer queE={q2|q?Q} ? {-q2|q?Q}est dense dansR.

Exercice de TD : 24

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] montrer qu il existe 3 réels ab et c

[PDF] Montrer qu un point est le milieu d un segment et calculer une droite

[PDF] montrer qu une droite est tangente ? une courbe

[PDF] Montrer qu'un point appartient ? une médiatrice

[PDF] Montrer qu'un triangle est rectangle

[PDF] Montrer qu'un triangle est rectangle ( 3eme )

[PDF] Montrer qu'une fonction est affine

[PDF] montrer qu'une suite est géométrique

[PDF] Montrer qu'une surface latérale est égale ? celle d'une sphère

[PDF] montrer qu'un ensemble est fini

[PDF] montrer qu'un ensemble est infini

[PDF] montrer qu'un parallélogramme est un losange

[PDF] montrer qu'un point appartient ? une droite représentation paramétrique

[PDF] montrer qu'un point appartient a une droite dans l'espace

[PDF] montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme