Correction : 65 p. 132 Correction : 68 p. 132 PDF

« Montrer qu'il existe un unique α ∈ tel que . . . » « Montrer que l'équation f(x) = ... admet une unique solution dans . . .

DM 7 correction Exercice 1 : ( ) ( ) ( ) 1°) Montrer que cette équation

Donc cette équation admet et comme racine. Seul est solution de donc il existe une unique solution réelle . 2°) On factorise (. ) (. ) (. ) par . Il existe

Suites 1 Convergence

Exercice 14. Soit n ⩾ 1. 1. Montrer que l'équation n. ∑ k=1 xk = 1 admet une unique solution notée an

Corrigé du TD no 11

Montrer que l'équation x2(cos x)5 + x sin x +1=0 admet au moins une solution réelle. Réponse : La fonction f : x ↦→ x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur

Suites implicites

(. ) On considère les fonctions fn : x ↦→ xn + x − 1 pour n ∈ N∗. a. Soit n ∈ N∗. Démontrer que l'équation fn(x) = 0 admet une unique solution xn ∈ ]01

Exo7 - Exercices de mathématiques

Solution maximale. 831. 277 381.00 Théorème de Cauchy-Lipschitz. 832. 278 382.00 ... Démontrer que (1 = 2) ⇒ (2 = 3). Correction Τ. [000105]. Exercice 3. Soient ...

comment utiliser le TVI ou ses corollaires

❖ Le corollaire (ou extensions) du TVI s'utilise dans le cas ou on demande de montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution. ❖ Lorsqu'on

Équations différentielles

Finalement (E2) admet sur R une unique solution

Nombres complexes. Équations du 2ième degré à coefficients réels

Exercice. 1. Résoudre dans C: z2. −16 z+89=0. 2. Montrer que l'équation : z3. −(16−i)z2. +(89−16 i)z+89 i=0 admet une solution imaginaire pur que l'on.

Exercice 1 a) Montrer que la fonction Arctan est 1-lipschitzienne sur

On consid`ere l'équation différentielle y = (1 + cos t)y − y2 avec la condition initiale y(0) = y0. a) Montrer que ce probl`eme admet une unique solution

Correction : 65 p. 132 Correction : 68 p. 132

(- 1) appartient à ] lim ? ( ) ; f(0)]. D'après le théorème des valeurs intermédiaires on conclut que l'équation f(x) = - 1 admet une unique solution

Terminale S - Continuité dune fonction Théorème des valeurs

Autrement dit l'équation ( ) = admet au moins une solution Pour démontrer que l'équation ( ) = a une unique solution sur l'intervalle [ ...

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

Montrer que l'équation f(x) = admet une unique solution dans . . . » • La rédaction correcte d'une telle question demande de la rigueur. Une.

comment utiliser le TVI ou ses corollaires

Le corollaire (ou extensions) du TVI s'utilise dans le cas ou on demande de montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution.

DM 7 correction Exercice 1 : ( ) ( ) ( ) 1°) Montrer que cette équation

Donc cette équation admet et comme racine. Seul est solution de donc il existe une unique solution réelle . 2°) On factorise (. ).

fonction et continuite

Ce théorème peut permettre de démontrer qu'une équation admet une unique solution dans un in- tervalle donné dès lors que la fonction est strictement

Corrigé du TD no 11

Montrer que l'équation x5 = x2 + 2 a au moins une solution sur ]0 2[. bijection

Correction du contrôle continu 1

Montrer que l'équation (E) admet une unique solution maximale ? : I :=]T?T+[? R de classe C1 avec T? < 0 < T+. On considère la fonction f : R × R ? R

Suites 1 Convergence

Montrer que l'équation n. ? k=1 xk = 1 admet une unique solution notée an

Suites implicites

Montrer que l'équation f(x) = n a une unique solution dans R+?. On la note un. Soit n ? N. Comme n ? ]??+?[

Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 1/8

Correction : 65 p. 132

Résoudre l'équation : e

x = x + 2 sur ℝ revient à résoudre l'équation ex - x - 2 = 0 sur ℝ. On définit la fonction f sur ℝ par : f(x) = e x - x - 2. f est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine, toutes deux dérivables sur ℝ. f est donc dérivable sur ℝ, soit f est continue sur ℝ.

De plus : f(1) = e

1 - 3 » - 0,28 et f(2) = e2 - 4 » 3,39.

0 appartient à [f(1) ; f(2)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

au moins une solution a comprise entre 1 et 2.

Correction : 68 p. 132

a) Sur ]- ¥ ; 0] : f est continue et strictement croissante sur ]- ¥ ;0].

De plus : lim

() = - 2 et f(0) = 3. (- 1) appartient à ] lim () ; f(0)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = - 1 admet

une unique solution a dans ]- ¥ ; 0].

Sur [0 ; 1] :

f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 1].

De plus : f(0) = 3 et f(1) = - 1.

(- 1) appartient à [f(0) ; f(1)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = - 1 admet

une unique solution b dans [0 ; 1], soit ici b = 1.

Sur ]1 ; + ¥[ :

f est continue et strictement croissante sur ]1 ; + ¥[.

De plus : f(1) = - 1.

Donc, f est minorée par (- 1), soit pour tout réel x > 1, f(x) > - 1. L'équation f(x) = - 1 n'admet pas de solution dans ]1 ; + ¥[. Conclusion : L'équation f(x) = - 1 admet exactement 2 solutions sur ℝ. Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 2/8 b) Sur ]- ¥ ; 0] : f est continue et strictement croissante sur ]- ¥ ;0].

De plus : lim

() = - 2 et f(0) = 3.

0 appartient à ] lim

() ; f(0)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution a dans ]- ¥ ; 0].

Sur [0 ; 1] :

f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 1].

De plus : f(0) = 3 et f(1) = - 1.

0 appartient à [f(1) ; f(0)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution b dans [0 ; 1], soit ici b = 1.

Sur [1 ; + ¥[ :

f est continue et strictement croissante sur [1 ; + ¥[. Donc, f est majorée par 0, soit pour tout réel x ³ 1, f(x) < 0. L'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution dans [1 ; + ¥[. Conclusion : L'équation f(x) = 0 admet exactement 2 solutions sur ℝ. c) Sur ]- ¥ ; 0] : f est continue et strictement croissante sur ]- ¥ ;0].

De plus : lim

() = - 2 et f(0) = 3.

1 appartient à ] lim

() ; f(0)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 1 admet

une unique solution a dans ]- ¥ ; 0].

Sur [0 ; 1] :

f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 1].

De plus : f(0) = 3 et f(1) = - 1.

1 appartient à [f(1) ; f(0)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 1 admet

une unique solution b dans [0 ; 1].

Sur [1 ; + ¥[ :

f est continue et strictement croissante sur [1 ; + ¥[. Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 3/8

De plus : f(1) = - 1.

Donc, f est majorée par 0, soit pour tout réel x ³ 1, f(x) < 0 < 1. L'équation f(x) = 1 n'admet pas de solution dans [1 ; + ¥[. Conclusion : L'équation f(x) = 1 admet exactement 2 solutions sur ℝ.

Correction : 69 p. 132

a) f est une fonction polynôme, donc dérivable sur ℝ.

De plus : f'(x) = 6x

2 - 6x

= 6x(x - 1)

On obtient le tableau suivant :

f est croissante sur ] - ¥ ; 0] et sur [1 ; + ¥[. f est décroissante sur [0 ; 1].

De plus : f(0) = 2 ´ 0

3 - 3 ´ 02 - 1

= - 1 f(1) = 2 ´ 1

3 - 3 ´ 12 - 1

= 2 - 3 - 1 = - 2

Limite en -

On a : lim → (2) = - ¥ et lim → (-3- 1) = - ¥.

Donc : lim

Limite en +

On a : lim → (2) = + ¥ et lim → (-3- 1) = - ¥.

On obtient une forme indéterminée.

Pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x

32 -

Or : lim → = + ¥ et lim → 2 -

= 2.

Donc : lim

() = + ¥. x - ¥ 0 1 + ¥

6x - - 0 +

x - 1 - 0 + + f' + 0 - 0 + f - 1 + ¥ - ¥ - 2 Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 4/8

b) Sur ] - ¥ ; 1], f est majorée par (- 1). L'équation f(x) = 0 n'admet donc pas de solution

sur ]- ¥ ; 1]. f est dérivable, donc continue sur [1 ; + ¥[, et strictement croissante sur [1 ; + ¥[.

0 appartient à [f(1) ; lim

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution a dans l'intervalle [1 ; + ¥[. On conclut donc que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a dans ℝ. c) On a : f(1,67) » - 0,05 et f(1,68) » 0,02.

Donc : 1,67 < a < 1,68.

Correction : 70 p. 132

a) f est la somme de deux fonctions dérivables sur ℝ, donc dérivable sur ℝ.

De plus : f'(x) =

En effet : (e

- x)' = (- 1)e- x = - e- x Pour tout réel x, on a : ex et e- x strictement positifs. f' est donc strictement positive sur ℝ. f est donc strictement croissante sur ℝ.

On obtient le tableau suivant :

Limite en -

On a : lim → () = 0 et lim → (- ) = - ¥.

Donc : lim

Limite en +

On a : lim → () = + ¥ et lim → (- ) = 0.

Donc : lim

x - ¥ + ¥ f Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 5/8 b) f est dérivable sur ℝ, donc continue sur ℝ et f strictement croissante sur ℝ.

2 appartient à ] lim

() ; lim →

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 2 admet

une unique solution a dans ℝ. c) On a : f(1) » 1,18 et f(2) » 3,63, soit 2 compris entre f(1) et f(2).

Donc : 1 < a < 2.

d) Avec la calculatrice, on obtient : 1 < a < 2

1,4 < a < 1,5

1,44 < a < 1,45

1,443 < a < 1,444

1,44 est donc une valeur approchée de a à 10

- 2 près.

Correction : 71 p. 132

a) f est une fonction polynôme, donc dérivable sur ℝ.

De plus : f'(x) = 12x

3 - 24x2 - 12x + 24

= 12(x

3 - 2x2 - x + 2)

Or : (x - 2)(x - 1)(x + 1) = (x - 2)(x

2 - 1)

= x

3 - x - 2x2 + 2

= x

3 - 2x2 - x + 2

Donc : f'(x) = 12(x - 2)(x - 1)(x + 1)

On obtient le tableau suivant :

x - ¥ - 1 1 2 + ¥ x - 2 - - - 0 + x - 1 - - 0 + + x + 1 - 0 + + + f' - 0 + 0 - 0 + f + ¥ 13 + ¥ - 19 8 Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 6/8

Limite en - ¥ :

On a : lim → (3) = + ¥ et lim → (-6) = - ¥.

On obtient une forme indéterminée.

Pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x

43 -

Or : lim → = + ¥ et lim → 3 -

= 3.

Donc : lim

Limite en +

On a : lim → (3) = + ¥ et lim → (-6) = - ¥.

On obtient une forme indéterminée.

Pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x

43 -

Or : lim → = + ¥ et lim → 3 -

= 3.

Donc : lim

b) Sur ]- ¥ ; - 1] : f est continue et strictement décroissante sur ]- ¥ ; - 1].

De plus : lim

() = + ¥ et f(- 1) = - 19.

0 appartient à [f(- 1) ; lim

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution a dans ]- ¥ ; - 1].

Sur [- 1 ; 1] :

f est continue et strictement croissante sur [- 1 ; 1].

De plus : f(- 1) = - 19 et f(1) = 13.

0 appartient à [f(- 1) ; f(1)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution b dans [- 1 ; 1].

Sur [1 ; + ¥[ :

f est minorée par 8, soit pour tout réel x ³ 1, f(x) > 8 > 0. L'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution dans [1 ; + ¥[. Conclusion : L'équation f(x) = 0 admet exactement 2 solutions sur ℝ. c) On remarque que : f(0) = 0, soit b = 0.

Avec la calculatrice, on obtient : - 2 <

a < - 1 - 1,7 < a < - 1,6 - 1,62 < a < - 1,61 Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 7/8

Correction : 73 p. 132

a) D'après le graphique, l'équation admet deux solutions. Il semble qu'il existe une troisième solution puisque : lim f est une fonction polynôme, donc dérivable sur ℝ et continue sur ℝ.

De plus : f'(x) = 3x

2 - 6x

= 3x(x - 2)

On obtient le tableau suivant :

De plus : f(0) = 0

3 - 3 ´ 02 + 1

= 1 f(2) = 2

3 - 3 ´ 22 + 1

= 8 - 12 + 1 = - 3

Limite en -

On a : lim → () = - ¥ et lim → (-3+ 1) = - ¥.

Donc : lim

Limite en +

On a : lim → () = + ¥ et lim → (-3+ 1) = - ¥.

On obtient une forme indéterminée.

Pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x

31 -

Or : lim → = + ¥ et lim → 1 -

= 1.

Donc : lim

x - ¥ 0 2 + ¥ x - 2 - - 0 +

3x - 0 + +

f' + 0 - 0 + f

1 + ¥

- ¥ - 3 Correction : 65, 68, 69, 70, 71 et 73 p. 132 8/8

Sur ]- ¥ ; 0] :

f est continue et strictement croissante sur ]- ¥ ; 0].

De plus : lim

() = - ¥ et f(0) = 1.

0 appartient à ] lim

() ; f(0)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution a dans ]- ¥ ; 0].

Sur [0 ; 2] :

f est continue et strictement croissante sur [0 ; 2].

De plus : f(0) = 1 et f(2) = - 3.

0 appartient à [f(2) ; f(0)].

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution b dans [0 ; 2].

Sur [2 ; + ¥[ :

f est continue et strictement croissante sur [2 ; + ¥[.

De plus : f(2) = - 3 et lim

0 appartient à [f(2) ; lim

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = 0 admet

une unique solution l dans [2 ; + ¥[. Conclusion : L'équation f(x) = 0 admet exactement 3 solutions sur ℝ. b) Voici l'algorithme :

Initialisation

a prend la valeur 2

Traitement

Tant que a

3 - 3a2 + 1 < 0

Faire a prend la valeur a + 0,01

Fin Tant Que

Sortie

Afficher a et a + 0,01

Pour le deuxième algorithme, il suffit de remplacer à 0,01 par 0,0001. c) On obtient : 2,87 < l < 2,88, puis : 2,8793 < l < 2,8794.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Correction : 65 p. 132 Correction : 68 p. 132

Correction : 65 p. 132

Résoudre l'équation : e

De plus : f(1) = e

1 - 3 » - 0,28 et f(2) = e2 - 4 » 3,39.

0 appartient à [f(1) ; f(2)].

Correction : 68 p. 132

De plus : lim

Sur [0 ; 1] :

De plus : f(0) = 3 et f(1) = - 1.

Sur ]1 ; + ¥[ :

De plus : f(1) = - 1.

De plus : lim

0 appartient à ] lim

Sur [0 ; 1] :

De plus : f(0) = 3 et f(1) = - 1.

0 appartient à [f(1) ; f(0)].

Sur [1 ; + ¥[ :

De plus : lim

1 appartient à ] lim

Sur [0 ; 1] :

De plus : f(0) = 3 et f(1) = - 1.

1 appartient à [f(1) ; f(0)].

Sur [1 ; + ¥[ :

De plus : f(1) = - 1.

Correction : 69 p. 132

De plus : f'(x) = 6x

2 - 6x

On obtient le tableau suivant :

De plus : f(0) = 2 ´ 0

3 - 3 ´ 02 - 1

3 - 3 ´ 12 - 1

Limite en -

Donc : lim

Limite en +

On obtient une forme indéterminée.

Pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x

Or : lim → = + ¥ et lim → 2 -

Donc : lim

6x - - 0 +

0 appartient à [f(1) ; lim

Donc : 1,67 < a < 1,68.

Correction : 70 p. 132

De plus : f'(x) =

En effet : (e

On obtient le tableau suivant :

Limite en -

Donc : lim

Limite en +

Donc : lim

2 appartient à ] lim

Donc : 1 < a < 2.

1,4 < a < 1,5

1,44 < a < 1,45

1,443 < a < 1,444

1,44 est donc une valeur approchée de a à 10

Correction : 71 p. 132

De plus : f'(x) = 12x

3 - 24x2 - 12x + 24

3 - 2x2 - x + 2)

Or : (x - 2)(x - 1)(x + 1) = (x - 2)(x

2 - 1)

3 - x - 2x2 + 2

3 - 2x2 - x + 2

Donc : f'(x) = 12(x - 2)(x - 1)(x + 1)

On obtient le tableau suivant :

Limite en - ¥ :

On obtient une forme indéterminée.

Pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x

Or : lim → = + ¥ et lim → 3 -

Donc : lim

Limite en +

On obtient une forme indéterminée.

Pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x

Or : lim → = + ¥ et lim → 3 -

Donc : lim

De plus : lim

0 appartient à [f(- 1) ; lim

Sur [- 1 ; 1] :

De plus : f(- 1) = - 19 et f(1) = 13.