L2 Maths “Compléments de théorie des ensembles” TD no3: Relations PDF

Relations dordre

Définition (ordre total) Un ordre ? sur E est dit total si deux éléments positifs avant de commencer on montre facilement qu'ils restent tout le.

Chapitre3 : Relations dordre

Soit ? une relation binaire définie sur E. ? est une relation d'ordre lorsque : ? définit un ordre total sur R (et sur Q Z

RELATION BINAIRE

1. Montrer que est une relation d'ordre. 2. On admettra qu'il s'agit d'une relation d'ordre totale. Classer par ordre croissant les dix premiers couples de.

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Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des

L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets. – Une boucle est un arc ou une arête reliant un Montrer que le nombre total de mains serrées est pair.

Exercices : cinétique macroscopique corrigés

Nous avons donc établi la loi de vitesse totale : v = k.[C2H5I].[OH-?] 1) En expliquant votre démarche montrer que la réaction est d'ordre 1 par.

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l'analyse dimensionnelle montre que la masse n'influence pas la durée de chute dans T . Le gradient de vitesse ? v est un tenseur d'ordre 2 qu'il est ...

L2 Maths “Compléments de théorie des ensembles” TD no3: Relations

Montrer que A% B si et seulement si A ? B est une relation d'ordre dans E et qu'elle n'est pas totale. Montrer que /0 est un minimum dans P(E) et E est un

Université Paul Sabatier 2018/2019

L2 Maths "Compléments de théorie des ensembles" TD n o3: RelationsExercice 1SoientA;BEdes sous-ensembles d"un ensembleE. On définit la relation ARBsi et seulement siCEAB. Montrer queARBest symétrique. De même pour la relationBCEA.Exercice 2On appellel"ensemble quotientdeEpar la relationRl"ensemble des classes d"équivalence parR, et on le note parE=R. Dans chacun des cas suivants, montrer que Rest une relation d"équivalence surEet reconnaître l"ensemble quotientE=R.

1.E=NNet(a;b)R(c;d),defa+d=b+c.

2.E=Z(Znf0g)et(a;b)R(c;d),defad=bc.Exercice 3Soitfune application de l"ensembleEdans l"ensembleF. On définit une

relationRsur l"ensembleEpar:

8x;y2E:xRy,f(x) =f(y):

1) Vérifier que l"on obtient ainsi une relation d"équivalence. Démontrer que la classe

d"équivalence dex2Eestf1(f(x)).

2) Traiter complètement les exemples suivants:

1.E= [0;1][0;1],F=R2,f(x;y) =(

(x;y)six6=0 (1;y)six=0.

2.E= [0;1][0;1],F=R2,f(x;y) =8

>>:(x;y)six6=0;y6=0 (1;y)six=0;y6=0 (x;1)siy=0;x6=0 (1;1)si(x;y) = (0;0). On précisera dans chaque cas l"ensemble image et les classes d"équivalence. Quels sont les ensembles quotients obtenus?1 Exercice 4On dit qu"une relation estantiréflexivesi pour toutx2E,xn"est pas en relation avec lui même. Unerelation d"ordre strictest une relation antiréflexive, anti- symétrique et transitive.

1) Montrer que, siRest une relation d"ordre, la relationR0définie par:

xR0y,xRyetx6=y est une relation d"ordre strict.

2) Montrer que, siR0est une relation d"ordre strict, la relationRdéfinie par:

xRy,xR0youx=y

est une relation d"ordre.Exercice 5SoientIun ensemble totalement ordonné et(Ei)une famille d"ensembles

ordonnés indexée parI. On munitE:=Õ i2IEide la relationRdéfinie par: (ai)R(bi), 9i02I:ai0Montrer que c"est une relation d"ordre strict.Exercice 6SoitEun ensemble etP(E)son ensemble de parties. Montrer queARBsi

et seulement siABest une relation d"ordre dansE, et qu"elle n"est pas totale. Montrer que

/0est un minimum dansP(E)etEest un maximum.Exercice 7Vérifierque, dansNNmunidel"ordreproduitoudel"ordrelexicographique,

toute suite décroissante est stationnaire. Dans chacun des cas, préciser si toute partie non

vide admet un plus petit élément.Exercice 8Sur l"ensembleENdes suites dansE, on définit la relationpar:

(un)n2N(vn)n2N() 9p2N:8np;un=vn: Démontrer que c"est une relation d"équivalence. Quel est l"espace quotient obtenu?2

Deuxième série (exercices facultatifs)

Exercice 9SoitEun ensemble etRune relation. Peut-on décrire la clôture transitive,

la clôture réflexive transitive et la relation d"équivalence engendrée parRà partir de la

relation d"ordredansP(E)? Si oui, comment?Exercice 101) On munitf0;1gNde l"ordre lexicographique, pour lequel(un)n2N

(vn)n2Nsi les deux suites sont égales ou s"il existep2Ntel queup2) Décrire l"unique relation d"ordre surP(N)telle que la bijectionP(N)! f0;1gNsoit strictement croissante.Exercice 11SoientEun espace vectoriel etE0un sous-espace vectoriel deE.

On noteE=E0l"ensemble quotient.

2) SoitE00un supplémentaire deE0. Montrer queE00est un ensemble de représentants

pour la relation ci-dessus.

3) En déduire que la restriction àE00de l"application canoniqueE!E=E0est bijective.Exercice 12On définit par récurrenceE0:=/0etEk+1:=Ek[fEkg. Démontrer que la

relationx2yest une relation d"ordre strict total sur chaqueEkainsi que surS k2NEk. En sachant que celle-ci est une construction des naturelsN, quelle relation surNrépresente

2dans ce contexte?Exercice 13Sur l"ensembleER, on définit la relationpar:

fg() 9e>0 :8x2]e;+e[;f(x) =g(x):

Démontrer que c"est une relation d"équivalence.Exercice 141) On dit qu"un ensemble ordonné estnoetheriensi toute suite croissante

est stationnaire; ou, de manière équivalente, si toute partie non vide admet au moins un élément maximal. Aussi, on dit qu"un ensemble ordonné estartiniensi toute suite décroissante est stationnaire; ou, de manière équivalente, si toute partie non vide admet au moins un élément minimal. Montrer qu"un ensemble ordonné fini est noetherien et artinien, et que la réciproque est vraie si l"ensemble est supposé totalement ordonné.

2) Plus généralement, montrer qu"un ensemble ordonnéEest noetherien et artinien si, et

seulement si, toute chaîne deE(c"est-à-dire toute partie totalement ordonnée) est finie. 3 finie donné est noetherien et artinien, mais en général infini. Autre exemple: l"ensemble des entiers naturels ayant au plusNfacteurs premiers comptés avec leur multiplicité (N arbitraire).Exercice 15SoientRune relation d"équivalence surEetR0une relation d"équivalence surE0; on noteE=RetE0=R0les ensembles quotients. Soitf:E!E0une application. À quelle condition peut-on passer au quotient et définir l"applicationf:E=R!E0=R0?

À quelle condition cette dernière est-elle injective ?Exercice 16SoitRune relation depréordre, c"est-à-dire réflexive et transitive. Montrer

que la relationR0défine parxR0y,xRyetyRxest une relation d"équivalence.4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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